AN

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ANÁLISIS DE REGRESIÓN
2
UNIDAD V ANALISIS DE LA REGRESIÓN

• Competencia
• -El estudiante debe utilizar correctamente el
  Análisis de la Regresión en la construcción de
  diferentes modelos que permitan estimar y
  predecir, mediante los mínimos cuadrados
  ordinarios.
• Objetivos.
• -Utilizar correctamente el Método de estimación
  de los Mínimos Cuadrados Ordinarios ,para la
  predicción y/o la realización de Políticas de
  Control ,utilizando herramientas como paquetes
  electrónicos(E-Views).
• Descripción general de la unidad
• -Esta unidad comprende el desarrollo de los
  siguientes conceptos Análisis de Regresión,
  coeficiente de Correlación Lineal, Coeficiente de
  determinación o ajuste, Función de regresión
  poblacional como muestral.Además la utilización
  de los diferentes modelos uniecuacionales para la
  predicción y /o realización de políticas de
  Control.
• LecturaMillar/Freund/Jonson
  Probabilidad y Estadística para
  IngenierosEdo.de México 1992 Pgs.326 al 375
• Córdova Zamora
  Estadística Descriptiva e Inferencial 2ª
  ed.Perú 1996 Pags,75 al 91
• Bibliografía Básica Gujarati
  (2003) Econometría(4ª ed) México .Pags.56al 217
• Referencia electrónica
  http//www.eumed.net/cursecon/medir/introd.htm

3
1.-
INTRODUCCIÓN

• EL PRINCIPAL OBJETIVO DE MÚLTIPLES
  INVESTIGACIONES ES EFECTUAR PREDICCIONES EN BASE
  DE ECUACIONES MATEMÁTICOS LLAMADOS MODELOS
• LA HERRAMIENTA FUNDAMENTAL ES EL ANÁLISIS DE LA
  REGRESIÓN
• ANÁLISIS DE LA REGRESIÓN
• a)ESTABLECER LA RELACIÓN FUNCIONAL ENTRE LAS
  VARIABLES (Xs e Y)? Y f(Xs)
• b)ESTABLECER LA VARIACIÓN CONJUNTA ENTRE Xs
  e Y? coeficiente de correlación (r)

4
Objetivos del análisis de la Regresión

• 1.-Formulación y planteamiento de modelos
  verificables
• 2.-Estimación, interpretación y comprobación de
  los modelos
• 3.-Utilización de los modelos
• a) En la predicción
• b) En la realización de políticas de
  control

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METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
TEORÍA Ó HIPÓTESIS
MODELO MATEMÁTICO DE LA TEORÍA Yf(Xs)
MODELO REGRESIVO DE LA TEORÍAYf(X,µ)
DATOS
ESTIMACIÓN DEL MODELO regresivo
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
PRONÓSTICO Ó PREDICCIÓN
POLÍTICAS DE CONTROL
6

• DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN.-
• ES LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL COMPORTAMIENTO
  DE LAS VARIABLES EN CUESTIÓN(Xs e Y)
• PERMITE APRECIAR LA TENDENCIA DEL MODELO ?TIPO DE
  MODELO
• 1.-MODELO LINEAL
• 2.-MODELO EXPONENCIAL
• 3.-MODELO DE PRODUCCIÓN
• 4.-MODELO POLINOMIAL(COSTOS)
• 4.-MODELO RECÍPROCO
• 5.-MODELO TEMPORAL

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2.-TIPOS DE MODELOS DE REGRESIÓN

• MODELOSDE REGRESIÓN UNIECUACIONALES
• A)SIMPLE a)Lineal,b)Logarítmicos,c)semil
  ogarítmicos
• d) Tendencia,e)Recíprocos,f)Anova
• B)MÚLTIPLE
• a) Simple ,b)Polinomiales c)Logarítmicos
• d)Ancovas
• MODELOS DE REGRESIÓN DE ECS.SIMULTANEAS
• MODELOS DE SERIES TEMPORALES

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3.-Modelos de regresion uniecuacionales

• Una sola ecuación
• Una sola relación unidireccional
• de causa( Xs) a efecto(Y)
• Modelos de Reg.simple.
• La FRP? Y ß1 ß2X µ donde
• Y v.d.regresada ó predicha
• X v.i. regresor ó predictor ó factor
• µ v.a.ó Estocástica ,Residual ,perturbación
• ß1 Intercepto, (Y).autónomo
• ß2 Coef,de regresión, PM(Y)

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Estimación Mínimos cuadrados ordinarios
(M.C.O.) E(µ) 0

• La FRM? Y ß1 ß2X r² , r
  
  
• 1.-Coeficiente de determinación (r²).- 0lt r²
  lt1
• Mide el grado de ajuste por la aplicación de
  la recta estimada. si 0.9 lt r² lt1 excelente
  0.8 lt r² lt 0.9 muy
  bueno
• 2.-Coeficiente de correlación(r).- -1lt r lt 1
• Mide el grado de asociación lineal entre Xe Y
• si r -1 Rel.perfecta inversa
• si r 0 No existe rel.lineal
• si r 1 Relación perfecta directa

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TÉCNICAS DE ESTIMACIÓN

• 1.-Manual Sx Sy Sx² Sy² Sx y
• X ? Sxy Sx y-n(X)(?) Sxx Sx² -n(X)²
  Syy Sy²-n(? )²
• ß2 Sxy/Sxx ß1 ? - ß2X r²
  S²xy/(SxxSyy) r vr²
• 2.-Modo Estadístico (modelos simples).
• 3- Matricial (modelos simples y múltiples)
• ßi( XX) ( XY) donde Xnxk y
  Ynx1
• ßi A x D donde
• r²(ßi D -n ?²) /( YY -n ?²)
• 4.-PC(SSPSS ó E Views )
• Nota.- Antes efectuar el Diagrama de
  dispersión

-1
-1
11
Ej. De modelo de reg.lineal simple

• Los siguientes datos son las mediciones de la
  velocidad del aire y del coeficiente de
  evaporación de las gotitas de combustible en una
  turbina de propulsión
• Velocidad del aire Coef.de evaporación . Se
  desea predecir el coeficiente de
• (cm/seg) X (mm²/seg) Y
  evaporación,cuando la velociadad
• 20 0.18
  del aire sea
• 60 0.37
  a) de 190 (cm/seg)
• 100 0.35
  b) de 390 (cm/seg)
• 140 0.78
  Sol.-
• 180 0.56
  Causa velocidad del aire?X
• 220 0.75
  Efecto Coef.de evapor. ?Y
• 260 1.18
  La FRP ? Y f( X)
• 300 1.36
• 340 1.17
• 380 1.65

12
Diagrama de dispersión

• y 1.65
  
  x
• 1.36
  x
• 1.18
  x
• 1.17
  x
• 0.78
  x
• 0.75
  x
• 0.56
  x
• 0.37 x
• 0.35 x
• 0.18 x
• 0 20 40 60 100 140
  180 220 260 300 340 380
• 
  X

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Modelo estimado

• La FRM? Y 0.069 0.0038 X r²0.9053 . r
  0.9515
• Interpretación.-
• ß1 0.069 es el coef. de evaporación autónoma
• no depende de la velocidad del aire
• ß2 Coef.de regresión. PME de evaporación
• por c/u que se ? la velocidad del aire se
  espera que se epvapore las gotitas de
  combustible en aprox. 0.4
• r² 0.9053 significa un ajuste del 91
• r 0.9515 significa una asociación lineal de
  aprox. 95 entre
• X e Y
• Estimación
• Para X 190 ? Y 0.069 0.0038 (190)0.79
  (mm²/seg)
• Para X 390 ? Y 0.069 0.0038 (390)1.551
  (mm²/seg

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Estimación por Intervalos de confianza

• IC para E( Yo/Xo al 100 rYo t?/2(n-k)
  ee(Yo)
• Módulo error
  (E)
• DondeVar(Yo) s² 1/n (Xo- ? )²/Sxx?ee(Yo)
  v Var(Yo)
• Sxx Sx²-n(? )² Xo Valor de X Yo Valor
  estimado puntual de Y /Xo
• Siguiendo con nuestro ej. Construir un IC del 95
  para la estimación Xo190
• Sol.-
• r0.95? a 0.05 ? to,o5/2 (10-2)2.306
  Sxx132 000 ? 200
• E0.39 ? El IC al 95 de E(Yo/Xo190)0.79
  0.39
• 
  0.67 0.91
• Significa que de 100 m.a que se tomen se espera
  que 95 tengan la Yo
• Estén entre el rango del intervalo y sólo 5 m.a
  no estén
• Nota.-Cuando se estima es aconsejable no
  extrapolar muy lejos del rango

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Extensión del modelo de reg. Lineal simple
x

• Modelo Exponencial.- cuya FRP ? Y ß1 ß2
• y
• x
• Linealizando ,aplicando ln ? lnY ln ß1 X ln
  ß2 µ
• Aplicando Los MCO se puede estimar
• cuya FRM ? lnY ln ß1 X ln ß2 aplicando
  cualquier técnica de estimación teniendo presente
  que al intruducir los datos de y deben estar
  logaritmizados
• Donde ß2 cambio porcentual en y . 100
• cambio absoluto en X

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Ej de modelo exponencial

• Se tiene las cifras sobre el porcentaje de las
  llantas radiales producidas por cierto fabricante
  que aún pueden usarse después de recorrer cierto
  número de millas
• Millas recorridas Porcentaje De
  acuerdo al modelo adecuado.se pide estimar
• (miles) X Util Y a)
  qué porcentaje de las llantas radiales durarán al
• 1 98.2
  menos 25 000 millas.b) 51 000 millas?
• 2 91.7
  Sol.- de acuerdo al modelo exponencial y
  palicando
• 5 81.3
  Log decimal
• 10 64.0
  FRM ? Log Y 2.0002 -0.0188 X
• 20 36.4 a)
  Para X 25
• 30 32.6 ?
  Log Y 2.0002 -0.0188(25)
• 40 17.1 ?
  Log Y 1.5302? Y Antilog(1.5302) 33.9
• 50 11.3 ?
  Y Antilog(1.5302) 33.9
• 
  b) Para X 51 ? Log Y 2.0002 -0.0188(51)
• 
  ? Log Y 1.0414? Y Antilog(1.0414) 11.
• ó FRM ?ln Y 4.6046 -0.0432 X para xo 25 ? Ln
  Y 4.6046 -0.0432(25) 3.5246
• ? Y Antiln(3.5246) 33.94
• para xo 51?Ln Y 4.6046 -0.0432(51)
  2.4014? Y Antiln(2.4014) 11
• 
  

17

• Y 5.0
• 4.6 x x
• 4.5 x
• x
• 4.0 x
• 
  x ln Y 4.6046 0.0432 X
  r²0.9880
• 3.5
  x
  r -0.9940
• 
  x
• 3.0
• 
  x
• 2.5
• 
  
  x
• 2.0
• 0 1 2 5 10
  20 30 40 50
• 
  
  x
• Representación del modelo
  exponencial estimado

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Modelo potencial

• La FRP ? Y ß1 X e Se aplica cuando se
  quiere estimar cambios porcentulaes en laY debido
  a un cambio del 1 en el X
• Linealizando aplicando Ln
• ? Ln Y ln ß1 ß2 Ln X u
• Cuya FRM Ln Y ln ß1 ß2 Ln X
• donde ß2 (cambio porcentual en y) /(cambio
  porcentual en 1 enX)
• ß2 ELASTICIDAD si ß2 lt 1 ?
  inelástica
• si
  ß2 1 ? Unitaria
• si
  ß2 gt 1 ? elástica

ß2
µ
19
Ej. De modelo LOG-LOG

• Se tiene los datos sobre la demanda de un
  producto (miles de unidades) y su precio (en
  centavos) tomado de 5 diferentes centros
  comerciales
• Se
  pide estimar
• Precio Demanda a) La
  elasticidad de la demanda
• X Y b) La
  demanda cuando el precio sea de 12 ctvs
• 20 22
• 16 41 Sol.-a) La
  FRP? Ln y ß1 X e
• 10 120
  ?Ln y Ln ß1 ß2 Ln X µ
• 11 89 la FRM
  ?Ln Y 10.2103- 2.3608 Ln X
• 14 56 Como
  ß2 -2.3608 lt1 ? inelástica
• b)
  Para X 12
• 
  ?Ln Y 10.2103- 2.3608 Ln (12)
• ?Ln
  Y 4.3439
• 
  ? Y antiln(4.3439) 77 unidades

ß2
u
20
B.-Modelos de Reg.Múltiple

• Gralmente Una Y f( Xs)
• 1.-Múltiple lineal
• ? La FRP ? Y ß0 ß1X1 ß2X2 ßkXk u
  R² R
• Cuya FRM ? Y ß0 ß1X1 ß2X2 ßkXk
• La estimación mediante matrices ó PC ( SPSS ó
  Views)
• donde ß0 Intercepto
• ß1 Coef.de Reg.Parcial,PM deY
  si X2..cte
• ß2 Coef.de Reg.Parcial PM de Y
  si X3..cte
• R² Coef.de Determinación
  múltiple(ordinario)
• R Coef.de Correlación lineal
  múltiple
• R² Coef. De determinación
  ajustado
• R² 1-(1-R²) (n-1)/(n-k)

21
Ej.de modelo de reg.multiple simple

• EJ. Se tiene los datos sobre el nº de torsiones
  necesarias para romper una barra hecha con cierto
  tipo de aleación y los porcentajes de los metales
  que la integren
  Estímese el Nº de torsiones necesarias para
• Nº de torsiones de A B romper
  una de las barras cuando
• y x1 x2
  X1 2.5 X2 12
• 38 1 5
  
• 40 2 5
  Sol- La FRP ?Y ßo ß1X1 ß2X2 µ
• 85 3 5
  La FRM ?Y 42.7790 8.3161X1-1.2229X2
• 59 4 5
  R² 0.48 R 0.69 para x1 2.5 x2 12
• 40 1 10
  ?Y 42.7790 8.3161(2.5)-1.2229(12) 48.9
• 60 2 10
  ?Y 49 torsiones
• 68 3 10
• 53 4 10
• 31 1 15
• 35 2 15

22
Tipos de modelos múltiples

• Los polinomiales
• a) Los Cuadráticos
• cuya FRP ? Y ß0 ß1Xi ß2 Xi µ
• b) Los Cúbicos
• cuya FRP ? Y ß0 ß1Xi ß2 Xi ß3 Xi
  µ
• Los log-log ó exponenciales
• cuya FRP ? Y ß1X2 X3 e
• LnY ln ß1 ß2 ln X2
  ß3X3 µ

2
3
2
ß2
ß3
µ