Misaone operacije i nacini zakljucivanja u matematici

1
Misaone operacije i nacini zakljucivanja u
matematici
2
CILJ

• upoznati osnovne misaone operacije i nacine
  zakljucivanja u matematici, te osvijestiti
  njihovu primjenu u konkretnim situacijama kako bi
  bolje razumjeli proces razmišljanja kod ucenika u
  problemskoj situaciji

3
PROMISLITE ŠTO ZNACE POJMOVI

• analiza
• sinteza
• generalizacija
• apstrakcija
• indukcija
• dedukcija
• analogija

4
MISAONE OPERACIJE

• ZNANSTVENE METODE ISTRAŽIVANJA U MATEMATICI

5
ANALIZA

• misaona operacija u kojoj rašclanjujemo cjelinu
  na dijelove, proucavamo te dijelove i izvodimo
  zakljucke o njima
• cjelina je u matematici najcešce neki problem
  cije rješenje tražimo
• analizom problem svodimo na jednostavnije
  probleme ili tvrdnje koje su ocigledne ili lako
  dokazive
• znanstvena metoda istraživanja
• pocetak analize kao znanstvene metode je u staroj
  Grckoj, a razvila se na geometrijskim problemima.

6
SINTEZA

• misaona operacija u kojoj od pojedinacnih
  dijelova (cinjenica i jednostavnijih tvrdnji)
  sastavljamo cjelinu (složeniju tvrdnju)
• suprotna je analizi
• u sintezi uzimamo kao ucinjeno ono što je u
  analizi bilo posljednje dostignuto te vracajuci
  se unatrag koracima suprotnima analizi, dolazimo
  do konstrukcije onog što je bilo traženo
• prakticki je nedjeljiva od analize, tj.
  nadopunjuju se analiticko-sinteticka metoda

7
PRIMJER Konstruirajmo kvadrat ako je zadan zbroj
a d, duljina a stranice i d dijagonale.

• ANALIZA Nacrtajmo skicu kvadrata ABCD crtež
  treba nadopuniti tako da se na njemu pojavi
  pomocna figura u kojoj je jedan element dužina
  zadane duljine a d produžimo dijagonalu AC za
  dužinu CE duljine a. Promatrajmo trokute BCE i
  ABE. Trokut BCE je ocito jednakokracan i kutovi
  su mu 135o i dva kuta po 22,5o. Trokut ABE ima s
  kvadratom zajednicku stranicu AB i dade se
  konstruirati jer mu je poznata stranica AE
  duljine ad, kut BAE je 45o, kut AEB je 22,5o.
  Dakle u tom trokutu jedna stranica ima zadanu
  duljinu ad, pa je taj trokut pomocna figura koja
  omogucuje konstrukciju kvadrata ABCD.
• SINTEZA Vidi skicu koja je napravljena i
  sintetiziraj dobivene rezultate te izvrši
  konstrukciju

8
APSTRAKCIJA

• misaona operacija izuzetno važna u matematici
• misaono odvlacenje opceg bitnog svojstva
  promatranog objekta ili pojave od ostalih
  svojstava, nebitnih za odredeno proucavanje i
  odbacivanje tih nebitnih svojstava
• kako se opca bitna svojstva nekog skupa objekata
  izdvajaju primjenom poopcavanja, proizlazi da se
  poopcavanje i apstrahiranje stalno primjenjuju u
  procesu formiranju pojmova pri prijelazu od
  predodžbi k pojmovima
• konkretni objekti potrebni za formiranje novog
  pojma moraju biti pažljivo odabrani tako da
  omogucavaju poopcavanje, izdvajanje bitnih
  svojstava koja tvore sadržaj pojma
• suprotnost je konkretizacija

9
ZADACI

• Pokušajte analizirati ovu situaciju Dijete prica
  majci da je naucio što je to kugla to su drveni
  objekti smede ili crne boje koje uciteljica drži
  u školskom ormaru, a veoma su slicni njegovoj
  lopti za igranje.
• Pokušajte prikazati kako dijete apstrahira pojam
  pravca. Prikažite taj postupak kroz nekoliko
  koraka.

10
GENERALIZACIJA

• jedna od osnovnih misaonih operacija u matematici
• prijelaz s razmatranja danog skupa objekata na
  odgovarajuce razmatranje njegova nadskupa
• prijelaz s konkretnog i pojedinacnog k opcem
  (djeci ponekad teško)
• metoda kojom se izgraduju opcenitiji pojmovi i
  opcenitije tvrdnje
• polazi se od nekog skupa ciji svi elementi imaju
  odredeno svojstvo, a onda se promatra neki njegov
  prirodni nadskup cijim se elementima prenose
  ista svojstva
• kako odmah nije jasno hoce li pri tome prenošenju
  svojstvo ostati sacuvano, to se ono za sve
  elemente nadskupa nužno mora dokazati.
• Njena suprotnost je specijalizacija

11
PRIMJER

• Za kutove u trokutu vrijedi formula
• ? ? ? 1800
• Za kutove cetverokuta vrijedi
• ? ? ? ? 3600
• Sada generalizacijom možemo doci do formule za
  zbroj kutova n-terokuta.
• ? ?k (n 2) ?
• ovu bi formulu trebalo dokazati

12
OBLICI ZAKLJUCIVANJA
13
INDUKCIJA

• nacin zakljucivanja u kojem se iz dvaju ili više
  pojedinacnih sudova dobiva novi opci sud
• misaoni proces kojim se stvaraju generalizacije
  (rasuduje se od pojedinacnom k opcem)
• latinska rijec inductio - uvodenje, navodenje,
  pobudivanje
• predstavlja i znanstvenu metodu dokazivanja,
  kojom se pri proucavanju nekog skupa objekata
  promatraju posebni objekti iz tog skupa i
  utvrduju kod njih ona svojstva koja se zatim
  pripisuju citavom skupu
• Razlikujemo potpunu i nepotpunu indukciju

14
NEPOTPUNA INDUKCIJA

• Oblik zakljucivanja koji se zasniva na
  razmatranju jednog ili više, ali ne svih,
  pojedinacnih sudova ili slucajeva
• zakljucak dobiven nepotpunom indukcijom može biti
  i neistinit, pa ona nije metoda znanstvenog
  istraživanja
• NEISTINA Jasna ima smedu kosu, Lana ima smedu
  kosu, ja imam smedu kosu. Sve djevojcice imaju
  smedu kosu.
• ISTINA Moj je tata manji od 5 metara, Rada je
  manji od 5 metara svi su ljudi manji od 5
  metara.
• Zadatak Dokaži da za prirodne brojeve vrijedi
  svojstvo komutativnosti.

15
POTPUNA INDUKCIJA

• Oblik zakljucivanja koji se zasniva na
  razmatranju svih pojedinacnih sudova ili
  slucajeva
• Ako je S konacan skup sa n elemenata, i ako se
  neko svojstvo s ispita za svaki pojedini element
  skupa S, onda zakljucujemo da svi elementi skupa
  S imaju svojstvo s
• Primjer Neka je S skup svih ovdje prisutnih
  studenata. Tvrdim da svaki element skupa S
  posjeduje mobitel. Je li ova tvrdnja istinita?
• Zadatak Dokaži da medu prvih 20 prirodnih
  brojeva ima 8 prostih brojeva!

16
MATEMATICKA INDUKCIJA

• posebni slucaj indukcije koji ima snagu dokaza
• zasniva se na Peannovim aksiomima
• ako neka tvrdnja vrijedi za prvi clan niza, te
  ako iz cinjenice da tvrdnja vrijedi za n-ti clan
  niza proizlazi i da vrijedi i za n plus prvi clan
  niza, tada tvrdnja vrijedi za svaki clan niza
• provodi se u tri koraka baza indukcije
  pretpostavka indukcije korak indukcije
• ZADATAK Dokaži da je zbroj prvih n neparnih
  brojeva jednak n2

17
DEDUKCIJA

• nacin zakljucivanja u kojem se istinitost nekog
  tvrdenja izvodi iz istinitosti ranije utvrdenih
  (ili opce prihvacenim) opcih istina
• misaoni proces ide od opceg prema pojedinacnom
• nacin zakljucivanja suprotan indukciji
• ujedno je i metoda znanstvene spoznaje kojom
  dokazujemo neke matematicke tvrdnje
• Matematika je deduktivna znanost, a matematika u
  nastajanju je eksperimentalna induktivna znanost

18
PRIMJER

• Pravilo kaže Razlika se ne mijenja ako
  umanjeniku i umanjitelju dodamo ili oduzmemo isti
  broj.
• a b (a n) (b n)
• Na temelju toga riješi zadatak
• 435
• -198
• Koristeci Pitagorin teorem riješi zadatak Ako je
  hipotenuza 5cm, a kateta 3cm, kolika je duljina
  druge katete?

19
INDUKCIJA I DEDUKCIJA U NASTAVI MATEMATIKE

• Dedukcija kao nastavni postupak dominirala je u
  praksi stare škole
• Nastavni se proces odvijao tako da je ucitelj
  najprije iznio neku opcu tvrdnju koju su ucenici
  ucili napamet, a tek kasnije je primjenjivali u
  rješavanju pojedinacnih slucajeva
• Razlog tome je ekonomicnost deduktivnog postupka
  (vremena i energije) i cinjenica što zahtjeva
  manje nastavnikova stvaralaštva
• u suvremenoj nastavi induktivno deduktivni
  postupak ucenik induktivno usvaja odredene
  sadržaje matematike, a nakon toga ih deduktivno
  primjenjuje u rješavanju pojedinacnih zadataka.

20
ANALOGIJA

• oblik zakljucivanja pri kojem se iz opažanja da
  se dva objekta podudaraju u odredenom broju
  svojstava ili odnosa izvodi zakljucak da se oni
  podudaraju i u drugim svojstvima ili odnosima
  koji se kod jednog objekta nisu izravno opažali
• Objekt A ima svojstva s1, s2,, sk-1, sk , objekt
  B ima svojstva s1, s2,, sk-1 . Svojstva s1,
  s2,, sk-1 analogna su svojstvima s1, s2,,
  sk-1. Zakljucujemo da B ima svojstvo sk
• zakljucci mogu i ne moraju biti istiniti, pa
  analogija nema snagu dokaza
• jako važna za matematiku, jer ona može dati ideje
  za nove spoznaje koje se nakon toga dokazuju
• Analogija je veoma korisna i u nastavi
  matematike. ("slicno se izvodi", "ovo je zadatak
  slican prethodnom", )

21

• Laplace
• "Glavna sredstva pomocu kojih se otkrivaju
  istine u matematici su indukcija i analogija."
• Banach
• "Matematicar je covjek koji umije naci analogiju
  medu tvrdnjama, bolji matematicar je onaj koji
  pronalazi analogije medu dokazima, najbolji
  matematicar je onaj koji uocava analogije
  teorija, no može se zamisliti i onaj koji medu
  analogijama vidi analogije."

22
PRIMJERI i ZADACI

1. Znamo da je (ab)2 a2b2 , pa po analogiji
   zakljucujemo da je (abc)2 a2b2c2 . Ovu tvrdnju
   sada je lako dokazati. Pokušajte. 
2. Pravokutnik i kvadar imaju mnogo slicnosti.
   Naime, pravokutnik ima nasuprotne stranice
   paralelne, a susjedne okomite. Nasuprotne
   stranice su sukladne. Isto vrijedi i za kvadar.
   Ako je duljina dijagonale pravokutnika d2 a2
   b2 , koja bi mogla biti formula za duljinu
   prostorne dijagonale kvadra? Je li time dokazano
   da je to formula za dijagonalu kvadra?

23
PROVJERIMO NAUCENO

• U sljedecim zadacima daj komentar na tvrdnju koja
  se izrice. O kojoj se metodi ili obliku
  zakljucivanja radi? Je li nacin razmišljanja
  ispravan? Je li zakljucak ispravan?

24
ZADACI ZA RAZMIŠLJANJE

• Negativni brojevi imaju ispred sebe - .
  Broj ( -5) je negativan.
• 23 ? 32 , 45 ? 54, 67 ? 76 . Zakljucujemo da je
  am ? ma .
• Obujam kvadra izracunava se po formuli
  VBva b c , pa se obujam valjka racuna po
  formuli V B v r2 ? v .

25
U ovom opisu jedne situacije iz razreda
prepoznajte misaone operacije o kojima smo ucili 

• Uciteljica cita zadatak "Ako se za 1 dolar dobije
  5 kuna, koliko ce se kuna dobiti za 150 dolara?".
  Ucenici izdvajaju poznate i nepoznate podatke i
  zapisuju ih na plocu. Nakon toga, Maja na osnovu
  zapisanih podataka ponavlja (prepricava) zadatak.
  Ona se sjetila da su na prošlom satu rješavali
  slican zadata koji je glasio "Ako jedna kokoš
  košta 30 kuna, koliko košta 5 koka?", pa odmah
  postavlja brojevni izraz
• x kune
• 1 5 150 x
• x 150 ? 5
• x 750
• Daje odgovor Dobije se 750 kuna.
• Uciteljica kaže Djeco, sada ovaj izraz x
  dolari ? 5 možemo uzeti kao formulu za
  preracunavanje dolara u kune.