Distribuzioni di probabilit

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Distribuzioni di probabilità

• Sia X una variabile aleatoria discreta definita
  su uno spazio campionario S
• f (x) P (Xx )
• P(X?A)

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Valore atteso di una variabile aleatoria discreta

• Esempio Distribuzione di probabilità del numero
  di episodi di otite media nei primi 2 anni
• E(X)0(.129)1(.264)2(.271)3(.185)4(.095)5(.03
  9)6(.017)2.038

x 0 1 2 3 4 5 6
P(Xx) .129 .264 .271 .185 .095 .039 .017
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Varianza (della popolazione) di una variabile
aleatoria discreta

• Esempio

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Funzione di distribuzione cumulativa

• La funzione di distribuzione cumulativa (c.d.f.)
  di una variabile aleatoria è indicata con F(X )
  ed è definita da
• F(x ) P(X ? x)
• Esempio
• F(x) 0 se x lt 0
• F(x) .129 se 0 ? x lt 1
• F(x) .393 se 1 ? x lt 2
• F(x) .664 se 2 ? x lt 3
• .. .

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Rappresentazione grafica della c.d.f.

• Funzione a scalino step function

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Distribuzione di probabilità continua

• Si riferisce a una variabile aleatoria continua
  definita su un sottoinsieme S di R
• area sotto il grafico di f di base A

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Distribuzione normale formula

• indica la media della popolazione
• ? indica la deviazione standard della popolazione

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Distribuzione normale m3, s1
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• La probabilità che cada in un intervallo centrato
  sulla media di raggio z volte la deviazione
  standard dipende solo da z, da cui segue la
  regola empirica.
• z non è necessariamente un intero.
• Esempio la media della altezza di un uomo adulto
  è 70 inches e s4.0 inches.
• In base alla regola, 0.95 è la probabilità che un
  uomo adulto scelto a caso abbia un altezza
  compresa fra 62 e 78 inches.

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• Sia X una v. a. continua normale con media m e
  deviazione standard s

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Funzione di distribuzione cumulativa

• 0 ? F(x) ? 1
• Monotona crescente

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(No Transcript)
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• Quando trattiamo un campione di dati provenienti
  da una serie di misure e riteniamo che i dati
  siano distribuiti secondo una normale, se
  decidiamo di associare alla nostra stima una
  incertezza pari a una deviazione standard
  confidiamo che leffettivo valore della grandezza
  misurata giaccia nellintervallo da noi definito
  con una probabilità del 68.

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Distribuzione binomiale

• Si applica a variabili aleatorie che possono
  assumere solo 2 valori ad esempio, un certo
  evento si verifica oppure no. Possono quindi
  essere codificate con 0 e 1. La distribuzione
  binomiale descrive il possibile numero di volte
  che la variabile assume il valore 0 (rispettiv.
  1) in una sequenza di osservazioni, sapendo che
  la probabilità di verificarsi di 0 in una
  osservazione è p.

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Distribuzione binomiale

• La probabilità di k successi in n prove
  indipendenti sapendo che
• la probabilità di successo in 1 prova è p

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Lancio della moneta

• Ad esempio, lanciando 4 volte una moneta equa
  sappiamo che
• P(Zero T)1/16 P(esatt. 1 T)4/16
• P(esatt. 2 T)6/16 P(esatt. 3 T)4/16
• P(esatt. 4 T)1/16
• Se la moneta non è equa ma T ha probabilità p
• P(k T su n prove)

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Distribuzione binomiale grafico
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Esempio

• Nellemocromo si misura anche il numero di
  globuli bianchi. Questi si dividono in 5
  categorie neutrofili, linfociti, monociti e
  basofili. Interessa la distribuzione di
  neutrofili k su 100 globuli bianchi.
• Qual è la probabilità che su 5 cellule 2 siano
  neutrofili sapendo che la probabilità che 1
  cellula sia un neutrofilo è 0.6?

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• Ricordiamo che
• In quanto ad ogni sottoinsieme di k oggetti è
  associato il suo complementare che ha n-k
  oggetti. Qui i sottoinsiemi di k oggetti sono
  tanti quanti quelli di n-k oggetti.

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Esempio dei neutrofili
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• Quando una statistica eseguita su una campione
  stima un parametro della popolazione, la stima
  dipende dal campione e ci si pone la domanda
  quanto la stima è prossima al valore del
  parametro della popolazione.
• Così la media campionaria, una proporzione
  campionaria sono variabili aleatorie e possiedono
  una distribuzione
• sampling distribution

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• la proporzione di individui che votano per la
  lista A
• la percentuale di donne facenti parte di una
  giuria
• il numero medio di carcerati già condannati ad
  una pena detentiva su un campione di 100 detenuti
  del carcere XY

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Distribuzione campionaria di medie campionarie

• La media è una variabile che cambia da
  campione a campione.
• La media della distribuzione campionaria è uguale
  a m, cioè, misurandola su campioni di dimensione
  n al tendere del numero dei campioni allinfinito
  la media delle medie campionarie tende alla media
  della popolazione m.

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Errore standard

• La deviazione standard della
  distribuzione campionaria di si chiama
  errore standard.
• Vale la formula
• Errore di campionamento
• m -

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Teorema centrale del limite

• La distribuzione campionaria di un campione
  random tende ad una distribuzione normale al
  tendere della dimensione del campione
  allinfinito.

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Osservazioni

• La approssimata normalità della distribuzione
  campionaria delle medie si applica indipendente
  dal tipo della distribuzione della popolazione!!!