M

1
Métodos matemáticos Cálculo vectorial
2
Temario del curso

1. Escalares, vectores y el álgebra vectorial
2. Funciones vectoriales de varias variables
3. Diferenciación parcial
4. El gradiente, la divergencia y el rotacional
5. Integración múltiple
6. Integral de línea
7. Integral de superficie
8. El teorema de la divergencia
9. El teorema de Stokes
10. Otros teoremas integrales

3
Cálculo vectorial

1. Los conceptos de escalar, de vector y sus
   operaciones
2. Entender las funciones vectoriales de un vector
3. Los diferentes conceptos de derivadas de campos
   escalares y vectoriales
4. El concepto de gradiente, de divergencia y de
   rotacional. Sus significados físicos.
5. Entender y saber hacer integrales múltiples,
   integrales de línea e integrales de superficie
6. Conocer, entender y saber aplicar los diferentes
   teoremas integrales

4
Introducción
5
Conocimientos requeridos

• Álgebra
• Trigonometría
• Geometría analítica plana
• Calculo elemental
• Álgebra lineal

6
El cálculo elemental
7
El cálculo elemental
8
Los vectores y su álgebra
9
Los escalares
En este curso un ESCALAR será cualquier número
real
10
Los escalares
En este curso un ESCALAR será cualquier número
real

• Ejemplos de cantidades escalares
• La temperatura
• La corriente eléctrica
• La presión
• El volumen
• La cantidad de carga
• La masa
• La energía

11
Los vectores
12
Los vectores
13
Los vectores
14
Los vectores
15
El valor absoluto o magnitud de un vector
16
Vector unitario
17
Vector cero
18
Suma de vectores
19
Suma de vectores
20
Propiedades de la suma de vectores
21
La diferencia de dos vectores
22
Suma y diferencia de vectores
23
El producto de un escalar por un vector
24
El producto escalar ó producto punto ó producto
interno
25
El producto escalar ó producto punto ó producto
interno
26
El producto escalar ó producto punto ó producto
interno
27
El producto escalar
28
El producto escalar
29
El producto escalar
30
El producto escalar
31
El producto escalar
32
El producto vectorial o producto cruz
33
El producto vectorial o producto cruz
34
El producto vectorial o producto cruz
35
El producto vectorial o producto cruz
36
El producto vectorial o producto cruz
37
El producto vectorial
38
Las coordenadas cartesianas
39
Las coordenadas cartesianas
40
Las coordenadas cartesianas
41
Las coordenadas cartesianas
42
Las coordenadas cartesianas
43
Las coordenadas cartesianas
44
Las coordenadas cartesianas
45
Las coordenadas cartesianas
46
Las operaciones vectoriales en términos de sus
componentes cartesianas
47
Las operaciones vectoriales en términos de sus
componentes cartesianas
48
Las funciones vectoriales
49
Las funciones de varias variables

• En el cálculo elemental se estudian funciones de
  una sola variable.
• Sin embargo, en la vida real la mayoría de los
  fenómenos y los procesos dependen de varias
  variables.
• Por tanto, son las funciones de varias variables
  las que, en general, sirven para describir
  correctamente los procesos de la naturaleza.
• Por motivos metodológicos las podemos dividir
  como
• Funciones vectoriales
• Funciones escalares de un vector o campos
  escalares
• Funciones vectoriales de un vector o campos
  vectoriales

50
Las funciones vectoriales de una variable real
51
Las funciones vectoriales de una variable real
52
Las funciones vectoriales de una variable real
53
Las funciones vectoriales de una variable real
54
Las funciones vectoriales de una variable real
55
Continuidad de las funciones vectoriales de una
variable real
56
La derivada de las funciones vectoriales de una
variable real
57
La derivada de las funciones vectoriales de una
variable real
58
Ejemplo de una función vectorial de una variable
real
59
Ejemplo de una función vectorial de una variable
real
60
Ejemplo de una función vectorial de una variable
real
61
Ejemplo de una función vectorial de una variable
real
62
Ejemplo de una función vectorial de una variable
real
63
Significado de la derivada
64
Significado de la derivada
65
Significado de la derivada
66
Significado de la derivada
67
Significado de la derivada
68
Significado de la derivada
69
Significado de la derivada
70
Significado de la derivada
71
Significado de la derivada
72
Significado de la derivada
73
Significado de la derivada
74
Significado de la derivada
75
Significado de la derivada
76
Significado de la derivada
77
Significado de la derivada
78
Significado de la derivada
79
Significado de la derivada
80
Significado de la derivada
81
Significado de la derivada
82
Significado de la derivada
83
Significado de la derivada
84
Las derivadas de orden superior
85
La diferencial de las funciones vectoriales de
una variable real
86
Reglas de derivación
87
Las funciones reales de un vector o campos
escalares
88
Campos escalares
89
Campos escalares
90
Campos escalares. Ejemplo 1
x Y f(x,y)1-x-y
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 1 -1
-1 -1 3
-1 1 1
1 -1 1
2 0 -1
3 -1 -1
Gráfica
91
Campos escalares. Ejemplo 2
x Y f(x,y)1-x2-y2
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 1 -1
-1 -1 -1
2 3 -12
-4 5 -40
Gráfica
92
Campos escalares. Ejemplo 3
Gráfica
93
Funciones reales de un vector Curvas de nivel
94
Campos escalares. Curvas de nivel
95
Campos escalares en 3D
96
Campos escalares Superficies de nivel
97
Campos escalares Superficies de nivel Ejemplo
98
Las derivadas parciales de un campo escalar
99
Las derivadas parciales de un campo escalar
100
Las derivadas parciales de un campo escalar
101
Ejemplos de derivadas parciales
102
Ejemplos de derivadas parciales
103
Ejemplos de derivadas parciales
104
Ejemplos de derivadas parciales
105
Ejemplos de derivadas parciales
106
Ejemplos de derivadas parciales
107
Ejemplos de derivadas parciales
108
Ejemplos de derivadas parciales
109
Ejemplos de derivadas parciales
110
Ejemplos de derivadas parciales
111
Significado físico de la derivada parcial
112
Significado físico de la derivada parcial
113
Significado físico de la derivada parcial
114
Significado de la derivada elemental
115
Significado físico de la derivada parcial
116
Las funciones vectoriales de un vector o campos
vectoriales
117
Campos vectoriales
118
Campos vectoriales
119
Campos vectoriales. Ejemplo 1
x Y xy y-x
0 0 0 0
1 0 1 -1
0 1 1 1
1 1 2 0
-1 -1 -2 0
-1 1 0 2
1 -1 0 -2
2 0 2 -2
3 -1 2 -4
120
Campos vectoriales. Ejemplo 1
(x,y) F(x,y)
(0,0) (0,0)
(1,0) (1,-1)
(0,1) (1,1)
(1,1) (2,0)
(-1,-1) (-2,0)
(-1,1) (0,2)
(1,-1) (0,-2)
(2,0) (2,-2)
(3,-1) (2,-4)
121
Campos vectoriales. Ejemplo 1
122
Campos vectoriales. Ejemplo 2
123
Derivadas parciales de los campos vectoriales
124
Campos vectoriales
Las líneas del campo
125
Resumen de las funciones vectoriales
126
El gradiente
127
El gradiente
128
El gradiente. Ejemplo 1
129
El gradiente. Ejemplo 1
130
El gradiente. Ejemplo 1
131
El gradiente. Ejemplo 1
132
El gradiente. Ejemplo 1
133
El gradiente. Ejemplo 1
134
El gradiente. Ejemplo 2
135
El gradiente. Ejemplo 2
136
El gradiente
137
El gradiente
El gradiente es perpendicular a las superficies y
curvas de nivel Las superficies y curvas de
nivel son en las que el campo escalar no cambia,
en las que el campo escalar se mantiene
constante, por lo tanto es lógico que el
gradiente, que indica la dirección de mayor
crecimiento de la función, sea perpendicular a
ellas
138
El gradiente. Ejemplo
139
Gráficas de intensidad de densidad
140
El gradiente

• El campo escalar está en blanco y negro,
  representando el negro valores mayores.
• El gradiente está representado por las flechas
  azules. El gradiente apunta en la dirección de
  mayor crecimiento del campo escalar

141
La divergencia
142
La divergencia
143
La divergencia Ejemplo
144
La divergencia
145
El rotacional (Curl)
146
El rotacional (Curl)
OJO En inglés se llama CURL Equivale a
chinitos, rulitos
147
El rotacional (Curl) Ejemplo
148
El rotacional (Curl)
149
Integrales múltiples
150
Integrales dobles
151
Integrales dobles
152
Integrales dobles
153
Integrales dobles
154
Integrales dobles
155
Integrales dobles
156
Integrales dobles
157
Integrales dobles. Ejemplo 1
Cuál es el área de este rectángulo?
158
Integrales dobles. Ejemplo 1
159
Integrales dobles. Ejemplo 2
160
Integrales dobles. Ejemplo 2
161
Integrales dobles. Ejemplo 2
Calcular el área de esta región
162
Integrales dobles. Ejemplo 2
163
Integrales dobles. Ejemplo 3
164
Integrales dobles. Ejemplo 3
165
Integrales dobles. Ejemplo 3
166
Integrales dobles. Ejemplo 3
167
Integrales dobles. Ejemplo 3
168
Integrales dobles. Ejemplo 3
169
Integrales dobles. Ejemplo 3
170
Integrales dobles. Ejemplo 3
171
Integrales dobles. Ejemplo 3
172
Integrales dobles. Ejemplo 3
173
Integrales dobles. Ejemplo 3
174
Integrales dobles. Ejemplo 3
175
Integrales dobles. Ejemplo 3
176
Integrales dobles. Ejemplo 3
177
Integrales dobles
178
Integrales dobles
179
Integrales dobles
180
Integrales triples
181
Integrales triples
182
Integrales triples
183
Integrales triples
184
Integrales triples. Ejemplo 1
185
Integrales triples. Ejemplo 1
186
Integrales triples. Ejemplo 1
187
Integrales triples. Ejemplo 1
188
Integrales triples. Ejemplo 1
189
Integrales triples. Ejemplo 1
190
Integrales triples. Ejemplo 1
191
Integrales triples. Ejemplo 1
192
Integrales triples. Ejemplo 1
193
Integrales triples. Ejemplo 1
194
Integrales triples. Ejemplo 1
195
Integrales triples. Ejemplo 1
196
Integrales triples. Ejemplo 1
197
Integrales triples. Ejemplo 1
198
Integrales triples. Ejemplo 1
199
Integrales triples. Ejemplo 1
200
Integrales triples. Ejemplo 1
201
Integrales triples. Ejemplo 1
202
Integrales triples. Ejemplo 1
203
Integrales triples. Ejemplo 1
204
Integrales triples. Ejemplo 1
205
Área del círculo. Coordenadas cartesianas
206
Área del círculo. Coordenadas cartesianas
207
Área del círculo. Coordenadas cartesianas
208
Área del círculo. Coordenadas cartesianas
209
Área del círculo. Coordenadas cartesianas
210
Área del círculo. Coordenadas cartesianas
211
Área del círculo. Coordenadas cartesianas
212
Cambio de coordenadas
213
Cambio de coordenadas en el plano
214
Coordenadas polares
215
Área del círculo. Coordenadas polares
216
Cambio de coordenadas en el plano
217
Cambio de coordenadas
218
Cambio a coordenadas polares
219
Cambio a coordenadas polares
220
Área del círculo. Coordenadas polares
221
Área del círculo. Coordenadas polares
222
Área del círculo. Coordenadas polares
223
Área del círculo. Coordenadas polares
224
Área del círculo. Coordenadas polares
225
Cambio de coordenadas
226
Integrales dobles
227
Cambio de coordenadas
228
Cambio de coordenadas
229
Cambio de coordenadas en 3D
230
Coordenadas cilíndricas
231
Coordenadas cilíndricas
232
Coordenadas esféricas
233
Coordenadas esféricas
234
Cambio de coordenadas
235
Cambio de coordenadas
236
Coordenadas cilíndricas
237
Coordenadas esféricas
238
Coordenadas esféricas
239
Volumen de un cilindro. Coordenadas cartesianas
240
Volumen de un cilindro. Coordenadas cartesianas
241
Volumen de un cilindro. Coordenadas cartesianas
242
Volumen de un cilindro. Coordenadas cartesianas
243
Volumen de un cilindro. Coordenadas cartesianas
244
Volumen de un cilindro. Coordenadas cartesianas
245
Volumen de un cilindro. Coordenadas cartesianas
246
Volumen de un cilindro. Coordenadas cilíndricas
247
Coordenadas cilíndricas
248
Coordenadas cilíndricas
249
Volumen de un cilindro. Coordenadas cilíndricas
250
Volumen de un cilindro. Coordenadas cilíndricas
251
Integrales triples. Ejemplo
252
Integrales triples. Ejemplo
253
Integrales triples. Ejemplo
254
Integrales triples. Ejemplo
255
Integrales triples. Ejemplo
256
Integrales triples. Ejemplo
257
Integrales triples. Ejemplo
258
Integrales triples. Ejemplo
259
Integrales de linea
260
Integrales de linea
261
Integrales de linea
262
Integrales de linea
263
El producto escalar ó producto punto ó producto
interno
264
Integrales de linea
265
Integrales de linea
266
Campo vectorial
267
Descripción paramétrica de una curva
268
Integral de linea
269
Integral de linea
270
Integral de linea
271
Integral de línea. Ejemplo 1
272
Integral de línea. Ejemplo 1
273
Integral de línea. Ejemplo 1
274
Integral de línea. Ejemplo 1
275
Integral de línea. Ejemplo 1
276
Integral de línea. Ejemplo 1
277
Integral de línea. Ejemplo 1
278
Integral de línea. Ejemplo 1
279
Integral de línea. Ejemplo 1
280
Integral de línea. Ejemplo 1
281
Integral de línea. Ejemplo 1
282
Integral de línea. Ejemplo 1
283
Integral de línea. Ejemplo 1
284
Integral de línea. Ejemplo 2
285
Integral de línea. Ejemplo 2
286
Integral de línea. Ejemplo 2
287
Integral de línea. Ejemplo 2
288
Integral de línea. Ejemplo 2
289
Integral de línea. Ejemplo 2
290
Integral de línea. Ejemplo 2
291
Integral de línea. Ejemplo 2
292
Integral de línea. Ejemplo 2
293
Integral de línea. Ejemplo 2
294
Integral de línea. Ejemplo 3
295
Integral de línea. Ejemplo 3
296
Integral de línea. Ejemplo 3
297
Integral de línea. Ejemplo 3
298
Integral de línea. Ejemplo 3
299
Integral de línea. Ejemplo 3
300
Integral de línea. Ejemplo 4
301
Integral de línea. Ejemplo 4
302
Integral de línea. Ejemplo 4
303
Integral de línea. Ejemplo 4
304
Campos vectoriales conservativos
305
Campos vectoriales conservativos
306
Campos vectoriales conservativos
307
Campos vectoriales conservativos
308
Campos vectoriales conservativos
309
Campos vectoriales conservativos
310
Campos vectoriales conservativos
311
Campos vectoriales conservativos
312
Campos vectoriales conservativos
313
Campos vectoriales conservativos
314
Campos vectoriales conservativos
315
Teorema fundamental del calculo "elemental"
316
Teorema fundamental del calculo "elemental"
317
Teorema fundamental del calculo para integrales
de línea
318
Campos vectoriales conservativos
Lo demostraremos más adelante, utilizando el
teorema de Stokes
319
Campos vectoriales conservativos
320
Integral de linea de un campo escalar
321
Integrales de superficie
322
Integrales de superficie
323
Integrales de superficie
324
Integrales de superficie
325
Integrales de superficie
326
Integrales de superficie
327
Integrales de superficie

• Necesitamos describir las superficies y sus
  características, principalmente debemos ser
  capaces de calcular el vector normal.
• Necesitamos un campo escalar o un campo
  vectorial, que son las funciones que vamos a
  integrar
• Necesitamos calcular la función a integrar sobre
  la superficie
• Finalmente, debemos proyectar el campo sobre la
  normal a la superficie

328
Representaciones de una superficie
329
Representaciones de una superficie
330
Representación paramétrica de una superficie
331
Representación paramétrica de una
superficie Ejemplo Una esfera
332
Representación paramétrica de una
superficie Ejemplo Una esfera
333
Representación paramétrica de una
superficie Ejemplo Un cono
334
Representación paramétrica de una
superficie Ejemplo Un cono
335
El vector normal a una superficie
336
El vector normal a una superficie
337
El vector normal a una superficie Ejemplo Una
esfera
338
El vector normal a una superficie Ejemplo Una
esfera
339
El vector normal a una superficie Ejemplo Una
esfera
340
El vector normal a una superficie en la
representación explícita
341
El vector normal a una superficie en la
representación explícita
342
El vector normal a una superficie en la
representación explícita
343
Integral de superficie de un campo escalar
344
Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 00
345
Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 00
346
Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 00
347
Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 00
348
Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 00
349
Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 0
350
Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 1
Gráfica
351
Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 1
352
Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 1
353
Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 1
354
Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 1
355
Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 1
356
Integral de superficie de un campo vectorial
357
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
358
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
359
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
360
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
361
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
362
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
363
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
364
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
365
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
366
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
367
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
368
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
369
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
370
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
371
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
372
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
373
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
374
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
375
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
376
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
377
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
378
Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
379
Los teoremas integrales
380
El teorema de la divergencia o de Gauss
381
Volumen y superficie cerrada que lo encierra
382
Normal a una superficie cerrada
383
El teorema de la divergencia o de Gauss
384
El teorema de la divergencia o de Gauss
385
El teorema de la divergencia o de Gauss
386
El teorema de la divergencia o de Gauss
387
Parentesis El desarrollo de Taylor en el Cálculo
Elemental
388
El desarrollo de Taylor
389
El desarrollo de Taylor
390
Teorema de Gauss Demostración informal
The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P.
Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.2 y 3.3
391
Teorema de Gauss. Demostración informal
392
Teorema de Gauss. Demostración informal
393
Teorema de Gauss. Demostración informal
394
Teorema de Gauss. Demostración informal
395
Teorema de Gauss. Demostración informal
396
Teorema de Gauss. Demostración informal
397
Teorema de Gauss. Demostración informal
398
Teorema de Gauss. Demostración informal
399
Teorema de Gauss. Demostración informal
400
Teorema de Gauss. Demostración informal
401
(No Transcript)
402
Teorema de Gauss. Demostración informal
403
Teorema de Gauss. Demostración informal
404
Teorema de Gauss. Demostración informal
405
La divergencia. Definición e interpretación
406
La divergencia. Definición e interpretación
407
El teorema de la divergencia
408
El teorema de la divergencia
409
La divergencia
410
Coordenadas esféricas
411
Coordenadas esféricas
412
Coordenadas esféricas
413
Coordenadas esféricas
414
Coordenadas esféricas
415
Coordenadas esféricas
416
La divergencia
417
La divergencia
418
Coordenadas esféricas
419
Coordenadas polares
420
Coordenadas esféricas
421
La divergencia en coordenadas esféricas
422
La divergencia en coordenadas esféricas
423
La divergencia en coordenadas esféricas
424
La divergencia en coordenadas esféricas
425
La divergencia en coordenadas esféricas
426
La divergencia en coordenadas esféricas
427
La divergencia en coordenadas esféricas
428
La divergencia en coordenadas esféricas
429
La divergencia en coordenadas esféricas
430
La divergencia en coordenadas esféricas
431
La divergencia en coordenadas esféricas
432
La divergencia
433
El teorema de la divergencia. Aplicaciones
434
El teorema de la divergencia. Aplicaciones
435
El teorema de la divergencia. Aplicaciones
436
El teorema de la divergencia. Aplicaciones
437
El teorema de la divergencia. Aplicaciones
438
El teorema de la divergencia. Aplicaciones
439
El teorema de la divergencia. Aplicaciones
440
El teorema de la divergencia. Aplicaciones
441
El teorema de la divergencia. Aplicaciones
442
El teorema de la divergencia. Aplicaciones
443
El teorema de la divergencia. Aplicaciones
444
El teorema de la divergencia. Aplicaciones
445
El teorema de la divergencia. Aplicaciones
446
El teorema de la divergencia. Aplicaciones
447
El teorema de la divergencia. Aplicaciones
448
El teorema de la divergencia. La ley de Gauss
449
El teorema del rotacional o de Stokes
450
El teorema del rotacional o de Stokes
The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P.
Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.5 y 3.6
451
El teorema de Stokes
452
El teorema de Stokes
453
El teorema de Stokes
454
El teorema de Stokes
455
El teorema de Stokes
456
El teorema de Stokes
457
El teorema del rotacional o de Stokes
The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P.
Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.5 y 3.6
458
El teorema de Stokes
459
El teorema de Stokes
460
El teorema de Stokes
461
El teorema de Stokes
462
El teorema de Stokes
463
El teorema de Stokes
464
El teorema de Stokes
465
El teorema de Stokes
466
El rotacional (Curl)
467
El teorema de Stokes
468
El teorema de Stokes
469
El teorema del rotacional o de Stokes
The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P.
Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.5 y 3.6
470
El rotacional
471
El rotacional
472
El rotacional
473
Campos vectoriales conservativos
474
Campos vectoriales conservativos
475
El teorema del rotacional o de Stokes
The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P.
Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.5 y 3.6
476
Campos vectoriales conservativos