Recursi

1
Recursión

• qué es esto?

2
Recursión

• Un árbol se crea recursivamente

3
Qué será que algo sea recursivo?

• Por qué un árbol es una estructura recursiva?
• De qué está formado un árbol?,
• y cada elemento?

4
Como definirías recursión?

• Esta figura es recursiva, observala bien....
• Cómo las describirías?
• Se repite algún patrón? Cual?

5
Funciones recursivas

• Cuando algo se define en términos de partes de sí
  mismo más pequeñas o mas simples, se dice que es
  recursivo.
• La recursión es una técnica algorítmica donde una
  función, para cumplir una tarea, se llama a sí
  misma como parte de la tarea.
• Se dice que una función es recursiva, si la
  función se define en términos de si misma o se
  llama a sí misma directa o indirectamente.

6
Funciones recursivas

• Involucran dos partes principales o casos
• Caso base (condición de terminación). Es el caso
  en el cual el problema es lo bastante simple para
  ser resuelto directamente.
• Caso recursivo. El caso recursivo tiene 3
  operaciones
• Dividir el problema en una o mas partes simples
  o más pequeñas del problema
• Llamarse a sí misma, esto es, llamar a la función
  recursivamente en cada parte
• Combinar las soluciones de las partes como una
  solución para el problema

7
Método de las 3 preguntas

• Utilizaremos este método para verificar que una
  solución recursiva funciona. Para esto la función
  debe ser capaz de contestar si a las siguientes
  tres preguntas.
• La pregunta caso-base Hay una salida no
  recursiva de la función y la rutina funciona
  correctamente para este caso base?
• La pregunta llamador-mas-pequeño Cada llamada
  recursiva se refiere a un caso más pequeño del
  problema original y tiende al caso base?
• La pregunta caso-general suponiendo que las
  llamadas recursivas funcionan correctamente,
  funciona correctamente toda la función?

8
Ejemplo función recursiva

• Recuerdan como se define el factorial de un
  número?
• n! n(n-1)(n-2)...21 donde ngt0 y 0!1
• Entonces, cómo podemos definir n! en términos
  de sí mismo?, es decir de otro factorial.
• n! n(n-1)(n-2)...21 ? (n-1)!
• n! n (n-1)!
• (n-1)! (n-1) (n-2)!
• ....
• 2! 21!
• 1! 10!
• 0! 1

9
Ejemplo función recursiva

• El factorial de un número ilustra muy bien los
  aspectos básicos de un problema recursivo
• Se resuelve en términos de sí mismo con un valor
  más pequeño n-1 (caso recursivo)
• Tiene una condición de terminación (caso base) en
  donde se calcula directamente el resultado
• 0! 1
• Esto es, tiene un fin!! En algún momento
  termina.

10
Ejemplo función recursiva

• include ltiostreamgt
• using namespace std
• int fact(int n) //prototipo
• void main()
• int n, f
• cout ltlt "\n Ingresa un numero "
• cin gtgt n
• f fact(n)
• cout ltlt "El factorial de " ltlt n ltlt " es " ltlt f
  ltlt endl
• int fact(int n)
• if (n 0) return 1 //caso BASE
• return (nfact(n-1)) //llamada recursiva

11
Cómo le hace?
120 El fact(5) 120
Llamada en el main fact(5)
5!
120
5 4!
24
4 3!
6
3 2!
2
2 1!
1
1 0!
1
Valor de regreso
1
12
Recursión v.s. iteración

• // función iterativa
• int fact(int n)
• int f1
• if(n0 n 1)
• return 1
• else
• for(int i1iltn i)
• f i
• return f

• //función recursiva
• int fact(int n)
• if(n0 n 1)
• return 1
• return (nfact(n-1))

No cliclos
Uso de cliclos
13
Pila de recursión
Memoria
Segmento de código
Segmento de datos
Segmento extra ( o libre)
Segmento de stack (pila)
Segmento del sistema
Está destinado a las variables locales,
parámetros de la función que se está ejecutando y
su valor de regreso
int suma(int x, int y) int z z x
y return z
14
Llamada a una función iterativa

• // función iterativa
• int fact(int n)
• int f1
• if(n0 n 1)
• return 1
• for(int i1iltn i)
• f i
• return f
• main()
• int f
• f fact(3)

i 1
f 1
n3
Regreso fact(3)

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Ejemplo llamada recursiva



n 0
Regreso 1 fact(0)
n 1
Regreso 2 fact(1)
n 2
Regreso 3 fact(2)
n 3
Regreso fact(3)

• //función recursiva
• int fact(int n)
• if(n0)
• return 1
• return (nfact(n-1))
• main()
• int f
• f fact(3)

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Recursividad v.s. Iteración
Recursividad Iteración
Eficiencia en espacio Puede requerir gastos considerables, sobre todo en almacenamiento, ya que debe guardar copias de variables locales Más eficiente
Eficiencia en tiempo El tiempo de una llamada es costosa Los ciclos son directos
Capacidad de computadora Algunos valores son calculados una y otra vez excediendo la capacidad de la computadora antes de obtener una respuesta La eficiencia en tiempo y espacio permiten llegar en algunos casos a soluciones
Claridad en la solución En algunos casos la solución recursiva es más simple y natural. Utiliza menos código Mayor código y más variables lo hacen mas complicado
17
Actividad Colaborativa

• En binas hacer un programa que lea un número N y
  llame a las funciones recursivas imprime(n) e
  imprimeAlReves(n), que imprimen los números desde
  N hasta 0 y de 0 hasta N respectivamente. No
  usar estructuras de repetición.
• void imprime(int n) //prototipo
• void imprimeAlReves(int n) //prototipo
• void main()
• int n
• cout ltlt ingresa un número
• cin gtgt n
• cout ltlt Los números de ltlt n ltlt a 0 son
  \n
• imprime(n) //llamada

18
Actividad grupal (SOLUCION)

• Compartiendo la experiencia

19
Actividad Colaborativa

• En binas hacer un programa que resuelva el
  problema del máximo común divisor (MCD) de dos
  números X y Y.
• El MCD, es el mayor entero que divide tanto a X
  como a Y.
• Escribir una función recursiva que calcule el
  MCD
• Una versión para resolver este problema del MCD
  es el famoso algoritmo de Euclides, una versión
  de este algoritmo es la siguiente
•   Sean m,n ? ?
•   Paso 1 Dividir m por n y obtener residuo r ( 0
  lt r lt n)
• Paso 2 si r 0, entonces la respuesta es n y
  el algoritmo termina
• Paso 3 caso contrario asignar m ? n y n ? r
  volver al paso 1
•   Por ejemplo, si m42 y n30 entonces el
  mcd(42,30) 6

20
Actividad grupal (SOLUCION)

• Compartiendo la experiencia

21
Que aprendimos?
22
Tipos de recursión

• Existen 4 tipos de recursión que dependen del
  número de llamadas a sí misma y el lugar de la
  llamada.
• Recursión simple Aquella en cuya definición sólo
  aparece una llamada recursiva
• Ejemplo Función Factorial, imprime, MCD, etc.
• Recursión múltiple Se dá cuando hay más de una
  llamada a sí misma dentro del cuerpo de la
  función
• Ejemplos Función Fibonacci, torres de hanoi,
  escape del calabozo, etc.

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Tipos de recursión

• Recursión anidada Aquella en que en algunos de
  los argumentos de la llamada recursiva hay una
  nueva llamada a si misma.
• Ejemplo Función de Ackerman
• Recursión cruzada o indirecta son algoritmos
  donde una función provoca una llamada a sí misma
  de forma indirecta a través de otras funciones.
  Es decir, es aquella en la que una función llama
  a otra función y esta a su vez llama a la función
  que la llamo.
• Ejemplos Función par-impar, juego de las piedras

24
Recursión Múltiple

• Cierto matemático italiano de nombre Leonardo de
  Pisa, pero mejor conocido como Fibonacci, propuso
  el siguiente problema
• Suponga que acabamos de comprar una pareja de
  conejos adultos. Al cabo de un mes, esa pareja
  tiene una pareja de conejitos (un conejo y una
  coneja). Un mes después, nuestra primera pareja 
  tiene otra pareja de conejitos (nuevamente, un
  conejo y una coneja) y, al mismo tiempo, sus
  primeros hijos se han vuelto adultos. Así que
  cada mes que pasa, cada pareja de conejos adultos
  tiene una pareja de conejitos, y cada pareja de
  conejos nacida el mes anterior se vuelve adulta.
  La pregunta es, cuántas parejas de conejos
  adultos habrá al cabo de n meses? Para resolver
  este problema, llamemos Fn al número de parejas
  adultas al cabo de n meses.
• La sucesión de números F0 1, F1 1, F2 2, F3
  3, F4 5, etc. recibe el nombre de sucesión de
  Fibonacci

25
Recursión Múltiple

• La serie de Fibonacci puede definirse como
• Fn Fn-1 Fn-2 para n gt 2, F0 F1 1
• Esto define la sucesión
• 1, 1, 2 , 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
• Cómo se define recursivamente?
• int Fib(int n)
• if (n 0 n 1) return 1 //caso base
• return Fib(n-1) Fib(n-2) //lamada recursiva

26
Recursión anidada

• Función de Ackerman A se define para valores no
  negativos M y N del siguiente modo
• A(0, n) n 1
• A(m, 0) A (m-1, 1) ? m gt 0
• A(m, n) A (m-1, A(m, n-1)) ? n,m gt 0

27
Recursión anidada

• Función de Ackerman
• int Ack (int m, int n)
• if (m 0)
• return n1
• else
• if (n 0)
• return Ack(m-1, 1)
• else
• return Ack(m-1, Ack(m, n-1)) //anidada
• cuál es el valor de Ackerman si m1 y n 2?

28
Recursión cruzada o indirecta

• Función par-impar
• int par(int)
• int impar(int)
• int main()
• int x
• cout ltlt Introduce un número
• cin gtgt x
• if (par(x))
• cout ltlt x ltlt es par ltlt endl
• else
• cout ltlt x ltlt es impar ltlt endl
• return 0

29
Recursión cruzada o indirecta

• int par(int n)
• if ( n 0)
• return 1
• else
• return impar(n-1)
• int impar(int n)
• if ( n 0)
• return 0
• else
• return par(n-1)

30
Actividad colaborativa

• Actividad Trabajen en ternas para resolver el
  siguiente problema usando recursión indirecta.
• El problema se llama el juego de las piedras.
• El juego inicia con 21 piedras.
• Dos jugadores se turnan para tomar las piedras.
• Cada uno debe tomar al menos 1 piedra y máximo 4
  piedras en cada turno.
• El jugador que toma la ultima piedra es el
  perdedor.
• Indicar en cada turno a que jugador le toca
  retirar las piedras y al final quien es el
  jugador GANADOR.

31
Actividad colaborativa

• Colaborativamente Trabajen en equipo,
  asegurándose de que comprenden los razonamientos
  y formas de implementar de cada integrante.
  Ayudence a entender mejor
• Criterios para el éxito Cada integrante del
  equipo deberá ser capaz de pasar al frente y
  explicar al grupo como resolvio recursivamente el
  juego de las piedras.
• Responsabilidad Individual Cualquier integrante
  del equipo podrá ser seleccionad_at_ aleatoriamente
  para exponer su programa. Su calificación será la
  del equipo.

32
Actividad grupal (SOLUCION)

• Compartiendo la experiencia

33
Las torres de Hanoi
34
Torres de Hanoi

• La leyenda cuenta que en un templo del lejano
  oriente, los sacerdotes intentaban mover una pila
  de discos de una estaca a otra.
• La pila inicial tenía 64 discos ensartados en una
  estaca, y estaban acomodados de abajo hacia
  arriba en orden de tamaño decreciente.

35
Torres de Hanoi

• Los sacerdotes intentan mover la pila de discos
  de una estaca hacia una segunda estaca, con las
  restricciones de
• Mover un solo disco a la vez
• Ningún disco más grande debe colocarse encima de
  uno más pequeño
• Una tercera estaca está disonible para alojar
  temporalmente a los discos

36
Torres de Hanoi

• Se supone que, el mundo se arreglará cuando los
  sacedortes completen su tarea.
• Por lo cual tenemos grandes insentivos para
  ayudarles a solucionar el problema
• Supongamos que los sacerdotes intentan mover los
  discos de la estaca 1 a la 3.

37
Torres de Hanoi
1
2
3

• Ejemplo con 3 estacas y 4 discos

38
Actividad en equipos

• Desarrollar un algoritmo que obtenga la secuencia
  precisa de movimientos, para la transferencia de
  todos los discos de una estaca a otra.

39
Actividad en equipos

• Si atacamos el problema con recursividad, mover n
  discos puede considerarse en términos de mover
  sólo n-1 discos, de la siguiente forma
• Mover n-1 discos de la estaca 1 a la 2,
  utilizando la estaca 3 como área de
  almacenamiento temporal
• Mover el último disco (el más grande) de la
  estaca 1 a la 3
• Mover los n-1 discos de la estaca 2 a la 3,
  utilizando la 1 como área de almacenamiento
  temporal

40
Actividad en equipos

• El proceso termina cuando la última tarea
  involucra mover el disco n1, es decir, el caso
  base.
• Esto se logra moviendo trivialmente el disco, sin
  necesidad alguna de área de almacenamiento
  temporal.

41
Actividad en equipos

• Escribir un programa que resuelva el problema de
  las torres de Hanoi.
• Utilizar una función recursiva con cuatro
  parámetros
• El número de discos a mover
• La estaca en la que inicialmente están ensartados
  los discos
• La estaca a la que la pila de discos se moverá
• La estaca que se utilizará como área de
  almacenamiento temporal

42
Actividad en equipos

• El programa deberá desplegar las instrucciones
  precisas que seguirá para mover una pila de
  discos desde la estaca inicial hasta la estaca de
  destino.
• Ejemplo
• Para mover una pila de tres discos de la estaca 1
  a la 3, el programa deberá desplegar la siguiente
  serie de movimientos
• 1-gt3
• 1-gt2
• 3-gt2
• 1-gt3
• 2-gt1
• 2-gt3
• 1-gt3

43
Actividad grupal (SOLUCION)

• Compartiendo la experiencia

44
Que aprendimos?
45
Actividad Colaborativa

• Actividad Reacción en cadena
• En un laboratorio de minerales se están
  realizando experimentos para predecir las
  reacciones en cadena que se puede dar al hacer
  explotar una roca de tamaño N, con una bomba de
  capacidad B.
• El experimento es el siguiente dados 2 números N
  y B, tal que B lt N, cuando N explota se parte en
  dos números N1 N / B y N2 N ( N / B).
• B produce una reacción en cadena si N1 o N2 son
  mayores que B. Esto es, si los pedazos
  resultantes son mayores que la bomba estos
  también explotan partiéndose nuevamente en dos
  pedazos, según el criterio anterior.
• Este proceso se repite hasta que todos los
  pedazos resultantes (N1 y N2) sean menores o
  iguales a B.

46
Reacción en cadena

• Ejemplo
• Supongamos que N 10 y la bomba B 3.
• Al aplicar la bomba B, N se parte inicialmente en
  dos pedazos N1 10/3 3 y N2 10-10/3 7.
• Como N27 es mayor que la bomba, se produce la
  reacción en cadena, y N2 también estalla en dos
  pedazos 7/3 2 y 7-(7/3) 5.
• Nuevamente el segundo pedazo es mayor que la
  bomba por lo que también deberá estallar en dos
  pedazos 5/3 y 5-(5/3).
• El proceso se repite hasta que todos los pedazos
  sean menores o iguales a 3 (la bomba).
• Al final, el bloque N10, con la bomba igual a
  3, habrá estallado en los pedazos 3, 2, 1,1 y 3.

47
Reacción en cadena

• Escribir una función recursiva, que dado una roca
  de tamaño N y una bomba de capacidad B, obtenga
  la reacción en cadena que resulta de explotar la
  roca con la bomba dada.
• La función debe imprimir todos los pedazos que
  resultan al explotar N usando B.

48
Actividad grupal (SOLUCION)

• Compartiendo la experiencia

49
Que aprendimos?