EPS-UAM Curso de doctorado

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Redes evolutivas

• EPS-UAM Curso de doctorado
• Modelos de Conectividad
• 2005-2006

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Más allá del modelo de Barabási-Albert (BA) (I)

• Leyes de potencias con exponente variable (1-3)
• Cutoffs exponenciales
• Saturación para grado k bajo
• Procesos subyacentes a conexión preferencial
• Coeficientes de agrupamiento altos

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Más allá de BA (II)

• Variantes de conexión preferencial
• Crecimiento acelerado
• Alteración de grafo recableado
• Crecimiento con restricciones
• Competición
• Origen de conexión preferencial

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Conexión preferencial

• Probabilidad de conexión lineal en BA
• Influencia en distribución de grados k
• Determinación experimental según tiempo en que
  aparece nodo
• Dependencia de probabilidad con k en redes
  reales ley de potencias (lineal o sublineal)

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Conexión preferencialconexión no lineal

• Kaprivsky et al. Scale-free se destruye
• Caso sublineal distribución de grados
  exponencial
• Caso supralineal
• nodos con una rama y nodo gel
• nodos con varias ramas (número finito)
  y nodo gel
• Caso lineal exponente entre 2 e infinito

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Conexión preferencialatracción inicial (I)

• Dogorotsev et al.
• Probabilidad no nula de conexión a nodo aislado
• Modelo
• Nuevo nodo
• M ramas dirigidas desde nodo aleatorio a nodo
  preferencial

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Conexión preferencialatracción inicial (II)

• Atracción inicial no destruye scale-free
• Se modifica exponente de distribución de grados

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Crecimiento

• Grado medio constante en BA crecimiento lineal
  de número de nodos y ramas
• Redes reales grado medio suele crecer
• Crecimiento acelerado número de ramas a ritmo
  mayor que número de nodos

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Crecimiento aceleradoDogorotsev et al.

• Nuevo nodo recibe n ramas de nodos aleatorios
  (grafo dirigido)
• nuevas ramas desde nodo aleatorio a nodo
  preferencial (atracción inicial)
• controla crecimiento acelerado
• No se destruye scale-free, se modifica exponente

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Crecimiento aceleradoBarabási y Albert

• Nuevo nodo conectado con b nodos de forma
  preferencial (BA)
• Nuevas ramas (fracción a de existentes) según
  conexión preferencial (producto de grados)
• Grado medio ltkgtat2b
• Grado crítico y doble ley de potencias

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Alteración de elementos de grafo

• Redes reales con sucesos que cambian grafo de
  conexión
• Adición y eliminación de nodos y de ramas
• Recableado sustitución de una rama por otra

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Alteración de grafoAlbert y Barabási (I)

• m0 nodos iniciales aislados
• mltm0 nuevas ramas con probabilidad p, extremos
  aleatorio-preferencial
• m recableados con probabilidad q, nodo
  alternativo preferencial
• Nuevo nodo con m ramas con conexión preferencial,
  con probabilidad 1-p-q

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Alteración de grafoAlbert y Barabási (II)

• Ley de potencias generalizada
• q umbral P(k) exponencial
• P(k) se satura para k bajo
• entre 2 e infinito

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Alteración de grafoDogorotsev y Mendes

• Developing/decaying networks
• Creación/eliminación de c ramas en cada paso
• Conexión preferencial (proporcional a producto de
  grados)
• c0 es BA
• Scale-free

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Restricciones al crecimiento

• Envejecimiento y desaparición de nodos (personas
  en redes sociales)
• Número de ramas máximo para un nodo (router de
  internet)

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Restricciones al crecimientoAmaral et al.

• Hay redes reales sin scale-free pero no
  aleatorias
• Exponencial
• Ley de potencias con cutoff exponencial
• Si nodo alcanza su límite de edad o de número de
  ramas, nadie se puede conectar a él cutoff
  exponencial

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Restricciones al crecimientoDogorotsev y Mendes

• Conexión preferencial según edad
• scale-free
• se aproxima a exponencial

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Competición

• Modelo BA antigüedad es un grado
• Grado de un nodo crece con ley de potencias
• Nodos más antiguos, más favorecidos
• Redes reales nodos jóvenes pueden atraer muchos
  nodos nuevos

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CompeticiónBianconi y Barabási

• Fitness model
• Cada nodo tiene fitness según una
  distribución de probabilidad
• Conexión proporcional a fitness
• Distribución de grados es suma de leyes de
  potencias, y dependen de

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CompeticiónDogorotsev y Mendes

• Herencia de ramas
• Nuevo nodo como heredero de nodo aleatorio
• Hereda fracción c de ramas de ancestro
• Distribución h(c)
• No scale-free

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Origen de conexión preferencial Copiado

• Kleinberg et al., Kumar et al.
• Nuevo nodo con m ramas
• Con probabilidad p se conecta aleatoriamente
• Con probabilidad1-p a vecino de nodo prototipo
  (aleatorio)
• Scale-free con exponente entre 2 e infinito

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Origen de conexión preferencial Redirección

• Krapivsky y Redner equivalente al de Kumar
• Nuevo nodo se conecta con probabilidad 1-r a nodo
  aleatorio i
• Con probabilidad r se redirecciona rama a
  ancestro de i
• Scale-free

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Origen de conexión preferencial Barrido

• Vázquez
• Nuevo nodo se conecta a i aleatorio
• Con probabilidad p se conecta a vecinos de i y
  así sucesivamente breadth-first
• Exponencial para
• Ley de potencias (exponente aprox. 2) para p
  superior a valor crítico

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Origen de conexión preferencial conexión a ramas

• Dogorotsev et al.
• Nuevo nodo se conecta a extremos de rama
  aleatoria
• Semejante a BA

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Ejercicios

1. Realizar un programa que genere redes según
   alguno de los modelos vistos
2. Inventar un modelo y realizar un programa que
   genere redes de acuerdo a él. Estudiar sus
   propiedades.