ELEMENTS DE THEORIE DU SIGNAL

1
TELECOMMUNICATIONS COMMUNICATIONS NUMERIQUES ET
ANALOGIQUES

• ELEMENTS DE THEORIE DU SIGNAL

2
Analyse spectrale des signaux déterministes

• Signal niveau, puissance , énergie
• Niveau x(t) tension, courant, champ électrique,
  magnétique,
• Puissance instantanée p(t) x²(t)
• Énergie pendant dt dE
  x²(t).dt
• Énergie totale

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Analyse spectrale des signaux déterministes

• Puissance moyenne sur t0, t0T
• Puissance moyenne globale
• Signal dénergie totale finie
• gt Pm 0

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Analyse spectrale des signaux déterministes

• Rappels sur la transformée de Fourier (TF)
• La TF constitue loutil majeur de lanalyse
  spectrale
• Notions de fréquence
• En physique phénomène périodique, fréquence
  doscillations, fonction de caractéristiques
  physiques et paramètres connus
• Physiologiquement fréquence de stimuli
  périodiques correspond à des sensations
• ?Nature périodique de certains phénomènes
• La fréquence est une quantité  hors du temps 
  qui caractérise la variation dune grandeur au
  cours du temps
• La TF est un outil mathématique qui permet de
  mettre en évidence la dualité temps - fréquence

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Analyse spectrale des signaux déterministes

• Rappels sur la transformée de Fourier (TF)
• Définition relative à la TF
• TF
• TF inverse

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Analyse spectrale des signaux déterministes

• Notion de spectre
• Spectre
• Spectre damplitude
• Spectre de phase
• Contribution fréquentielle du signal x(t) pour la
  fréquence f (à ne pas confondre avec densité
  spectrale)

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Analyse spectrale des signaux déterministes

• Principales propriétés de la TF
• Propriété 1 linéarité
• Propriété 2 parité, conjugaisons
• Propriété 3 similitude
• Propriété 4 translation
• Propriété 5 dérivation
• Propriété 6 produit simple, produit de
  convolution
• Propriété 7 théorème de Parseval
• Propriété 8 TF de la  fonction  de Dirac

p27
8
Analyse spectrale des signaux déterministes
9
Analyse spectrale des signaux déterministes

• Série et TF. Extension de la TF aux signaux
  périodiques
• Rappels sur les séries de Fourier
• X(t) signal de période T0 1 / f0
• Développement en termes complexes
• Développement en termes réels

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Analyse spectrale des signaux déterministes

• Relation entre les ak,bk et ck
• ao co
  co ao
• ak ck c-k
• bk i(ck c-k)

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Analyse spectrale des signaux déterministes

• Formule de Parseval
• TF discrète dune fonction périodique
• spectre de raies

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Analyse spectrale des signaux déterministes

• Calcul des coefficients de Fourier à partir dune
  TF . Enveloppe de spectre
• T0 période de X(t)

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Analyse spectrale des signaux déterministes

• Retour à la notion de fréquence Fréquences
  intuitives et spectrales
• Notion primaire quantité positive
• Signal périodique
• développement en série de Fourier donne
• Mais utilisation développement en série de
  Fourier complexe fait apparaître notion de
  fréquence négative
• Une fréquence au sens intuitif devient une paire
  de fréquence au sens spectral.

p34
14
Analyse spectrale des signaux déterministes

• Tout signal étant réel, périodique ou non, son
  spectre
• sétend toujours sur les fréquences négatives et
  positives,
• est symétrique
• On pourra, pour un signal réel, par convention,
  simplifier le graphe de son spectre en nen
  donnant que la partie relative aux fréquences
  positives

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Analyse spectrale des signaux déterministes

• Densité spectrale des signaux déterministes
• Notion physique de densité spectrale
• Effectuer lanalyse spectrale dun signal
  étudier la répartition de sa puissance sur laxe
  des fréquences
• Densité spectrale de puissance (ou dénergie)
  puissance (ou énergie) contenue dans le signal
  x(t) par hertz de bande passante

p36
16
Analyse spectrale des signaux déterministes

• Expression de la densité spectrale
• Signaux périodiques - Densité spectrale de
  puissance (DSP)

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Analyse spectrale des signaux déterministes

• Signaux dénergie totale finie Densité
  spectrale dénergie (DSE)
• Signal x(t) fonction de carré sommable
• Formule de Parseval donne
• DSE
• Par définition
• La DSE nest autre que le carré du spectre
  damplitude

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Analyse spectrale des signaux déterministes

• Signaux apériodiques quelconques
• Généralités
• Il existe des signaux non périodiques, dénergie
  infinie, de puissance moyenne totale finie non
  nulle
• Analyse spectrale généralisée étude de la
  décomposition spectrale de Pm (menée à partir de
  létude des signaux périodiques)

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Analyse spectrale des signaux déterministes

• Fonction dauto corrélation.
• Définition et calcul pour un signal périodique
• Analyse harmonique généralisée Expression de la
  DSP

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Analyse spectrale des signaux déterministes

• En particulier
• Dans le cas des signaux dénergie finie, on peut
  encore définir une fonction dautocorrélation
  temporelle
• TF symétrie hermitienne du spectre

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Analyse spectrale des signaux déterministes

• En définitive, la formule
  sapplique à toutes les catégories de
  signaux
• Sx(f) DSP pour les signaux de puissance moyenne
  finie
• Sx(f) DSE pour les signaux dénergie finie

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Analyse spectrale des signaux aléatoires

• Signaux aléatoires et télécommunications
• Phénomènes imprévisibles dont les lois exactes
  nous échappent
• Théorie des fonctions aléatoires puissance
  mathématique qui nous permet dapprocher la
  connaissance de ces phénomènes en leur associant
  des grandeurs déterministes
• En télécommunications
• Signaux porteurs dinformation
• Bruits

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Analyse spectrale des signaux aléatoires

• Rappels
• Notion de fonction aléatoire (f.a.)
• Fonction de répartition
• Densité de probabilité
• En télécommunications, les signaux sont des
  phénomènes aléatoires qui dépendent du temps,
  paramètre déterministe
• X X ( t , ?)
• t ? ?
• ? ? ?
• Le caractère aléatoire peut être plus ou moins
  marqué
• Dans le cas le plus simple, forme analytique de
  la fonction X(t) connue comme dépendant dun seul
  paramètre aléatoire
• Mais le hasard peut intervenir  à chaque
  instant , nature analytique de la fonction est
  elle-même aléatoire

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Analyse spectrale des signaux aléatoires

• Les 2 aspects complémentaires de notion de f.a.
• Aspect statistique étude à t fixé
• La f.a. est une famille (Xt) de v.a. indexée
  par t
• Aspect temporel étude à ? fixé
• La f.a. est une grandeur aléatoire prenant ses
  valeurs dans un espace de fonction X(t),
  lespace des trajectoires.

Trajectoire p46
25
Analyse spectrale des signaux aléatoires

• Description au second dordre des f.a.
• cas général
• Description mathématiquement très incomplète
• Description physiquement suffisante qui sappuie
  sur les 2 fonctions déterministes suivantes
• Moyenne ou espérance mathématique
• Fonction dautocorrélation

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Analyse spectrale des signaux aléatoires

• cas pratique f.a. stationnaire
• Stationnarité au sens strict toutes les
  propriétés statistiques sont invariantes pour
  tout changement de lorigine des temps
• Étude très complexe. En physique, on se contente
  dune étude au second ordre.
• Stationnarité au second ordre
• Moyenne indépendante du temps
• Fonction dautocorrélation ne dépend que de t2-t1

27
Analyse spectrale des signaux aléatoires

• Propriétés de la fonction dautocorrélation des
  f.a. stationnaires réelles
• P1 fonction réelle et paire
• P2 fonction ayant pour valeur à lorigine la
  valeur moyenne du carré du signal
• P3 fonction bornée

28
Analyse spectrale des signaux aléatoires

• P4 si x(t) contient des composantes périodiques
  ou constante, cette fonction contient des
  composantes périodique de même période ou une
  composante constante (indépendante de ?)
• P5 si x(t) est purement aléatoire
• P6 à toute fonction dautocorrélation Rx(?)
  peut correspondre une infinité de signaux
  différents.
• En revanche, à un signal x(t) correspond une
  seule fonction dautocorrélation Rx(?) .

29
Analyse spectrale des signaux aléatoires

• Moyenne temporelle Ergodicité
• Les moyennes statistiques
  sont difficiles à approcher
  expérimentalement on ne dispose en général que
  dune seule détermination (enregistrement,
  observation)

Signification physique p51
30
Analyse spectrale des signaux aléatoires

• A partir de cette détermination, on définit les
  grandeurs temporelles suivantes
• Moyenne
• Fonction dautocorrélation
• Une f.a. x(t) est dite ergodique si toutes les
  les moyennes temporelles existent et sont
  indépendantes de la détermination de x(t)
  utilisée pour les calculer

31
Analyse spectrale des signaux aléatoires

• Ergodicité et stationnarité 2 notions
  indépendantes
• Mais, en télécommunications, les signaux sont
  supposés à la fois ergodiques et stationnaires à
  lordre deux
• Égalité entre moyenne temporelle et statistique
• Égalité entre fonction dautocorrélation
  temporelle et statistique
• ?Les grandeurs statistiques sont donc déterminées
  à partir de lobservation  suffisamment longue 
  dune seule trajectoire

32
Analyse spectrale des signaux aléatoires

• DSP des signaux aléatoires stationnaires
• Définition de la DSP des signaux aléatoires
  stationnaires
• Existence dune analogie forte entre lanalyse
  temporelle des fonctions déterministes et
  lanalyse statistique des fonctions aléatoires
  entraîne le résultat suivant
• 
  Grandeurs statistiques
• Propriétés et forme pratique de la DSP des
  signaux stationnaires réels
• Propriétés de Sx(f)
• Rx(?) réelle et paire ? Sx(f) réelle et paire
• Jamais négative

33
Analyse spectrale des signaux aléatoires

• Sx(f) DSP  symétrique  (répartition de Pm sur
  les fréquences  spectrales )
• Sx(f) DSP disymétrique ou monolatérale
• Les signaux aléatoires stationnaires nayant
  pas une énergie finie, il leur correspond une DSP

34
Analyse spectrale des signaux aléatoires

• Bruit blanc et bruit à bande limitée
• Bruit blanc
• Signal aléatoire stationnaire n(t) dont la DSP
  symétrique est constante égale à N0/2
• (DSP monolatérale ou dissymétrique
  )
• Conséquences

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Analyse spectrale des signaux aléatoires

• Bruit à bande limitée
• Signal aléatoire stationnaire n(t) dont la DSP
  symétrique est constante égale à N0/2 jusquà une
  certaine fréquence de coupure fc au delà de
  laquelle elle est nulle.
• Valeur moyenne, puissance moyenne et rayon de
  corrélation

mn 0 Pm N0.fc
36
Analyse spectrale des signaux aléatoires

• En télécommunications, le modèle adopté pour le
  bruit est une fonction aléatoire n(t)
  stationnaire centrée
• à spectre blanc dans la bande utile
• à statistique gaussienne
• Remarque ces deux catégories de propriété sont
  totalement indépendantes
•  blanc  lt propriétés énergétiques ou spectrales
  
•  gaussien  lt propriétés statistiques de la v.a.
  n(t)

37
Transmission par les systèmes linéaires des
signaux déterministes et aléatoires

• Définition et caractérisation des systèmes
  linéaires invariants Cas dune entrée
  déterministe
• lt circuits linéaires
• Etude de leur action sur les signaux, en non de
  leur constitution  boite noire 
• Modélisation

Entrée
Sortie
Système linéaire
x(t)
y(t)
T
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Transmission par les systèmes linéaires des
signaux déterministes et aléatoires

• Définition dun système linéaire invariant
• Système linéaire système qui possède les deux
  propriétés suivantes
• Relation entrée/sortie indépendante de lentrée
  yT(x)
• Opérateur T est linéaire T(a1.x1a2.x2)
  a1.T(x1)a2.T(x2) .
• Cest le cas notamment lorsque le
  comportement du système est régi par une équation
  différentielle linéaire
• Système invariant dans le temps
• Système lorsque ses propriétés sont invariantes
  par changement de lorigine des temps
• Y(t) Tx(t) ? y(t- ?) Tx(t- ?)

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Transmission par les systèmes linéaires des
signaux déterministes et aléatoires

• Propriété fondamentale Réponse impulsionnelle
• On démontre que pour tout système linéaire
  invariant, la relation entrée/sortie se met sous
  la forme
• Un système linéaire se comporte donc comme un
  convolueur temporel caractérisé par une fonction
  h(t) qui sinterprète comme la réponse
  impulsionnelle du système

?(t)
h(t)
Système linéaire invariant
40
Transmission par les systèmes linéaires des
signaux déterministes et aléatoires

• Pour le signal x(t), on a donc

x(t)
y(t) h(t)x(t)
Système linéaire invariant
41
Transmission par les systèmes linéaires des
signaux déterministes et aléatoires

• Relations entrée-sortie
• Interprétation de la réponse en fréquence
• Excitation sinusoïdale
• ?
• Y(t)H(f0).x(t)
• ? T admet pour fonctions propres des
  exponentielles complexes avec pour valeur
  propre associée la valeur H(f0) de la réponse
  harmonique au point ff0, fréquence de
  lexponentielle

42
Transmission par les systèmes linéaires des
signaux déterministes et aléatoires

• On pose généralement
• H(f) A(f).e-i?(f)
• A(f) gain en amplitude
  A(f) H(f)
• ?(f) retard de phase
  ?(f) - Arg H(f)
• ?
• La réponse à un signal sinusoïdal de fréquence f0
  est donc un signal
• de même fréquence f0,
• dont lamplitude est multipliée par le module
  A(f0 ) de la réponse harmonique
• dont la phase est augmentée de largument - ?(f0)
  de la réponse harmonique

43
Transmission par les systèmes linéaires des
signaux déterministes et aléatoires

• Densité spectrale du signal de sortie
• Tout système linéaire peut être considéré comme
  un filtre de fréquence
• Mécanisme sélectif

44
Transmission par les systèmes linéaires des
signaux déterministes et aléatoires

• Notion de système physiquement réalisable
• Causalité
•  Leffet ne peut précéder la cause 
• h(t) 0 pour tlt0 la réponse impulsionnelle est
  causale
• Si x(t) 0 pour tlt0, alors
• Tout système physiquement réalisable déphase

45
Transmission par les systèmes linéaires des
signaux déterministes et aléatoires

• Stabilité
• Un système linéaire est stable si sa réponse
  à un signal dentrée borné reste elle même
  bornée, soit
• Système physiquement réalisable
• Un système linéaire sera dit physiquement
  réalisable si sa réponse impulsionnelle h(t) est
  causale et intégrable

46
Transmission par les systèmes linéaires des
signaux déterministes et aléatoires

• Transformation des signaux aléatoires dans les
  systèmes linéaires invariants
• Position du problème
• En télécommunications, on peut souvent supposer
  que les formules suivantes restent valables si
  x(t) est un signal aléatoire
• y(t- ?) Tx(t- ?)
• y(t) est alors aléatoire,
• Y(t) est stationnaire si x(t) est stationnaire

47
Transmission par les systèmes linéaires des
signaux déterministes et aléatoires

• En se limitant à létude à lordre deux, le
  problème se pose de la manière suivante
• ?

48
Transmission par les systèmes linéaires des
signaux déterministes et aléatoires

• Propriétés statistiques du signal de sortie
• Aucune méthode générale ne permet de déduire la
  loi de probabilité du signal de sortie de la
  connaissance de celle du signal dentrée
• Toutefois, on démontre que si x(t) est gaussien,
  alors il en est de même pour y(t) et

49
Transmission par les systèmes linéaires des
signaux déterministes et aléatoires

• Rapport signal sur bruit à lentrée et à la
  sortie dun filtre linéaire Filtre adapté
• Rapport signal sur bruit
• Notion de rapport signal sur bruit
• Quotient de 2 grandeurs énergétiques (énergie ou
  puissance) relatives au signal dune part, au
  bruit dautre part
• Ce quotient est défini en fonction de la nature
  des signaux en présence (déterministes,
  aléatoires, énergie finie, puissance finie) et
  du contexte

p71
50
Transmission par les systèmes linéaires des
signaux déterministes et aléatoires

• Cas de signaux utiles déterministes
• Notations
• Définition du rapport signal sur bruit à lentrée
  du filtre
• Définition du rapport signal sur bruit à la
  sortie du filtre
• Définition du rendement du filtre pour le signal
  x(t)

filtre linéaire
x(t) b(t)
y(t) n(t)
51
Transmission par les systèmes linéaires des
signaux déterministes et aléatoires

• Détection dun signal certain dans un bruit
  Filtrage adapté
• Position du problème Filtre adapté
• Distinction du signal utile dans le bruit
•  exploitation brutale  éliminer par un
  système linéaire toute la puissance contenue dans
  certaines bandes de fréquence où lon sait que
  que la puissance (ou énergie) du signal (ou son
  énergie) est nulle ou négligeable
• Filtrage adapté du signal x(t) perfectionnement
  de lopération précédente qui consiste à
  optimiser le système linéaire de telle façon que
  le rapport signal sur bruit en sortie soit
  maximal.

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Transmission par les systèmes linéaires des
signaux déterministes et aléatoires

• Réponse en fréquence du filtre adapté au signal
  (certain) x(t) dénergie finie Ex
• g facteur de gain quelconque indépendant de
  f , t0 pour lequel le rapport signal sur bruit
  est maximum (définition du rapport signal sur
  bruit)

p75
53
Transmission par les systèmes linéaires des
signaux déterministes et aléatoires

• Sachant que lon prend g constante réelle
  positive, les résultats précédents montrent que
• La réponse en amplitude du filtre adapté au
  signal x(t) est proportionnel à son spectre
  damplitude
• A un retard constant près, la courbe de phase du
  filtre adapté au signal x(t) est égal à son
  spectre de phase
• De plus, la formule suivante
• montre quen dehors du retard t0, il y a
  remise en phase à la sortie du filtre adapté, de
  toutes les composantes spectrales

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Transmission par les systèmes linéaires des
signaux déterministes et aléatoires

• Cas dun signal x(t) aléatoire
• On démontre que sous certaines conditions (que
  nous ne préciserons pas), on obtient également
• 
  (Sx(f) DSP)
• Remarque
• Dans le cas dun signal x(t) certain,
  loptimisation nest rigoureusement faite quà t0
  où y(t) est maximal, alors que dans le cas dun
  signal aléatoire, elle est valable à tous les
  instants

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Transmission par les systèmes linéaires des
signaux déterministes et aléatoires

• Réponse impulsionnelle du filtre adapté au signal
  (certain) x(t)
• Par TF-1 de lexpression de H(f)optimal
• h(t) g. x(t0-t)
• Filtre adapté pas toujours causal donc pas
  toujours réalisable.
• Cependant, les signaux utilisés étant de durée
  finie T ou observés pendant une durée T, de sorte
  que, si préalablement on retarde le signal
  dentrée dun temps égal à T, lensemble  retard
  filtre adapté à x(t)  est causal, donc
  physiquement réalisable.Le retard naffecte que
  la phase de transfert du système.

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Transmission par les systèmes linéaires des
signaux déterministes et aléatoires

• Rapport signal sur bruit instantané (à linstant
  optimum t0) en sortie du filtre adapté
• Performance dun filtre réel par rapport au
  filtre adapté

? 1 pour le filtre adapté