Wyklad 11 Analiza wariancji (ANOVA)

1
Wyklad 11Analiza wariancji (ANOVA)

• Sposób analizy danych gdy mamy wiecej niz dwa
  zabiegi lub populacje.
• Omówimy ANOV-e w najprostszej postaci.
• Te same podstawowe zalozenia/ograniczenia co przy
  tescie Studenta
• W kazdej populacji badana cecha ma rozklad
  normalny
• Obserwacje sa niezalezne i losowe
• Bedziemy testowali hipotezy o srednich w
  populacjach
• ?i
• Zalozenie standardowe odchylenia badanej cechy
  w kazdej populacji sa sobie równe (podobne) wiec
  mozemy uzyc usrednionego SE

2

• Uwaga ANOVA moze byc stosowana takze gdy próby
  nie sa niezalezne
• Np. W ukladzie zrandomizowanym blokowym
• (zasada podobna do testu Studenta dla powiazanych
  par)
• Nie bedziemy tego omawiac. Omówimy tylko uklady
  zupelne zrandomizowane.
• Cel
• Testujemy hipotezy postaci
• H0 ?1 ?2 ?3 ?k
• HA nie wszystkie srednie sa równe

3
Dlaczego nie stosujemy wielu testów Studenta?

• Wielokrotne porównania
• P-stwo bledu pierwszego rodzaju (p - stwo
  odrzucenia prawdziwej hipotezy) jest trudne do
  kontrolowania)

4
Korekta Bonferoniego

• Prosta ale na ogól konserwatywna (p-stwo bledu
  pierwszego rodzaju mniejsze niz zalozone strata
  mocy).

5

• Estymacja bledu standardowego
• ANOVA wykorzystuje informacje zawarta we
  wszystkich obserwacjach zwykle daje wieksza
  precyzje

6
Notacja k 3 zabiegi (próby, grupy)
Zabieg 1 Zabieg 2 Zabieg 3
1 48 40 39
2 39 48 30
3 42 44 32
4 43 35
srednia 43 44 34
SS 42 32 46
7

• Trzy rodzaje rachunków
• Wewnatrz grup, pomiedzy grupami, calkowite.
• Liczymy trzy wartosci SS, df, MS

SS df MS
Between
Within
Total
8
Notacja
k grup (prób, zabiegów) k
n1, n2, n3, , nk rozmiary grup ( obserwacji) n1 , n2 , n3
?y1 , ?y2, ?yk srednie w grupach ?y1 ,?y2 , ?y3
calkowita srednia
n calkowita liczba obserwacji n
9

• Dwa podstawowe typy rachunków
• (gdzie konieczne, bedziemy uzywali i do
  indeksowania grup a j do indeksowania obserwacji
  w kazdej grupie yij )
• Wewnatrz kazdej grupy
• oznacza sume wewnatrz grupy

10

• Uwzgledniajace wszystkie grupy
• oznacza sume we wszystkich grupach
• np. n
• i

11

• UWAGA Gdy rozmiary prób nie sa równe
• nie jest srednia z k srednich!!!
• Ale mozna ja obliczyc jako
• (n1?y1 n2?y2 n3?y3) / n

12
Wewnatrz grup (wypelniamy drugi rzad w tabeli)

• Suma kwadratów wewnatrz grup (SSW)
• Liczymy SS wewnatrz kazdej grupy
• (itd. - SS2,
  SS3 , )
• SS1
• SS2 32, SS3 46

13

• SSW SS1SS2SSk
• SSW
• Stopnie swobody wewnatrz grup
• dfw n - k dfw
• Srednia suma kwadratów wewnatrz grup
• MSW SSW / dfw MSW
• To samo co usredniona wariancja
• Dla przypomnienia dla
  dwóch prób

14

• Usrednione standardowe odchylenie
• sc
• Pomiedzy grupami (wypelniamy pierwszy rzad
  tabeli)
• Porównujemy srednie grupowe do sredniej
  calkowitej
• Wazone przez rozmiar grupy
• Suma kwadratów pomiedzy grupami (SSB)
• SSB
• SSB

15

• Stopnie swobody pomiedzy grupami (dfb)
• dfb k 1 dfb
• Srednia suma kwadratów pomiedzy grupami (MSB)
• MSB SSB/dfb MSB
• Calkowite
• Calkowita suma kwadratów (SST)
• SST
  SST8212228252348

16

• Uwaga SST SSWSSB 348 120 228
• Zwykle nie trzeba liczyc SST z definicji
• Calkowita liczba stopni swobody (dft)
• dft n 1 dft
• Uwaga dft dfbdfw 10 2 8

17
Tablica ANOV-y
SS df MS
Between
Within
Total
18
Ta tabela bedzie dostepna na kolokwium i
egzaminie
SS df MS
Pomiedzy SSB dfb k 1 SSB/dfb
Wewnatrz SSW dfw n k SSW/dfw
Calkowite SST dft n 1

19
Test F

• Dane dla k ? 2 populacji lub zabiegów sa
  niezalezne
• Dane w kazdej populacji maja rozklad normalny ze
  srednia ?i dla populacji i, i tym samym
  odchyleniem standardowym ?

20

• Testujemy H0 ?1 ?2 ?3 ?k (wszystkie
  srednie sa sobie równe)
• vs.
• HA nie wszystkie srednie sa sobie równe
• (HA jest niekierunkowa ale obszar odrzucen bedzie
  jednostronny)
• Kroki
• Obliczenie tabeli ANOV-y
• Testowanie

21
Jak opisac F test

• Zdefinowac wszystkie ?
• H0 podac za pomoca wzoru i slownie
• HA tylko slownie
• Statystyka testowa Fs MSB/MSW
• przy H0, Fs ma rozklad Snedecora z dfb, dfw
  stopniami swobody
• Na kolejnych slajdach podane sa wartosci
  krytyczne z ksiazki D.S. Moore i G. P. McCabe
  Introduction to the Practice of Statistics
• "numerator df" dfb i
• "denominator df" dfw.

22
(No Transcript)
23
(No Transcript)
24
(No Transcript)
25
(No Transcript)
26

• Odrzucamy H0 gdy zaobserwowane Fs gt Fkrytyczne
• Przykladowy wniosek - Na poziomie istotnosci a
  (nie) mamy przeslanki aby twierdzic, ze grupy
  róznia sie poziomem badanej cechy.

27

• Przyklad Losowa próbe 15 zdrowych mezczyzn
  podzielono losowo na 3 grupy skladajace sie z 5
  mezczyzn. Przez tydzien otrzymywali oni lekarstwo
  Paxil w dawkach 0, 20 i 40 mg dziennie. Po tym
  czasie zmierzono im poziom serotoniny.
• Czy Paxil wplywa na poziom serotoniny u zdrowych,
  mlodych mezczyzn ?
• Niech ?1 bedzie srednim poziomem serotoniny u
  mezczyzn przyjmujacych 0 mg Paxilu.
• Niech ?2 bedzie srednim poziomem serotoniny u
  mezczyzn przyjmujacych 20 mg Paxilu.
• Niech ?3 bedzie srednim poziomem serotoniny u
  mezczyzn przyjmujacych 40 mg Paxilu.

28

• H0 ?1 ?2 ?3 sredni poziom serotoniny nie
  zalezy od dawki Paxilu
• HA sredni poziom serotoniny nie jest ten sam we
  wszystkich grupach (albo sredni poziom serotoniny
  zalezy od dawki Paxilu).
• Zastosujemy F-Test

29
(No Transcript)
30

• Fs MSB / MSW przy H0 ma rozklad
• Testujemy na poziomie istotnosci ? 0.05.
  Wartosc krytyczna F.05 .
• Obserwujemy Fs
• Wniosek

31
Na jakiej zasadzie to dziala ?

• Dla przypomnienia
• Test Studenta patrzy na róznice miedzy srednimi
  (?y1-?y2)
• Dzieli ja przez miare rozrzutu tej róznicy
  (SE?y1-?y2 )
• Jezeli (?y1-?y2) jest duze w porównaniu do bledu
  standardowego to statystyka testu Studenta jest
  duza i odrzucamy H0.

32

• Dla testu F,
• Liczymy usredniony kwadrat róznicy miedzy
  srednimi (MSB)
• Dzielimy go przez oszacowanie zróznicowania w
  próbie (MSW)
• Jezeli MSB jest duze w porównaniu do MSW wówczas
  statystyka testu F jest duza i odrzucamy H0.
• Test F jest analogiczny do testu Studenta ale
  umozliwia jednoczesne porównanie kilku srednich.

33

• Test F mozna stosowac równiez gdy mamy tylko dwie
  próby
• Statystyka testu F dla dwóch prób jest równa
  kwadratowi statystyki testu Studenta
• Decyzje i p-wartosci sa dokladnie takie same dla
  obu testów.