I-Conduction en r

1
I-Conduction en régime variable Généralités
a) Introduction
En absence de sources internes
D est la Diffusivité
2
Conduction en régime variable
b- Cas du mur ( problème à une dimension)

• La chaleur se propage le long de laxe ox
• Les isothermes sont des plans perpendiculaires à
  ox

3
Conduction en régime variable
c) Résolution numérique graphique- Méthode de
Schmidt
Discrétisation dans lespace et dans le temps

• discrétisation en x ?x

o
x
n
n1
n-1
?x
?x
?x
?x
4

• discrétisation en x ?x

Tn1
Tn
temps t
M
Tn-1
N
o
x
n
n1
n-1
5
Tn,p
temps t

• discrétisation dans le temps ?t

temps t ?t
Tn,p1
x
n
n1
n-1
?x
?x
?x
?x
6
Tn1,p
Tn,p
temps t

• discrétisation dans le temps ?t

Tn-1,p
Tn1,p1
Tn,p1
Tn-1,p1
x
n
n1
n-1
?x
?x
?x
?x
Léquation de la chaleur sécrit alors
7
Tn1
Tn
temps t

• discrétisation dans le temps ?t

M
Tn-1
N
Tn,p1
x
n
n1
n-1
?x
?x
?x
?x
Léquation de la chaleur sécrit alors
Si
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Conduction en régime variable
doù la construction
Tn1
Tn
temps t
M
Tn-1
N
9
Conduction en régime variable
d) Exemple de construction
t0
Tp0
10
Conduction en régime variable
Exemple de construction
t0
t?t
1
2
3
4
0
11
Conduction en régime variable
Exemple de construction
t0
t ?t
1
2
3
4
0
12
Conduction en régime variable
Exemple de construction
t0
t ?t
t 2?t
1
2
3
4
0
13
Conduction en régime variable
Exemple de construction
t0
t ?t
t 2?t
1
2
3
4
0
14
Conduction en régime variable
Exemple de construction
t0
t ?t
t 2?t
t 3?t
1
2
3
4
0
15
Conduction en régime variable
Autre exemple de construction
t0
16
Conduction en régime variable
Exemple de construction
t0
t ?t
1
2
0
1
2
0
17
Conduction en régime variable
Exemple de construction
t0
t ?t
t 2?t
1
2
0
1
2
0
18
Conduction en régime variable
Exemple de construction
t0
t ?t
t 2?t
t 3?t
1
2
0
1
2
0
19
Conduction en régime variable
Exemple de construction
t0
t ?t
t 2?t
t 3?t
1
2
0
1
2
0
20
II-Problème de Fourier mur symétrique en régime
transitoire
Conduction en régime variable
21
Conduction en régime variable
a) Hypothèses

• Temps t0-? tout le mur est isotherme TT0
• Temps t0 les parois passent à la température T0

t0
T0
Ts0
2a
22
Conduction en régime variable
b) résolution
Méthode de séparation des variables
23
Conduction en régime variable
24
(No Transcript)
25
Les conditions aux limites donnent plusieurs
valeurs de ? donc Plusieurs valeurs des C1, C2, C3
C1n, C2n, C3n
? n
26
C3n0
Mais T(x) T(-x)
27
t0 x a
T0
28
En t 0
avec n2p1
t0
T0
o
x
2a
avec n2p1
29
est sans dimension cest le nombre de Fourier Fo
30
c) Echange par convection avec le milieu extérieur
Tp
tlt0
TaTpT(x)To
t0
Ta0
Tp T(xa) ?
Tp
Ta
T(x)?
h/k
Mais en surface
sur la surface
31
Par analogie avec le problème de Fourier
nest plus un entier
La condition aux limites sur les parois conduit à
écrire à t0
32
nombre de Biot
33
On préfere utiliser des abaques donnant la
température en des points particuliers en
fonction des nombres de Fourier (Fo) et de Biot
Bi)
Tp
Bi
Fo
34
d) Cas dun milieu semi infini
35
En posant TT(v)
Avec vx?(t)
Fonction de v
Fonction de t
36
En posant A-1/2
37
A-1/2
en posant
38
T1
t0
T2
o
x
TT1
C. I.
tlt0
t0

• x0 , TT2
• x8 , TT1

En posant
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Z(u)1-erf(u)
Z(u)1-erf(u)
Typiquement D10-6SI
40
Par unité de surface de paroi
41
Par unité de surface de paroi
42
Mur symétrique
Vérifier que la solution ci contre est en accord
avec les conditions aux limites dun mur
symétrique
43
t0
Tp0