2-3 Rn???

1
(No Transcript)
2
?????????

• 2-1 ???????
• 2-2 ???????
• 2-3 Rn???
• 2-4 ????
• 2-5 ?????????
• 2-6 ????????
• 2-7 ????

3
2-1 ???????

• ??????????(vector),????????,?????????????????(rect
  angular coordinate system) Rn ??????????
• ?????????2 ? 1?????

4

• ?? x1?x2 ???,???? X ???(com-ponents)???????
  ,?????
• ?????? P (x1, x2) ??????????????? P (x1,
  x2),????????? ???? X (??2-1)????????
• ?? ???????? ,? ??
• ???,???? ??2-2?,?? ??? ???????,??????

5
Tail of the vector
P( x1, x1)
Head of the vector
?2-1
?2-2
6

• ????(vector in the plane)???? 2 ? 1
  ???,?????????????????
• ??,????????(vector in the plane)??????

7

• ? ??????,a ????,???????????????????

????(Scalar Multiple)
8
2X
X
X Y
?X
?2X
?2-3
?2-4
9

• ? X?Y?Z ?????,c ? d ?????,?X Y
  ??????(????????),?
• (1) X Y Y X
• (2) X (Y Z) (X Y) Z
• (3) X O O X X, ????(zero vector)

10

• (4)??????(negative vector) ?X ,?? X (?X) 0 ?
  cX ??????,?
• (5) c (X Y) cX cY
• (6) (c d) X cX dX
• (7) (cd) X c (dX)
• (8) 1X X

11

• ????????(real vector space) (V, ?,
  ?)??????(nonempty)??? V ?????????????????????
• ? X?Y ? V ??????,? X ?Y ?? V ?(?????),?
• (1) X ?Y Y ?X
• (2) X ?(Y ?Z) (X ?Y) ?Z,X, Y, Z?V
• (3)V ????? O,??? V ?????? X ???O ?X X ?O X
• (4)????? V ???? X,????? X ??X ?(?X) (?X) ?X 0
• ? ??????

12

• ? X ? V ?????,c ?????,?c?X ?? V ?(?????),?
• (5) c ? (X ?Y) c ?X ? c ?Y,X, Y?V
• (6) (c d) ?X c ?X ? d ?X
• (7)?????? c,d ? V ????? X,c ?(d ?X) (cd) ?X
• (8) 1?X X
• ? ??????

13

• ?????,???X ? Y,c?X ???,?X Y ?cX??

• ? X ????? V ????,c ?????,?
• (1) oX O
• (2) cO O
• (3)? cX O,? c o ? X O
• (4)(?1) X ?X

14

• ? V ??????,W ? V ?????? W ?V??????????????,?? W ?
  V ??????(subspace)?
• ??V??????,?V?O??????

15

• ? V ??????,???? ? ? ??? W ? V ????????,? W ? V
  ??????????
• (1)?X?Y?W????,? X ?Y ?? W ??
• i.e. X?Y? W? X ? Y ? W
• (2)? c ?????,X ? W ?????,? c?X?? W ??
• i.e. c ?R, X? W? c?X ? W

16
??(??2-9) (p.61)? W w w ?AXO???? ,??
W???R n ???????

• ? X, Y ? W, ?AXO AYO
• ?A(XY) AXAY O O O
• ? XY ? W (??2-3-(1)??)
• (ii) ? c ? R ? 0, ?X ? W ,?AXO
• ? A(cX) c A(X) cOO
• ? cX ? W (??2-3-(2)??)

?W?Rn ??????
17
?? ?W (a,b,0) a,b ?R ,W???R3???????

• ?
• w1 (a1,b1,0) , where a1,b1 ? W
• w2 (a2,b2,0) , where a2,b2? W
• ? w1 w2 (a1a2,b1b2,0) ?W ??(1)??

(2) ? w1 (a1,b1,0) , where a1,b1 ? W? c ?
R ? cw1 c(a1,b1,0) , (c a1, c b1,0) ? W
??(2)??
18
???

• ??R2???,????????????????,???R2?????
• (a) W1 (x,y) x?0 , y?R
• (b) W2 (x,y) x?0 , y ?0
• (c) W3 (x,y) x0 , y?R

19
2-2 ???????

• ? V ??????,X, X1, X2, , Xk,? V ???????? k ???
  c1, c2, , ck,??
• X c1X1 c2X2 ckXk
• ???? X ? X1, X2, , Xk ?????(linear
  combination)?

20

• ? X1, X2, , Xk ????? V ?????,? X1, X2, , Xk
  ???????????,???ltX1, , Xk gt??,???,
• ltX1, , Xkgt c1X1 ck Xk c1, , ck
  ,?????
• ltX1, , Xkgt? V ??????

21

• ? X1, , Xk ????? V ????????? W ltX1,,Xkgt??
  X1, , Xk ???(is spanned by)?????????X1,, Xk
  ??(span) W?
• W ltX1,,Xkgt is spanned by X1, , Xk
• or X1, , Xk span W

22
???

• (a) (??2-10) (p.62)
• ??X1 (1, 1, 1),X2 (1, 2, 3),X3 (0 ,1 ,
  0),??????R3?
• (b)
• ?R3?,u1 (1, 1, 0),u2 (0, 1, 1),u3 (1 ,1 1)
  ,??u1 (1, 0, 0)????? u1, u2,u3 ????

23
??? (??2-10) (p.62)
?? ? X (a,b,c) , ?? a, b, c?????,?X????X1 ,
X2 , X3???????
??? c1X1 c2X2 c3X3 X (a,b,c) , ?
c1 c2 a c1 2c2 c3 b c1
3c2 c
c1 (3/2)a - 1/2c c2 (1/2)(c-a) c3
b-(1/2)c-(1/2)a
? X1, X2 , X3????R3
24

• ? X1, , Xk ????? V ???????????????? c1, , ck
  ??
• c1X1 c2X2 ckXk O (2-1)
• ??X1,, Xk ?????(linearly dependent)????X1, ,
  Xk ?????(linearly independent)?
• ????,?(2-1)???? c1 c2 ck 0 ?????,? X1,
  , Xk ?????????,??????? Xi ????,? X1, , Xk
  ???????

25

• ??X1,, Xk ???????????????
• ???????
• c1X1 c2X2 ckXk O i.e. CX O
• ????????????
• ????????????????,????????????,????????

26
R2 ?????????????
c1X1 c2X2 O , Suppose c1 ? 0, X1
-(c2/c1) X2 - k X2
R2 ?????? ???????????????????
R2 ?????? ?????,????????????
27
R3?????????????
R3 ?????? ? ?????????????
R3 ?????? ? ??????????????(Scalar Multiple)
28
??? (??2-12) (p.64) ??????????????????
?R3?,X1 (1, 1, 1),X2 (1, 2, 3),X3 (0 ,1 , 0)
??? c1X1 c2X2 c3X3 0 (0,0,0) , ?
c1 c2 0 c1 2c2 c3 0 c1
3c2 0
? X1, X2 , X3 ?????
29
??? (??2-12) (p.64) ??????????????????
(a) ?R2?, X1 (1, 2),X2 (1, 0), X3 (2, 1)
??? c1X1 c2X2 c3X3 0 (0,0) , ?
c1 c2 2c3 0 2c1 0c2 c3 0
30
?????????????????????

• (b) ?R3?,u1 (1, 2, -1),u2 (1, -2, 1),u3 (-3,
  2, -1) ,u4 (2, 0, 0)
• (c) ?R4?,X1 (-1, 1, 0, 0),X2 (-2, 0, 1, 1)
• (d) ?R4?,u1 (1, 0, 1, 2),u2 (0, 1, 1, 2),u3
  (1, 1, 1, 3)

31
?????????????????????

• (b)?R3?,u1 (1, 2, -1),u2 (1, -2, 1),u3 (-3,
  2, -1) ,u4 (2, 0, 0)
• (c)?R4?,X1 (-1, 1, 0, 0),X2 (-2, 0, 1, 1)
• (d) ?R4?,u1 (1, 0, 1, 2),u2 (0, 1, 1, 2),u3
  (1, 1, 1, 3)

32

• ? X1, X2, , Xk ????? V ? k ???,?X1, X2, , Xk
  ????????????????????? k?1 ????????????

???(????(a)) ?R2?, X1 (1, 2),X2 (1, 0) , X3
(2, 1),??X1 ?X2? X3?????,?????2-4??
33

• ????? V ???? S X1, X2, , Xn ????????
• (1) S ?????????
• (2) V ltSgt
• ?? S ? V ?????(basis)?

34
???

• (a) ?R3?,X1 (1, 1, 1),X2 (1, 2, 3),X3 (0 ,1
  ,0),???S X1, X2, X3 R3??????
• (b) ???S X1, X2, X3, X4 ?R4??????,??X1 (1,0,
  1, 0),X2 (0, 1, -1, 2) , X3 (0, 2, 2, 1) , X4
  (1,0, 0, 2)

35

• ???? V ????????,??????????????????,
• ?? S X1, X2, , Xn ?T u1, u2, , um
  ?????? V ???,?n m ?
• ??????????? n,?? n ? V ???(dimension)? dim V
  n,?? V ? n ?????(n-dimensional vector
  space),????? O ???????0?

36

• ????,
• dim R2 2
• dim R3 3
• dim Rn n ?

• ? S X1, X2, , Xn ????? V ???,?V?????? X ???
  X1, , Xn ???????,????????

37

• ? S X1, X2, , Xn????? V ???,? V ????? X
  ????????
• X a1X1 a2X2 anXn
• ???(a1, a2, , an)? X ???? S ?????(coordinate
  vector),???

38
2-3 Rn???

• Rn ??? X (x1, x2, , xn)???(length or norm)?
• ???????? X ??????(x1, , xn)???,???????(x1,
  x2, , xn)??(y1, , yn)?????,???? X ? Y
  ?????????
• ????

39

• ? X (x1, , xn),Y (y1, , yn)? Rn
  ??????,????(inner product)?
• ????????????????

40

• ? X?Y?Z ?? Rn ????,c ???,?
• (1) X.X X2 ??X.X 0 ???? X O
• (2) X. Y Y. X
• (3) (X Y). Z X.Z Y.Z
• (4) (cX).Y c (X.Y) X.(cY)

41

• Cauchy-Schwarz,zd ???
• ? X?Y ? Rn ????,?
• (2-2)
• (?????????? ????????,???? ???????)

42

• ? X?Y ? Rn ??????,? X?Y ??? ? ??????

43

• ? X?Y ? Rn ??????,
• ? X.Y 0,?? X ? Y ??(orthogonal)?
• ? X.Y X Y,?? X ? Y ??(parallel)?
• ???2-11?,X ? Y ??,? cos ? 0 ? X ? Y ???? ?? X
  ? Y ??????, cos ?
• 1,? X ? Y ??????,? cos ? ?1?

44

• ? S X1, , Xn ? Rn ???,? i ? j ?,Xi.Xj
  0,?? S ? Rn ?????(orthogonal basis)?? S X1,
  , Xn? Rn ?????,? S ??????????,?? S ? Rn
  ?????(orthonormal basis)?

45

• ? S X1, , Xn? Rn ?????,?????,? S ??????
• Gram-Schmidt ?????
• ? W ?Rn ??????,???? S X1, , Xm,???? S ?? W
  ????????

46

• ? S X1, X2, , Xn ? Rn ?????,??? X ??? S
  ????

47
2-4 ????

• ? V?W ?????????? L V ? W ???
• (1) L(X1 X2) L(X1) L(X2),X1, X2 ? V?
• (2) L(cX) cL(X),X ? V, c ????
• ?? L ?? V ?? W ??????

48

• ? L V ? W ??????,?
• (1) L(Ov) Ow,Ov,Ow???V?W????,
• (2) L(c1 X1 c2 X2 cn Xn) c1 L(X1) c2
  L(X2) cn L (Xn),X1, X2, Xn ? V,c1, c2,
  , cn ??????

49

• ? L V ? W ??????,???
• Ker L X ? V L (X) Ow
• ?? L ??(kernel),???
• Range L Y ? W ?? X ? V,?? L(X) Y
• ?? L ???(range)?

50

• ? L V ? W ??????,? Ker L ? V ????,Range L ? W
  ?????
• ? L V ? W ????????? L(X1) L(X2)?,?? X1
  X2,?? L ??????(one to one)?? Range L W ?,?? L
  ?????(onto)?

51

• ? L V ? W ??????,? S X1, X2, , Xn? V
  ?????,?L(X1), L(X2), , L (Xn) ?? Range L?
• ? L V ? W ??????,?
• dim (Ker L) dim (Range L) dim V (2-4)

52
2-5 ?????????

• ? L V ? W ??????,? S X1,, Xn,T Y1, ,
  Ym??????? V ? W ?????? W ???? L(X1) , , L(Xn)?
  T ????

53

• ???

54

• ?????? L ????? S ? T ?????(matrix representing
  the linear transformation L)?
• ?????2-8????,V ??? X ??? S ????????XS,??? L(X)
  ??? T ?????????L(X)T?

55

• ????? V?W ?????? S X1,, Xn?T Y1, ,
  Ym,????? L V ? W??? S ? T ???????? A,??? V
  ??????X,

56
2-6 ????????

• ? A ? n ???,?????? ? ,??????? X,??
• AX ?X (2-5)
• ??????A????(eigenvalue or characteristic
  value),?? X ???? ? ?????(eigenvector or
  characteristic vector)?

57

• ???????????,?????????
• (1)???2-18?,?????????,?????????????,????????????
• (2)??? X O ????(2-5)?,????,???????(2-5)???????
• (3)?X1 ? O,X2 ? O ???? ? ???????,a ?????,? a ?
  0,??

58

• ?? aX1 ? X1 X2 ????? ? ??????
• (4)??
• ? S ???? ? ?????????????????,??(3)? S ? Rn
  ????,????? ? ?????(eigenspace)?

59

• ? A ? n ???????
• ?? A ??????(characteristic polynomal of A)?????
• ?? A ??????(characteristic equation of A)?

60

• ? A?B ?? n ???,????????? P ?? B P?1 AP,?? B ? A
  ??(B is similar to A)?
• ? A ?? n ????? A ????????,?? A ??????(diagonalizab
  le)?

61

• (1)??? A ? B ??,B ? C ??,? A ? C
  ????????????????(transitivity)?
• (2)??? A ? B ??,? A B?
• (3)??? A ? B ??,? A?B ?????????

62

• ? A ? n ???,? A ????????????? A ? n
  ?????????????,A ??????? D ??,? D P?1AP,? D
  ???????? A ????,??? P ?????? A ? n ???????????

63

• ? ?1, ?2, ?m ? n ??? A ? m ???????,?????????X1,
  X2, , Xm ???????
• ??? A ???????????,?????,??? A ???????

64

• ??? A ?? m ??????? ?1, ?2 , , ?m,m lt n,?? ?i
  ????? ki , i 1, 2, , m,?
• ,? A ????????????i ???????? ki , i 1, 2,
  , m?
• ???????????????????????????,?????????????

65

• ??????????????????????

66

• ? P ? n ??????,? PTP In,?? P ??????
• ? A ?????,????????? P,??P?1AP D,????? D
  ???????? A ?????

67
2-7 ????

• ???? n ?? x1, x2, ..., xn ????? Q(X) XTAX ??? n
  ?????(quadratic form in n variables),?? X x1,
  x2, , xnT,A ???????
• ???????,????????? X PY,P ??????,? n ????? Q(X)
  ?????? n ?????Q?(Y)?

68

• ? A?B ?? n ???,????????? P,?? B PTAP,?? A ? B
  ??(congruent)?

69

• ? Q(X) XTAX,Q?(Y) YTBY ??????,? A ? B ??,?? Q
  ? Q? ??(equivalent)?

70

• ????(Principal Axes Theorem)
• ??? n ????? Q(X) XTAX ??Q?(Y)
• ??,?? Y y1, y2, , yn T,?1, ?2,
  , ?n ? A ?????

71

• ?A aij ? n ?????,? A ?????????

72

• ? A aij ? n ?????,? A ?????????