Diapositiva 1

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Relación entre el Desplazamiento (Dx) Y el
Gráfico de vx(t)
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Teorema
En un movimiento rectilíneo, el desplazamiento
de un móvil (Dx) entre dos instantes de tiempo ta
y tb es igual al área comprendida entre el
gráfico de vx(t) y el eje horizontal (eje de
tiempos), tomando como positivas las partes que
están sobre el eje y negativas las que están por
debajo, entre dichos instantes.
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En lo que sigue trataremos de demostrar este
teorema.
Primero veamos que es cieto en un caso sencillo
MRU
En un MRU, vx es constante entonces su gráfico
será de la forma
De la ecuación horaria del MRU sabemos que
Pero esto es efectivamente el área encerrada
entre el gráfico de vx en función del tiempo y el
eje entre ta y tb.
Por ejemplo si ta2s, tb8s y vx30m/s,
entonces el desplazamiento será
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Qué ocurre si vx es negativa?
Veamos un ejemplo
En este caso ta2s, tb8s y vx -30m/s, entonces
el desplazamiento será
Por otra parte, el área es
Vemos que hay un signo de diferencia, es por eso
que el teorema dice que, para que sean iguales al
desplazamiento, hay que tomar como negativas las
áreas que están por debajo del eje de tiempos
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Será cierto esto para un movimiento cualquiera,
es decir uno que no sea un MRU?
La respuesta es SÍ y a continuación
desarrollaremos una forma de ver que
efectivamente es así.
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Supongamos que tenemos un movimiento cuyos
gráficos de posición en función del tiempo y de
velocidad en función del tiempo son
Y consideremos el intervalo de tiempo que va
desde ta hasta tb. Por ejemplo, de 0s a 5s.
Idea parto el intervalo tatb en intervalitos
iguales y en cada uno de ellos aproximo el
movimiento por un MRU.
Tomemos por ejemplo cinco intervalitos.
En cada intervalito, como aproximo el movimiento
por un MRU, el gráfico de x(t) será un segmento
de recta.
Pero entonces, cómo nos quedaría el gráfico de
vx(t)? Si en cada intervalito es un MRU, entonces
en cada intervalito vx es constante y el gráfico
sería así
Ahora, calcular el área entre este nuevo gráfico
y el eje sabemos hacerlo ya que son todos
rectángulos.
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Tenemos que probar dos cosas
1) El área determinada por estos rectángulos (con
su signo) es igual al desplazamiento entre ta y
tb.
2) Si vale 1) entonces el área correspondiente al
gráfico original también es igual al
desplazamiento entre ta y tb.
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Por qué el área determinada por estos
rectángulos es igual al desplazamiento entre ta y
tb?
Como en cada intervalito es un MRU, sabemos que
el área de cada rectángulo, con signo si está
sobre el eje y con signo - si está debajo, es
igual al desplazamiento en ese intervalito.
Veamos ahora que si sumo todos los
desplazamientos correspondientes a cada
intervalito eso me tiene que dar el
desplazamiento total.
Para el primer intervalito tat1 el
desplazamiento es x(t1)-x(ta)
Para el segundo intervalito t1t2 el
desplazamiento es x(t2)-x(t1)
Para el tercer intervalito t2t3 el
desplazamiento es x(t3)-x(t2)
Para el cuarto intervalito t3t4 el
desplazamiento es x(t4)-x(t3)
Para el primer intervalito t4tb el
desplazamiento es x(tb)-x(t4)
Si sumo todos los desplazamientos de cada uno de
los intervalos me queda
Pero hay muchos términos que se cancelan!
Al final nos queda que
Suma de las áreas de los rectángulos (con su
signo)
x(tb)-x(ta)
Desplazamiento entre ta y tb
Primera cosa que teníamos que ver listo
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Por qué el área entre el gráfico original de
vx(t) y el eje de tiempos es igual al
desplazamiento entre ta y tb?
Lo que hicimos con los rectángulos lo hicimos
subdividiendo el intervalo de tiempo tatb en
CINCO intervalitos
pero podríamos haberlo subdividido en DIEZ,
con lo cual el gráfico sería
Y el área, que está sombreada en celeste, también
sería el desplazamiento entre ta y tb (usando
exactamente el mismo argumento que usamos antes)
y además ésta es más parecida al área
correspondiente al gráfico original.
Y si en lugar de DIEZ hubiésemos subdividido el
intervalo original en VEINTE
y el área, sombreada en violeta, seguiría
siendo igual al desplazamiento entre ta y tb y
sería aún más parecida a la correspondiente al
gráfico original.
el gráfico sería
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Y en cuantos más subintervalos dividamos el
intervalo original,
más parecida es el área que nos queda al área del
gráfico original.
Con lo cual, subdividiendo en cada vez más partes
el intervalo original puedo conseguir áreas que
se parezcan tanto como yo quiera al área
correspondiente al gráfico original y todas ellas
iguales al desplazamiento entre ta y tb.
Entonces la única opción es que el área
correspondiente al gráfico original sea igual al
desplazamiento entre ta y tb, que es lo que
queríamos demostrar.
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Algo para pensar para quienes lo deseen
Empleando este mismo razonamiento y nuestra
noción habitual de promedio (por ejemplo cuando
promediamos N números), se puede encontrar un
argumento para justificar por qué definimos la
velocidad media en x (o promedio) entre ta y tb
como
Lo que hay que pensar es cómo construir esa línea
argumental. Notar que este razonamiento es
aplicable al cálculo del valor promedio de
cualquier función continua en un cierto intervalo.
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Aplicación de este Teorema
Deducción de la ecuación horaria de la posición
para el M.R.U.V.
El M.R.U.V. es un movimiento en el que el cambio
de vx respecto del tiempo, es decir la
aceleración, es constante. Y por lo tanto el
gráfico de vx(t) es una recta cuya pendiente es
la aceleración.
Recordemos que la pendiente nos indica justamente
cuánto cambia el valor de la magnitud que está
representada en el eje vertical cuando se
modifica el valor de la que está representada en
el eje horizontal.
Por el teorema que vimos, el área encerrada por
el gráfico y el eje de tiempos entre dos
instantes t0 y t es igual al desplazamiento entre
t0 y t.
Pero en este caso el área es fácil de calcular ya
que la figura que nos queda está compuesta por un
rectángulo y un triángulo.
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Analicemos cómo escribir el área comprendida
entre el gráfico de vx(t) y el eje de tiempos
entre t0 y t.
Las bases tanto del rectángulo como del triángulo
valen t-t0
La altura del rectángulo es vx(t0), es decir v0x.
La altura del triángulo es vx(t)- v0x, o sea el
cambio de velocidad entre t0 y t, y eso es
justamente ax.(t-t0)
Sabemos que
Ec. horaria para x(t) del MRUV
Y listo!
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Para pensar
Tenemos el siguiente gráfico de vx(t)
Como el gráfico de velocidad en función del
tiempo es una recta el movimiento es un MRUV y
por lo tanto vale la ecuación
Convencerse, haciendo un razonamiento similar al
anterior, de que esta ecuación horaria también es
válida en este caso.