L

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Leredità arabo-islamica nelle scienze e nelle
arti del calcolo dellEuropa medievale
Parte I lAlto Medioevo in Europa e in Oriente
2
In forma di mappa
3
Le arti liberali

• Cicerone Artes quae libero sunt dignae
• Trivio grammatica, retorica, dialettica
• Quadrivio geometria, aritmetica, astronomia e
  musica

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Marziano Capella De Nuptiis Philologiae et
Mercurii

• Le dita della giovane si muovevano rapide
  innanzi e indietro ed erano percorse come da un
  inarrestabile formicolio. Fatto il suo ingresso
  ed ottenuto con le dita variamente piegate un
  numero pari a settecentodiciassette, le alzò per
  porgere il saluto a Giove. Allora Filosofia,
  poiché era accanto alla Tritonide, le domandò che
  cosa Aritmetica avesse inteso con quel numero. E
  Pallade le rispose Ha salutato Giove con il
  suo proprio nome

ms. Urb. Lat. 329, f. 113, Biblioteca Apostolica
Vaticana, Città del Vaticano
5
I numeri secondo Marziano

• Marziano passa ad esaminare i singoli numeri da
  uno (la monade) fino a dieci, esplorandone tutti
  i significati filosofici e teologici e le
  sfumature simboliche e collegandoli con i
  rispettivi enti geometrici (la monade corrisponde
  al punto e così via).
• Seguono la trattazione della natura e la
  divisione dei numeri (pari e dispari composti e
  non composti perfetti, imperfetti e
  più-che-perfetti piani e solidi), i rapporti tra
  i numeri ed il concetto di proporzione.

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Severino Boezio (480-524)

• Trattati sulle arti liberali
• De institutione arithmetica
• De Musica
• Geometria (pseudo-Boezio)
• Tassonomia del quadrivio
• Aritmeticagtgeometriagtmusicagtastronomia
• De institutione arithmetica
• Libro 1 Classificazione dei numeri
• Libro 2 Teoria delle proporzioni

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De institutione arithmetica

• I numeri sono distinti in
• pari e dispari
• parimenti pari 2n
• parimenti dispari 2m1(2n1)
• primi e composti
• perfetti (6 123)
• imperfetti (sono maggiori della somma suddetta)
• ultraperfetti (inferiori alla somma)
• Studio delle relazioni fra i numeri
• Uguaglianza
• disuguaglianza (maggiore o minore e opposizione)

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La disuguaglianza

• Multiplo (submultiplo) a è multiplo di b se
  esiste un numero n tale che anb per n2 a è
  detto superduplo di b per n3, supertriplo etc.
• Superparticolare (subparticolare) a è chiamato
  superparticolare di b se abb/n per un qualche
  n per n2 a è sesquialtero di b per n3 è
  sesquiterzo, etc.
• Superparziente (subparziente) a è detto
  n-multiplo super-m-parziente di b se a bn m ad
  esempio, 16 rapportato a 6 è definito duplice
  superquadriparziente, perché dalla divisione
  risulta che il 6 è contenuto 2 volte con lavanzo
  di 4
• Multiplo superparticolare (subparticolare) a è
  super-n-particolare se a n1/n per qualche n
  intero ad esempio 3/2 1 1/2 (sesquialtero),
  4/3 1 1/3 (sesquiterzo), etc.
• Multiplo superparziente (subparziente) a è
  superparziente se a (2bc)/b c per a, b
  interi diversi tra loro.

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Alto Medioevo

• Isidoro di Siviglia (c. 560 - 636)
• Beda il Venerabile (674-735)
• Alcuino (732 - 804) Propositiones ad acuendos
  iuvenes
• Propositio I Limax fuit ab hierundine invitatus
  ad prandium infra leucam unam. In die autem non
  potuit plus quam unam unciam pedis ambulare.
  Dicat, qui velit, in quot diebus ad idem prandium
  ipse limax perambulat?
• I. Sequitur solutio de limace In leuca una sunt
  mille quingenti passus, VII pedes, XC unciae.
  Quot unciae, tot dies fuerunt, qui faciunt annos
  CCXLVI, et dies CCX

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Ritmomachia e Abaco
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Il medio oriente

• Nell'area del Medio Oriente coesistevano varie
  culture
• greca (con la sua tradizione classica,
  ellenistica e poi cristiana)
• siriaca (di impronta essenzialmente religiosa per
  via dellinflusso nestoriano)
• ebraica
• persiana
• Queste culture comunicavano principalmente
  attraverso traduzioni eseguite da dotti religiosi
  bilingui.
• Fin dal V secolo accanto alle traduzioni
  propriamente religiose (dalla Bibbia) apparvero
  quelle scientifiche e filosofiche greche, in
  particolare le opere più tarde neo-platoniche,
  neo-aristoteliche ed eclettiche.

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La casa della sapienza

• 762 al-Mansur trasferisce la capitale da Damasco
  a Baghdad
• Bayt al Hikma, officina culturale unica
• opere dallutilità pratica immediata, come
  trattati di medicina, astrologia, logica e
  scienze matematiche.
• filosofia di Platone ed Aristotele

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Le traduzioni in arabo

• I testi già in siriaco (la lingua dei Nestoriani)
  furono tradotti in arabo
• le opere non disponibili in siriaco erano
  tradotte direttamente dal greco in arabo oppure
  attraverso la mediazione linguistica del siriaco.
  
• In varie occasioni, furono inviate spedizioni a
  Bisanzio per ottenere copie di opere greche
  altrimenti irreperibili oppure copie migliori di
  originali posseduti solo in versioni
  irrimediabilmente corrotte.

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Unautentica scuola di traduttori

• Yuhanan Bekhtyashu, Hunayn ibn Ishaq e suo figlio
  Ishaq ibn Hunayn, Qusta ibn Luqa, Abd al-Masih
  al-Himsi, i fratelli banu Musa ibn Shakir, Thabit
  ibn Qurra
• Grazie a strumenti altamente qualificati, come
  dizionari bilingui, manuali e grammatiche,
  realizzarono le traduzioni in arabo (passando
  spesso attraverso il siriaco) delle opere
  memorabili della filosofia e scienza
  greco-ellenistica
• Galeno, Tolomeo, Euclide, Aristotele, Alessandro
  di Afrodisia, Dioscoride, Giamblico e Porfirio,
  oltre a tutta una serie di testi gnostici e
  sincretistici
• Anche traduttori di opere indiane, soprattutto di
  astronomia e matematica.

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Unaltra via

• Linflusso greco giunse agli Arabi anche
  indirettamente dallOriente, attraverso lIndia e
  la Persia
• si tratta di conoscenze elaborate da studiosi
  indiani, a partire da materiale di provenienza
  alessandrina, passato in India
• o via mare, sulla rotta che connetteva
  Alessandria con lIndia nord-occidentale,
• o via terra lungo una strada che collegava la
  Grecia con la Battriana, in particolare con la
  città di Marw (oggi nel Turkmenistan)
• Il loro contributo in particolare consistette
  nellintroduzione della notazione decimale e di
  molti simboli.

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I numerali indiani kharosthi, brahmi e gwalior
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La notazione posizionale

• La più antica testimonianza delluso di una
  notazione posizionale, secondo uno studio recente
  di un gruppo di storici tedeschi, è liscrizione
  di Gurjara, datata 346 secondo il computo Samvat,
  corrispondente al 595 d.C., scritta in
  parole-numero brahmi, ossia nomi di oggetti il
  cui numero è risaputo lordine di presentazione
  delle potenze era dal più basso al più alto
• le parole-numero risultavano poetiche e gradevoli
  e il loro uso costituiva una valida mnemotecnica.
  
• Ali-sensi-vuoto-luna ?

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Lo zero

• è comparso in scritti babilonesi di astronomia,
  in cui era usato il sistema sessagesimale in
  epoche più tarde, era previsto un segno per una
  cifra mancante solo nel mezzo del numero
• I Greci utilizzarono questo sistema per i calcoli
  astronomici, con una cifra come 0 per
  rappresentare lo zero.
• Gli studiosi indiani avrebbero conosciuto tutta
  questa tradizione a seguito delle campagna
  militari di Alessandro e lavrebbero tramandata a
  loro volta in seguito avrebbero integrato le
  loro cifre brahmi da 1 a 9 e lo zero greco e
  adottato la scrittura da sinistra a destra
  greco-babilonese.
• Ci sarebbe stata la fusione delle conoscenze
  derivate da tre culture, mentre furono gli
  Indiani a costruire completamente da soli il
  sistema posizionale, con levoluzione sopra
  descritta.

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La più antica rappresentazione dello zero
Iscrizione gwalior (870) è evidenziato il
numero 270
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DallIndia agli Arabi

• Nell'VIII secolo, presso gli Arabi e le
  popolazioni sottoposte alla loro dominazione, si
  manifesta un crescente interesse per l'aritmetica
  e, in particolare, per i sistemi di numerazione.
• Gli Arabi cominciarono ad usare le lettere
  dell'alfabeto per rappresentare il sistema
  decimale, additivo e basato su nove simboli
• Lintroduzione dello zero e della notazione
  posizionale intervennero grazie agli interessi
  astronomici (calcolo della direzione della Mecca)
  che portarono gli Arabi alla lettura dei testi
  indiani, dove si faceva uso di questa notazione e
  dello zero.
• Essi privilegiarono questa convenzione per la sua
  semplicità ed efficacia ed intrapresero studi
  specifici di aritmetica.

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Al-Khawarizmi

• la vita
• lopera algebrica e aritmetica
• le fonti della sua formazione (locali ed esterne
  al mondo islamico)
• metodo innovativo nel procedimento risolutivo
  delle equazioni

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Le opere

• aritmetica (Algorithmi de numero Indorum Calcolo
  con i numeri indiani di al-Khawarizmi)
• algebra (Hisab al-jabr wal-muqabalah Calcolo
  con completamento e riduzione)
• astronomia (Zij tavole astronomiche)
• geografia (Kitab Surat al-Ard Libro sulla forma
  della Terra)
• calendario (Istikhraj Tarikh al-Yahud Il
  calendario ebraico), 823-824
• storia (Kitab al-Tarik Croniche) un testo di
  storia e astrologia, databile dopo l826

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Algoritmi de numero Indorum

• Del libro di aritmetica non ci è giunto il testo
  arabo originale, ma solo in varie traduzioni
  latine del XII e XIII secolo. Una di queste
  versioni, presente in un unico manoscritto
  (ms.Ii.vi.5) alla University Library di
  Cambridge, fu pubblicata a Roma nel 1857 da
  Baldassarre Boncompagni, col titolo Algoritmi de
  numero Indorum, e successivamente, a cura di
  Vogel e in fac-simile dalla Kopelevitch .
• Ne esiste ledizione critica dei testi latini da
  essa derivati con traduzione francese, di Allard.

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Hisab al-jabr wal-muqabalah

• Il più antico testimone arabo dellAlgebra
  (Oxford Hunt. 214) attualmente pubblicato è
  piuttosto tardo, dal momento che è stato copiato
  al Cairo nel 1342.
• esistenza di manoscritti inediti a Kabul, a
  Medina (2), a Berlino e a Teheran.
• sono invece più antiche le traduzioni latine, in
  particolare quelle di
• Roberto di Chester, realizzata nel 1145 a
  Segovia,
• Gerardo da Cremona, redatta a Toledo intorno al
  1170
• Guglielmo de Lunis, portata a termine il secolo
  successivo nel 1250 circa.

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Il piano dellopera

• Il titolo completo del testo arabo è Al-Kitab
  al-muktasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabalah,
  ossia Breve opera sul calcolo con restaurazione
  e riduzione.
• Algebra retorica
• È strutturato in
• breve introduzione sui contratti commerciali e
  sui calcoli relativi eseguiti attraverso la
  regola del tre, già nota ai matematici indiani
• tre capitoli di varie lunghezza dedicati
  rispettivamente
• allalgebra
• alla geometria piana e solida
• ai problemi di spartizione di eredità,
  estremamente macchinosi nel diritto coranico.
• Le traduzioni latine si discostano in vari passi
  da questi contenuti e si limitano alle prime due
  parti, escludendo la parte di geometria e quella
  sui calcoli per le eredità .

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I termini primitivi

• i numeri necessari per il calcolo con
  completamento e riduzione sono di tre tipi
  radici, quadrati e numeri semplici, che non sono
  né radici né quadrati.
• Una radice (jidr)è una quantità che è da
  moltiplicare per se stessa, ed è costruita di
  unità (ascendente) o frazioni (discendente).
• Un quadrato (mal) è il valore totale della radice
  moltiplicata per se stessa.
• Un numero semplice (dirham) è qualsiasi numero
  che può essere nominato senza fare riferimento a
  radice o quadrato.

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Forme normali e regole

• Equazioni semplici
• Caso 1 Quadrati uguali a radici (ax2 bx)
• Caso 2 Quadrati uguali a numeri (ax2 c)
• Caso 3 Radici uguali a numeri (bx c)
• Equazioni composte
• Caso 4 Quadrati e radici uguali a numeri (ax2
  bx c)
• Caso 5 Quadrati e numeri uguali a radici (ax2
  c bx)
• Caso 6 Radici e numeri uguali a quadrato (bx c
  ax2)

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Quarto tipo

• ax2 bx c
• NB
• x gt 0
• 1 sola soluzione

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Quinto tipo

• ax2 c bx
• NB
• x gt 0
• Nessuna soluzione
• 1o 2 soluzioni

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Sesto tipo

• bx c ax2
• NB
• x gt 0
• 1 sola soluzione

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Dimostrazione del quarto tipox2 10x 39

• Dati
• 1 quadrato di area ab (ab) che rappresenta x2
• 4 rettangoli equivalenti (c,d,e,f) con dimensioni
  a, 2 unità e ½
• Per completare il quadrato maggiore, si
  aggiungono quattro quadrati con perimetro
  tratteggiato di area 6 unità e ¼
• Quindi per risolvere lequazione
• Si aggiunge il quadruplo di 6 unità e ¼ (25) a
  39, ottenendo x2 2539 64
• Da ciò si ricava che il lato del quadrato
  maggiore misura 8 si sottrae il doppio di 2
  unità e ½ (5) e si ottiene la misura di a (b),
  cioè 3

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I sei problemi

• Ora io aggiungo questi problemi, che serviranno
  per portare largomento più vicino alla
  conoscenza, per rendere la sua comprensione più
  facile e per rendere gli argomenti più perspicui
• Ogni equazione risolvente di un problema viene
  riportata ad uno dei 6 casi grazie a due
  operazioni basilari
• al-jabr (completamento in latino restauratio),
  che consiste nelleliminare i termini negativi,
  addizionando termini positivi uguali nei due
  membri
• al-muqabalah (opposizione in latino oppositio)
  che permette di sommare algebricamente i termini
  dello stesso grado nei due membri.
• In definitiva, il procedimento presentato
  dallautore per la soluzione di un problema si
  può sintetizzare nei seguenti passi
• Tradurre il problema in unequazione algebrica
• Ricondurre lequazione ad uno dei casi noti
• Applicare lalgoritmo appropriato per arrivare
  alla soluzione.

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Altri problemi

• Al- Khawarizmi prosegue poi la sua trattazione
  con altri trentaquattro problemi, che, salvo una
  sola eccezione (il problema 7), possono essere
  catalogati, secondo Oaks, in tre gruppi, sulla
  base del loro enunciato tipo 10, M e D.
• Il testo dei problemi di tipo 10 incomincia con
  Hai diviso il dieci in due parti , cui segue
  una condizione che le parti devono soddisfare.
• Il testo dei problemi di tipo M riguarda invece
  la ricerca di un mal.
• I problemi di tipo D hanno invece a che fare con
  un certo numero di dirhem divisi tra persone.

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La regola del tre

• Sai che tutte le transazioni commerciali tra le
  persone, come comprare e vendere, barattare e
  prendere a prestito, prevedono sempre due
  condizioni e quattro numeri, fissati da chi pone
  il problema ossia, misura e prezzo e quantità e
  somma. Il numero che esprime la misura è
  inversamente proporzionale a quello che esprime
  la somma, e il numero del prezzo è inversamente
  proporzionale a quello della quantità. Tre di
  questi quattro numeri sono già noti, il quarto è
  lincognita e questa è implicita quando chi pone
  il problema chiede quanto? ed è loggetto del
  problema.

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La geometria

• Tre parti sul calcolo di aree e volumi
• Viene ricordata la proprietà dei triangoli
  rettangoli nota in Occidente come Teorema di
  Pitagora, con dimostrazione geometrica diversa
  sia da quella euclidea sia da quella, pur
  posteriore, di Bhaskara

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Le fonti

• Indiane lessico (dhanam mal rupadirhem)
• Greche era nota lopera di Diofanto? Astratto
  vs. concreto Erone?
• Ebraiche Mishnat ha Middot
• Babilonesi tecnica cut and paste
• Oggi sincretismo di fonti o originalità?

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Definire la questione delle fonti

• Secondo Ruska (1917) e Sezgin (1974), si potranno
  fare progressi sulla questione delle fonti solo
  grazie a
• scoperte di nuove fonti manoscritte
• discussione delle premesse alla fondazione di una
  letteratura matematica presso gli Arabi
• reale approfondimento delle intenzioni e degli
  scopi
• precisa analisi terminologica.