Benem

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Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
FCFM

• Estudio del cambio en la topología de la imagen
  en sistemas ópticos convencionales, y en el caso
  de la lente de Schwarzschild
• M.C. Edwin Román Hernández
• 02 de Junio de 2010

Seminario del C.A. de P.C. y R.G.
2
Objetivo
El objetivo de este trabajo es estudiar el cambio
en la topología de la imagen en sistemas ópticos
convencionales, es decir, espejo y lentes
simples, y en el caso de la lente de
Schwarzschild. Para lograr nuestro objetivo
usamos óptica geométrica y el teorema de Berry de
la cáustica, the caustic-touching theorem. Más
explícitamente, para los sistemas ópticos
convencionales se obtienen expresiones que
describen a los frentes de onda asociados con los
rayos de luz reflejados por una superficie suave
arbitraria después de haber sido emitidos por una
fuente puntual situada en una posición arbitraria
en el espacio. Las definiciones de conjunto
crítico y conjunto cáustico del mapeo que
describe la evolución de los frentes de onda
reflejados o refractados, asociados con la
integral general, son usadas para encontrar la
cáustica. Para esto, obtenemos una expresión para
la función k asociada con la integral general de
Stavroudis de la ecuación iconal que describe la
evolución de los rayos de luz. Estos resultados
son aplicados al caso de un espejo parabólico. En
la lente de Schwarzschild se obtienen las
ecuaciones  que describen  la evolución de los
rayos de luz deflectados por una lente
gravitacional. Las cuales son vistas como una
representación paramétrica de  un mapeo entre dos
subconjuntos de R3. Apartir de éste mapeo se
calcula la cáustica y se usa nuevamente el
teorema de Berry para estudiar el cambio de la
topología de un objeto. 
3
Introducción

• Ecuación Iconal

• O.N. Stavroudis

• D.Shealy

4
Integral completa
5
(No Transcript)
6
Una solución particular

• Partimos de la ecuación
• Y por definición, la envolvente de los frentes de
  onda está dada por
• (7)
• En donde
• Y los puntos que pertenecen a la envolvente de
  los frentes de onda

7

• Y entonces
• (9)
• Se muestra que
• Y entonces, la nueva solución (solución
  particular) está dada por
• (10)
• Esta nueva solución es tal que sus frentes de
  onda asociados son esferas.

8
La integral general

• Partimos de
• (11)
• Los frentes de onda asociados con esta familia de
  soluciones o integral completa están dados por
• (12)
• y la envolvente de la familia de frentes de onda
  está dada por
• (13)
• Un cálculo directo muestra que
• (14)

9

• Resolviendo para y obtenemos que
• (15)
• La cual es la integral general obtenida por
  Stavroudis.

10
La Cáustica

• (16)

11

• Está dado por
• (17)
• En donde , un cálculo directo muestra que
• (18)
• En donde
• Entonces, el conjunto crítico está dado por

12

• En donde
• (20)
• Y entonces, la cáustica asociada con la evolución
  del frente de onda (Ec. 14) es

13
Cálculo de la función k
(21)
(22)
14

• La longitud de camino óptico
• y se puede reescribir como
• de donde

(23)
(24)
(25)
con
(26)
15
El espejo parabólico
Intersección de algunos frentes de onda
reflejados con el plano Y0, con c1/2415mm y
s10, s20, s32400mm.
16
Las dos ramas de la cáustica, (a) la parte
positiva y (b) la parte negativa, para s1200mm,
s2200mm, s32400mm, y c 1/2415mm
Intersección de la cáustica con algunos planos
Zcte, para s1200mm, s2200mm, s32400mm.
17
Algunos frentes de onda reflejados, antes, dentro
y después de la cáustica
18
Estudio del cambio de la topología, the
caustic-touching theorem
(27)
19
Sobre el eje óptico, plano z0-710
(a) Rejilla de Ronchi y cáustica, Rc18.28mm,
(b) Ronchigrama.
Cáustica, para s31350mm
Estudio del cambio de la topología para la imagen
de una fuente lineal. Se observa que aparece una
segunda imagen cuando la fuente toca a la
cáustica, mientras que desaprece esta segunda
imagen cuando la fuente lineal toca el centro
del círculo, que tambien es parte de la cáustica.
20
Fuera del eje óptico, plano z0-710
(a) Rejilla de Ronchi y cáustica para s1500 mm,
s20, s3 1350 mm, (b) ronchigrama.
Estudio del cambio de la topología de la imagen
de una fuente lineal, se observa claramente cóm
aparecen y desaparecen imágenes cuando la fuente
toca de manera tangente a la cáustica.
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Fuente lineal con una inclinación de
(a) Rejilla de Ronchi y cáustica para s1500 mm,
s20, s3 1350 mm, (b) ronchigrama.
(a) Rejilla de Ronchi y cáustica, (b) patrones
del tipo serpentina
Estudio del cambio de la topología de la imagen
de una fuente lineal, se observa claramente cóm
aparecen y desaparecen imágenes cuando la fuente
toca de manera tangente a la cáustica.
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Lentes Gravitacionales
Sistema óptico
Caustica asociada con una lente gravitacional,
para un frente de onda plano y con Rs3km,
r300km. Se observa una cáustica virtual(curva
rosa), los rayos de luz virtuales(línea azul),
los rayos de luz incidentes y deflectados (línea
negra) y la cáustica real (línea roja).
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Estudio del cambio de la topología
El cambio en la topología de una fuente lineal
para los casos en que T110km, 50km,100km y
200km, respectivamente, la sombra que se observa
es debida a que los rayos de luz que no pueden
cruzar a través de la lente gravitacional.
Se observa el mapeo punto a punto, cuando
T1100km, en (a) la fuente lineal y (b) su
correspondiente imagen
24
Arreglo que describe el mapeo entre puntos del
espacio objeto y puntos del espacio imagen.
25
El caso de una fuente elípitica, atravesando el
conjunto cáustico y su correspondiente imagen
El caso de una fuente circular, atravesando el
conjunto cáustico y su correspondiente imagen
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Conclusiones

• Cuando la lente puntual está situada sobre el eje
  óptico, el ronchigrama obtenido es similar al que
  se obtiene para el caso de un espejo esférico.
• Cuando la fuente puntual está fuera del eje
  óptico y una de las bandas de Ronchi toca a la
  cáustica en una singularidad de tipo cúspide, el
  ronchigrama es similar al que se obtiene para el
  caso en que la fuente está sobre el eje óptico.
• Si ni una de las bandas de Ronchi toca a la
  cáustica en alguna singularidad de tipo cúspide,
  entonces el ronchigrama no contiene círculos.
• No siempre aparecen o desaparecen imágenes a
  partir de un solo punto aislado.
• Se pudo determinar la configuración necesaria
  para obtener los patrones conocidos como del tipo
  serpentina.
• Se estudió el fenómeno en la lente de
  Schwarzschild

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(No Transcript)
28
(No Transcript)