Scratch

1
ESTALMAT - p

Fem geometria amb el GeoGebra Sessió de treball
de resolució de problemes de geometria
mitjançant transformacions geomètriquesamb lús
del programa GeoGebra
2
Presentació

• L'objectiu d'aquesta sessió és copsar la
  potencialitat del programa GeoGebra per trobar
  les solucions de problemes geomètrics de manera
  constructiva, amb l'ús de les eines corresponents
  a les transformacions geomètriques (translacions,
  girs, simetries i semblances/homotècies)
• Per a cada un dels problemes proposats
• Estudiarem com es pot trobar geomètricament la
  solució del problema
• Veurem si la construcció ens permet trobar la
  solució numèrica
• A la recíproca, pensarem si podria ser
  interessant començar per una resolució
  numèrica/algebraica i si, coneguda aquesta, això
  ens permetria una construcció geomètrica
  exacta.
• En la segona part de la sessió es farà una
  introducció a una transformació geomètrica
  nova la inversió en el pla.  

3
Revisem uns problemes que potser ja heu treballat

• En terreny perfectament pla, a banda i banda dun
  riu rectilini, però lluny daquest riu i a
  distàncies diferents, hi ha dos pobles i cal
  construir una carretera i un pont de manera
  que i) el pont sigui perpendicular al riu,
  i ii) La longitud de carretera a construir
  sigui mínima On sha de construir el
  pont?Podeu consultar una presentació de la
  solució feta amb el GeoGebra.
• Variació del problema anterior canviant la
  segona condició per
• ii) les distàncies de cada poble al començament
  de la seva banda de pont han de ser iguals
• En terreny perfectament pla, a la mateixa banda
  duna via de tren recta, però lluny daquesta
  via i a distàncies diferents, hi ha dos pobles i
  cal construir una estació que serveixi els dos
  pobles i les dues carreteres que uniran
  lestació amb cadascun dels dos pobles. On sha
  de construir lestació per tal que la longitud de
  carretera a construir sigui mínima? Podeu
  consultar una presentació de la solució feta amb
  el GeoGebra.
• .

4
Dos problemes més girs i semblances

• En un pla hi ha tres rectes paralleles. Es
  tracta de construir un triangle equilàter que
  tingui un vèrtex a cadascuna de les rectes i
  determinar-ne la longitud del costat en funció de
  les distàncies entre les rectes..
• Donat un triangle rectangle es tracta de
  construir un quadrat que tingui un costat sobre
  la hipotenusa i els altres dos vèrtexs un sobre
  cada catet. També interessa determinar la
  longitud del costat que volem construir.
• Estudieu-los i vegeu si sabríeu resoldrels
  calculant i si en sabeu fer la construcció
  geomètrica. Durant la sessió revisarem els dos
  aspectes i mirarem si un ens ajuda per a laltre.
  
• Fem una pausa Una visualització mecànica de
  lhomotècia

5
Per acabar la primera part...

• En un triangle acutangle es tracta de buscar un
  punt interior que sigui el vèrtex comú de tres
  triangles equilàters iguals que tenen els altres
  vèrtexs sobre els costats del triangle.
• Moltes vegades el fet dimaginar el problema
  resolt i fer-ne un dibuix esquemàtic pot ajudar a
  trobar un camí per a realitzar la construcció.
  Ara podeu obrir una construcció exacta,
  interactiva, feta amb GeoGebra. Us proposem que
  investigueu sobre els angles de la figura.
  Traieu alguna conclusió geomètrica? Us ha
  ajudat?
• 7. Una persona es troba al punt A, a laigua
  del mar. Ha danar a la sorra, al punt B, a
  buscar la seva roba Si la seva velocitat
  caminat és 4 vegades més ràpida que la
  velocitat nedant, cap a quin punt haurà de nedar
  per tal de continuar després caminant?
• Estudieu si hi ha diferències en els dos casos
  que sesquematitzen segons que el punt B quedi
  just a la vora de laigua o bé en quedi un
  poquet allunyat.

6
Segona part la inversió en el pla
Com es fa una recta? El problema enunciat en el
títol pot semblar absurd tothom sap que a la
geometria euclidiana una recta es fa amb un
regle! Però un regle és una eina imperfecta,
perquè s'ha de fer amb un altre regle una
circumferència, en canvi, no necessita una altra
circumferència per ser produïda. Per això, el
problema del traçat d'una recta es va plantejar i
es va resoldre entre els segles XVIII i XIX. En
el seu origen hi hagué la construcció de Watt,
que es va emprar a les màquines de vapor i no es
va resoldre fins Peaucellier, com a subproducte
de la recerca d'un mecanisme que realitzés
inversions. A la pràctica, la realització de la
transformació que sanomena inversió permet la
conversió dun moviment circular en rectilini,
cosa que era imprescindible per a laplicació de
les màquines de vapor. Justament la primera
solució (aproximada) per a la recerca dun
mecanisme que fes aquesta transformació
satribueix al mateix Watt que va inventar la
màquina de vapor. Ara bé, el problema no va ser
resolt exactament fins a Peaucellier i Lipkin
(1864). (Wikipèdia, article molt encertat)
(el
mecanisme de Peaucellier-Lipkin)
7
Segona part la inversió en el pla

• Visualtizació amb el Geogebra de la màquina de
  Peaucellier-Lipkin,
• Definició formal de la inversió en el pla.
• Algunes propietats daquesta transformació
• Veurem com presenta el GeoGebra la inversió,
• i practicarem algunes transformacions amb la
  icona de la inversió.
• Construcció geomètrica de la inversió Sigui A
  un punt interior a C, la circumferència
  dautoinversió.
• Sigui T un dels punts de la intersecció de C amb
  la
• perpendicular a la recta OA des de A. En
  particular OT r. Llavors el punt A,
  intersecció de la recta OA amb la tangent a C
  des de T, es l'invers de A. De fet, es el
  teorema del catet aplicat al triangle rectangle
  OTA.
• Si A és exterior, val la mateixa construcció
  pero començant per A en lloc de A.

8
Segona part la inversió en el pla
Un problema que als manuals de dibuix tècnic
presenten com a adequat per resoldre amb la
inversió. Previ sabríem construir una
circumferència tangent a dues rectes que es
tallen i que passi per un punt donat? Si la
resposta anterior és afirmativa ja estem a punt
per fer el problema següent amb lajut duna
inversió que triarem (i avui, amb lajut del
GeoGebra!) Construïu una circumferència que
sigui tangent a dues circumferències que es
tallen i que passi per un punt donat. Podeu
descarregar Tot el material de la sessióUna
referència Geometria inversiva. Agustí Reventós
(UAB) Dues referències pròpies
http//acgeogebra.cat/matcosmo/comunicacions/goma/
geogebra-i-materials.pdf http//www.xtec.cat/forma
ciotic/dvdformacio/materials/td55/practica_6-7.htm
l
9
Gràcies per la vostra atenció!!! Us esperem el
dia 3 de març per a una nova sessió
dEstalmat-p Conferència-taller del professor
Pelegrí Viader (UPF)MÀXIMS i mínims