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Métodos Numéricos e Estatísticos

• Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza
• Aula 04 Sistemas Lineares

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Sistemas lineares
n equações n incógnitas homogêneo se bj0 ? j
, caso contrário, não homogêneo o sistema de
equações pode ser representado pelo produto de
matrizes AXB , onde
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Eliminação de Gauss
Reduzir o sistema para forma triangular elimina-
se x1 de E2 a En elimina-se x2 de E3 a En
...... Calcular xn a partir da última
equação Fazer a substituição reversa xn ?
x(n-1) ?....... ?x1
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Fatoração LU
A matriz A pode ser escrita como A LU, onde L
é o triângulo de baixo (lower), e U é o de cima
(upper).
A L U
A é não singular quando tem uma inversa A-1, tal
que A A-1 I
Para matrizes não singulares, as linhas podem
ser reordenadas e a matriz A é fatorável.
I
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Métodos
Doolittle
A solução é obtida resolvendo-se em primeiro
lugar L y B e depois Ux y A x B L U x
B
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Cholesky
Para A positiva, definida e simétrica A AT
x T A xgt0 para todo x ? 0, podemos
escolher U LT (ljk ukj). A L LT
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Métodos iterativos
Para sistemas esparsos (com muitos coeficientes
igauis a zero) ou sistemas com grandes
coeficientes na diagonal principal. Gauss-Seidel
- rearranjar as equações de tal forma que os
ajj 1.
Ax (I L U) x B I x B - (L U) x I x
x x B - (L U) x x(t1) B - L x(t1) - U xt
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Convergência
Condição suficiente C lt 1, sendo
Um método iterativo converge se a sequência x0 ?
x1 ? X2 ..... ? x(t - 1) ? xt tende para um
valor xt tal que r xt - x(t - 1) é dado por
rij lt ?, onde ? é a tolerância do processo
(?ltlt1). O método de G.S. converge para todo X0
se e somente se todos os autovalores da matriz C
(I - L)-1U tiverem valores absolutos menores
que 1. Se o maior autovalor for pequeno, a
convergência é rápida.