Un modello per interpretare, interagire e descrivere

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LA GEOMETRIA EUCLIDEA

• Un modello per interpretare, interagire e
  descrivere
• la realtà

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Le Trasformazioni Geometriche

• Vogliamo conoscere le relazioni che sussistono
  tra gli oggetti geometrici quando subiscono
  trasformazioni

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Nota Storica

• Le trasformazioni (e i loro gruppi) furono
  introdotte da Felix Klein (1849 - 1925) per
  caratterizzare le varie branche in cui si
  suddividevano gli studi di geometria
  ottocenteschi

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Nella visione gli oggetti subiscono
trasformazioni. Pensate a come il cervello
cattura limmagine, capovolgendola e
rimpicciolendola nella retina. Siamo in grado di
riconoscerlo e di descriverne le caratteristiche
perché loggetto e limmagine, hanno molti
elementi invariati.
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Nel disegno gli oggetti subiscono
trasformazioni. Il disegno dal vero di una
bottiglia, di un frutto è una rappresentazione a
due dimensioni di un oggetto tridimensionale,
quindi diverso da quello reale, tuttavia,
affinché risulti realistico, deve conservare
molte delle caratteristiche di quello reale.
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Trasformazioni Geometriche

• Si chiama trasformazione geometrica una
  corrispondenza biunivoca fra i punti di un piano
• Una trasformazione geometrica è quindi una
  funzione che può essere rappresentata con la
  simbologia Gf(G)

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Trasformazioni geometriche

• La trasformazione Identica o Identità è quella
  che associa ad ogni punto se stesso
• Si dice involutoria una trasformazione che,
  applicata due volte, coincide con la
  trasformazione identità

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Trasformazioni geometriche

• Si chiamano Invarianti le caratteristiche che
  rimangono inalterate
• Varianti le caratteristiche che si modificano
• Elementi Uniti gli elementi che hanno per
  trasformati se stessi

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• Gioco del Tangram
• In questo antico gioco cinese, si realizzano
  trasformazioni spezzettando una figura
  geometrica
• Due figure diverse ottenute con il Tangram si
  scompongono negli stessi pezzi (Equiscomponibili)
  e quindi hanno come elemento invariato larea.

Esempio di Tangram
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Gli Invarianti

• Le principali caratteristiche che una
  trasformazione può lasciare invariate sono
• La Lunghezza dei segmenti
• Lampiezza degli angoli
• Il parallelismo
• Le direzioni
• Il rapporto tra i segmenti
• Lorientamento dei punti del piano

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Gli Invarianti Lunghezza dei segmenti
Una trasformazione presenta tale invariante se
TUTTI i segmenti che si possono tracciare in una
figura rimangono della stessa lunghezza dopo la
trasformazione
Dalla F alla F la lunghezza dei segmenti è
invariante (rotazione) Dalla F alla F la
lunghezza dei segmenti non è invariante
(schiacciamento)
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Gli Invarianti Lampiezza degli angoli
Una trasformazione presenta tale invariante se
TUTTI gli angoli mantengono la stessa lunghezza
dopo la trasformazione
La trasformazione da F a F ha tale invariante
La trasformazione da F a F non presenta tale
invariante
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Gli Invarianti Il parallelismo
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Gli Invarianti Le direzioni
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Gli Invarianti Il rapporto tra i segmenti
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Gli Invarianti Lorientamento dei punti del
piano
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Trasformazioni geometriche

• Si possono suddividere in tre categorie
• Trasformazioni che si ottengono mediante
  deformazioni (striscia di plastica)
• Trasformazioni che si ottengono per proiezioni
  (ombra di un oggetto)
• Trasformazioni che si ottengono mediante
  movimenti (immagine riflessa)

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Inizieremo da quelle con minor elementi invarianti
Le trasformazioni TOPOLOGICHE
Se su un sottile foglio di plastica disegniamo
alcune figure, deformando il foglio realizziamo
una trasformazione topologica che non conserva né
forma, né dimensioni delle figure
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Le Trasformazioni TOPOLOGICHE

• Da i risultati della trasformazione notiamo che
• Le linee chiuse sono rimaste chiuse
• I punti giacenti su una linea si ritrovano sulla
  linea trasformata nello stesso ordine
• I punti interni (o esterni) alla figura si
  ritrovano interni (o esterni) nella trasformata
• Le caratteristiche che permangono prendono il
  nome di invarianti topologiche

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Le Trasformazioni Proiettive

• Lombra prodotta da un oggetto colpito da un
  fascio di raggi luminosi è il risultato di una
  trasformazione proiettiva. Non conserva
• Né parallelismo delle rette
• Né lunghezza dei segmenti
• Né ampiezza degli angoli
• Ma solo le caratteristiche elencate per le
  topologiche alle quali aggiungiamo la
  caratteristica che
• ogni retta di F viene trasformata in F ancora
  in una retta

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• Particolari trasformazioni proiettive
• Le trasformazioni affini

Un caso particolare di trasformazione affine è
Lomotetia
Da completare
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Trasformazioni geometriche LE ISOMETRIE

Sono trasformazioni geometriche nelle quali la
figura trasformata rimane congruente alla
figura iniziale, conservandone sia la Forma e sia
la Dimensione. Le trasformazioni isometriche si
ottengono mediante movimenti rigidi delle figure,
che cambiano unicamente la loro posizione nel
piano.
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Le Isometrie

• Le principali isometrie sono
• Traslazioni
• Rotazioni
• Simmetria assiale
• Simmetria centrale

• I movimenti da studiare sono
• Traslazioni
• Rotazioni
• Ribaltamenti

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La Traslazione

• La figura F con un lato appoggiato sulla retta r
  è stata spostata con un movimento rigido
  ottenendo F.

• Il movimento che ha portato F in F è una
  traslazione ogni punto di F si è spostato della
  stessa lunghezza (5 cm), nella stessa direzione
  (parallelo ad r) e nello stesso verso ( a destra)
  dando origine ad F.

F
F
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La Traslazione

• Gli elementi che caratterizzano la traslazione
  sono quindi tre
• La sua lunghezza (5 cm)
• La sua direzione (parallela ad r)
• Il suo verso (da sinistra a destra)
• Queste tre caratteristiche definiscono un
  segmento orientato, chiamato vettore, indicato
  con v o con AB

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La Traslazione

• Per individuare un vettore occorre indicare
• La sua direzione, cioè la retta a cui appartiene
• Il suo verso, che indica il senso di percorrenza
• La sua intensità o modulo, che rappresenta la
  lunghezza del segmento AB
• Ampliare con la costruzione del traslato
• Di un punto P mediante il vettore di traslazione
  v.

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La Traslazione

• Teorema la traslazione è unisometria
• Con questo teorema affermiamo che due figure che
  si corrispondono in una traslazione sono
  congruenti.

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La Traslazione

• Inoltre la traslazione ha come caratteristiche
  invarianti
• Lallineamento dei punti (collineazione)
• La lunghezza dei segmenti
• Lampiezza degli angoli
• Il parallelismo
• Le direzioni
• Il rapporto tra segmenti
• Lorientamento dei punti del piano

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La Rotazione

• Unaltra trasformazione che mantiene invariate
  tutte le misure lineari e angolari è la
  rotazione attorno ad un punto.
• Per definire una rotazione è necessario che
  siano dati
• Un punto, detto centro di rotazione
• Lampiezza dellangolo di rotazione
• Il verso di rotazione (orario o antiorario)

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La Rotazione

• Costruzione del punto P corrispondente di P
  nella rotazione di centro C e ampiezza ?.
• Teorema la rotazione è unisometria
• La rotazione quindi ha le proprietà delle
  isometrie ed in particolare trasforma una figura
  in unaltra ad essa congruente.

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La Rotazione

• Valgono le seguenti proprietà
• Il solo punto unito è il centro di rotazione
• Non esistono rette unite se non quelle che si
  corrispondono in una rotazione pari ad un angolo
  piatto
• La rotazione di ampiezza pari ad un angolo giro
  coincide con la trasformazione identità

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La Rotazione

• La rotazione ha i seguenti invarianti
• Lallineamento dei punti (collineazione)
• La lunghezza dei segmenti
• Il parallelismo
• Lampiezza degli angoli
• Il rapporto tra segmenti
• Lorientamento dei punti del piano
• E una trasformazione involutoria

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Una Rotazione ParticolareLa Simmetria Centrale

• Una rotazione di 180 attorno ad un punto C è
  una simmetria centrale.
• Il centro di simmetria è il centro della
  rotazione
• Teorema la simmetria centrale è unisometria
• Questo teorema garantisce che due figure
  simmetriche rispetto ad un punto sono congruenti

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Una Rotazione ParticolareLa Simmetria Centrale

• Ogni retta passante per il centro è una retta
  unita, ma non fissa perché cambia lordinamento
  dei suoi punti
• Come in ogni rotazione lunico punto fisso è il
  centro
• Due segmenti, o rette che si corrispondono in una
  simmetria centrale sono paralleli
• La simmetria centrale è involutoria
• Lordinamento dei punti è invariante
• Per gli altri si rimanda alla rotazione

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Una Rotazione ParticolareLa Simmetria Centrale

• Figure geometriche simmetriche rispetto a un loro
  punto
• La circonferenza
• Il rettangolo
• Tutti i parallelogrammi sono quadrilateri a
  simmetria centrale
• Un quadrilatero è simmetrico centralmente se e
  solo se è un parallelogramma

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Il RibaltamentoLa Simmetria Assiale

• Le isometrie finora esaminate (traslazioni e
  rotazioni) hanno tutte la caratteristica di
  mantenere invariato lorientamento dei punti del
  piano.
• Ma abbiamo visto che esistono situazioni in cui
  le figure mantengono le loro misure, ma si
  ribaltano generando figure simmetriche rispetto
  ad un asse.

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Il RibaltamentoLa Simmetria Assiale

• Costruzione del punto P simmetrico di P rispetto
  alla retta r.
• Disegnare un triangolo e il suo simmetrico
  rispetto ad r in cabrì

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Il RibaltamentoLa Simmetria Assiale

• Tra le isometrie distinguiamo, perciò, due
  classi, a seconda che si mantenga o meno
  lorientamento dei punti del piano
• Isometrie dirette che mantengono lorientamento
  dei punti del piano
• Isometrie invertenti che non mantengono
  lorientamento dei punti del piano

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Il RibaltamentoLa Simmetria Assiale

• Definizione si dice simmetria assiale la
  trasformazione che, data una retta r, associa ad
  un punto P il suo simmetrico rispetto ad r.
• La retta r prende il nome di asse di simmetria.
• Teorema la simmetria assiale è unisometria
• Questo teorema ci permette di dire che due figure
  che si corrispondono in una simmetria assiale
  sono congruenti.

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Il RibaltamentoLa Simmetria Assiale

• La simmetria assiale gode inoltre delle seguenti
  proprietà
• I punti che appartengono allasse sono punti
  uniti
• Una retta a incidente in un punto Q allasse di
  simmetria e che forma con tale asse un angolo ?
  ha per trasformata una retta ? che passa ancora
  per Q e che forma con lasse di simmetria un
  angolo congruente ad ?
• (Mostrare la proprietà descritta in cabrì)

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Diapositiva sommario

• Il Ribaltamento e La Simmetria Assiale

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Il RibaltamentoLa Simmetria Assiale

• Una retta a perpendicolare allasse di simmetria
  ha per trasformata se stessa ed è quindi una
  retta unita
• Attenzione però non è una retta di punti uniti
  perché ciascun punto della retta non ha come
  trasformato se stesso.
• Una retta a // allasse di simmetria ha per
  trasformata una retta a ancora // allasse e
  quindi a a stessa.

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Il Ribaltamento E La Simmetria Assiale

• Se A è il trasformato di A nella simmetria di
  asse r, il trasformato di A è ancora A e quindi
  la trasformazione è involutoria
• Se i vertici del triangolo ABC si susseguono in
  senso orario, i loro corrispondenti ABC si
  susseguono in senso antiorario e quindi
  lordinamento dei punti non è uninvariante
• (Mostrare la proprietà descritta in cabrì)

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Il RibaltamentoLa Simmetria Assiale

• Poche sono figure geometriche che hanno un asse
  di simmetria
• Un segmento ha come asse di simmetria il suo asse
• Un angolo ha come asse di simmetria la sua
  bisettrice
• Un triangolo ha un asse di simmetria solo se è
  isoscele
• Il rombo ha due assi di simmetria (diagonali)
• Il cerchio infiniti assi di simmetria

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Il RibaltamentoLa Simmetria Assiale

• Gli invarianti della simmetria assiale sono
• Lallineamento dei punti (collineazione)
• La lunghezza dei segmenti
• Il parallelismo
• Il rapporto tra segmenti
• Lorientamento dei punti del piano
• È unisometria invertente

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(No Transcript)
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Che scomposto può essere visto così
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E trasformarsi così e così via
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Provate a comporli da soli