Indice:

1
Indice

• Lalgebra di Boole
• Applicazione dellalgebra di Boole

Boole sviluppò assieme a De Morgan la logica
matematica moderna e il metodo simbolico. Boole
e De Morgan costruirono l'algebra della logica
(o algebrea booleana), staccando la logica
dalla filosofia (Logica Aristotelica) e
legandola alla matematica.
2
L algebra Booleana

• Contempla due costanti LOGICHE 0 e 1 (falso e
  vero)
• Corrispondono a due stati che si escludono a
  vicenda
• Possono descrivere lo stato di apertura o
  chiusura di un generico contatto o di un circuito
  a più contatti
• Si definiscono delle operazioni fra i valori
  booleaniAND, OR, NOT sono gli operatori
  fondamentali

1

3
Porte logiche

• Le variabili logiche sono indicate generalmente
  con lettere maiuscole A, B, C..
• Gli operandi principali sono tre
• la negazione o NOT ( oppure !)
• la somma logica o OR ( )
• il prodotto logico o AND ( )

4
Loperazione di AND

• Si definisce loperazione di prodotto logico
  (AND)il valore del prodotto logico è il simbolo
  1 se il valore di tutti gli operandi è il simbolo
  1

0?0 00?1 01?0 01?1 1
0
0
0
1
0?0
0?1
0
1
1
1
1?1
1?0
5
Loperazione di OR

• Si definisce loperazione di somma logica
  (OR)il valore della somma logica è il simbolo 1
  se il valore di almeno uno degli addendi è il
  simbolo 1

0
0
00 001 110 111 1
0
1
00
01
1
1
1
0
10
11
6
La negazione NOT

• Si definisce loperatore di negazione
  (NOT)loperatore inverte il valore della
  costante su cui opera
• Dalla definizione

0 1 1 0
7
Porte logicheLe possibili combinazioni tra le
porte principali sono

• L'operatore NAND (cioè la negazione del risultato
  dell'operazione AND)
• L'operatore NOR (cioè la negazione del risultato
  dell'operazione OR)
• L'operatore XOR (detto anche
• OR esclusivo)
• L'operatore XNOR (cioè la negazione del risultato
  dell'operazione XOR)

8
La tabella di verità

• Dalle otto combinazioni si ottiene la tabella di
  verità della funzione logica
• Si può scrivere la funzione Y come somma logica
  di prodotti logici

Y A?B?C A?B?C A?B?C A?B?C
9
Funzioni logiche

• Una variabile y è una funzione delle n variabili
  indipendenti x1, x2,, xn, se esiste un criterio
  che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna
  delle 2n configurazioni delle xi un valore di y
• Una rappresentazione esplicita di una funzione è
  la tabella di verità, in cui si elencano tutte le
  possibili combinazioni di x1, x2, , xn, con
  associato il valore di y

y F(x1,x2,,xn)
y x1x2
10
La forma canonica

• Date tre variabili booleane (A,B,C), si scriva la
  funzione Y che vale 1 quando solo due di esse
  hanno valore 1

Si può scrivere la funzione come somma logica
delle configurazioni corrispondenti agli 1
A B C Y 0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1
1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 11 1 1 0
Y ABC ABC ABC
Forma canonica somma di prodotti (OR di AND)?
tutte le funzioni logiche si possono scrivere in
questa forma
11
Un circuito con due interruttori

• I due interruttori corrispondono a due variabili
  (A,B) a valori booleani ? le variabili assumono i
  due valori
• 0 e 1 che corrispondono alle due posizioni
  dellinterruttore

Y
Y
A
A
B
B
0
0
0
0
1
1
1
1
A
A
B
B
A0 B1
A0 B0
Y
Y
A
A
B
B
0
0
0
0
1
1
1
1
A
A
B
B
Y A?BA?B
A1 B0
A1 B1
12
Mappe di KARNAUGH

• Le mappe di Karnaugh sono delle tabelle che
  permettono in modo immediato la rappresentazione
  e la semplificazione di funzioni booleane fino 6
  variabili.

xy 00 01 11 10
z 00 01 11 10
0 1 1 0 0
1 0 1 1 1
Rappresentazione con Mappa di K. di una funzione.

• Le Mappe di K. costituiscono un altro metodo per
  rappresentare una funzione booleana