Title: M
1Métodos matemáticos Cálculo vectorial
2Temario del curso
- Escalares, vectores y el álgebra vectorial
- Funciones vectoriales de varias variables
- Diferenciación parcial
- El gradiente, la divergencia y el rotacional
- Integración múltiple
- Integral de línea
- Integral de superficie
- El teorema de la divergencia
- El teorema de Stokes
- Otros teoremas integrales
3Cálculo vectorial
- Los conceptos de escalar, de vector y sus
operaciones - Entender las funciones vectoriales de un vector
- Los diferentes conceptos de derivadas de campos
escalares y vectoriales - El concepto de gradiente, de divergencia y de
rotacional. Sus significados físicos. - Entender y saber hacer integrales múltiples,
integrales de línea e integrales de superficie - Conocer, entender y saber aplicar los diferentes
teoremas integrales
4Introducción
5Conocimientos requeridos
- Álgebra
- Trigonometría
- Geometría analítica plana
- Calculo elemental
- Álgebra lineal
6El cálculo elemental
7El cálculo elemental
8Los vectores y su álgebra
9Los escalares
En este curso un ESCALAR será cualquier número
real
10Los escalares
En este curso un ESCALAR será cualquier número
real
- Ejemplos de cantidades escalares
- La temperatura
- La corriente eléctrica
- La presión
- El volumen
- La cantidad de carga
- La masa
- La energía
11Los vectores
12Los vectores
13Los vectores
14Los vectores
15El valor absoluto o magnitud de un vector
16Vector unitario
17Vector cero
18Suma de vectores
19Suma de vectores
20Propiedades de la suma de vectores
21La diferencia de dos vectores
22Suma y diferencia de vectores
23El producto de un escalar por un vector
24El producto escalar ó producto punto ó producto
interno
25El producto escalar ó producto punto ó producto
interno
26El producto escalar ó producto punto ó producto
interno
27El producto escalar
28El producto escalar
29El producto escalar
30El producto escalar
31El producto escalar
32El producto vectorial o producto cruz
33El producto vectorial o producto cruz
34El producto vectorial o producto cruz
35El producto vectorial o producto cruz
36El producto vectorial o producto cruz
37El producto vectorial
38Las coordenadas cartesianas
39Las coordenadas cartesianas
40Las coordenadas cartesianas
41Las coordenadas cartesianas
42Las coordenadas cartesianas
43Las coordenadas cartesianas
44Las coordenadas cartesianas
45Las coordenadas cartesianas
46Las operaciones vectoriales en términos de sus
componentes cartesianas
47Las operaciones vectoriales en términos de sus
componentes cartesianas
48Las funciones vectoriales
49Las funciones de varias variables
- En el cálculo elemental se estudian funciones de
una sola variable. - Sin embargo, en la vida real la mayoría de los
fenómenos y los procesos dependen de varias
variables. - Por tanto, son las funciones de varias variables
las que, en general, sirven para describir
correctamente los procesos de la naturaleza. - Por motivos metodológicos las podemos dividir
como - Funciones vectoriales
- Funciones escalares de un vector o campos
escalares - Funciones vectoriales de un vector o campos
vectoriales
50Las funciones vectoriales de una variable real
51Las funciones vectoriales de una variable real
52Las funciones vectoriales de una variable real
53Las funciones vectoriales de una variable real
54Las funciones vectoriales de una variable real
55Continuidad de las funciones vectoriales de una
variable real
56La derivada de las funciones vectoriales de una
variable real
57La derivada de las funciones vectoriales de una
variable real
58Ejemplo de una función vectorial de una variable
real
59Ejemplo de una función vectorial de una variable
real
60Ejemplo de una función vectorial de una variable
real
61Ejemplo de una función vectorial de una variable
real
62Ejemplo de una función vectorial de una variable
real
63Significado de la derivada
64Significado de la derivada
65Significado de la derivada
66Significado de la derivada
67Significado de la derivada
68Significado de la derivada
69Significado de la derivada
70Significado de la derivada
71Significado de la derivada
72Significado de la derivada
73Significado de la derivada
74Significado de la derivada
75Significado de la derivada
76Significado de la derivada
77Significado de la derivada
78Significado de la derivada
79Significado de la derivada
80Significado de la derivada
81Significado de la derivada
82Significado de la derivada
83Significado de la derivada
84Las derivadas de orden superior
85La diferencial de las funciones vectoriales de
una variable real
86Reglas de derivación
87Las funciones reales de un vector o campos
escalares
88Campos escalares
89Campos escalares
90Campos escalares. Ejemplo 1
x Y f(x,y)1-x-y
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 1 -1
-1 -1 3
-1 1 1
1 -1 1
2 0 -1
3 -1 -1
Gráfica
91Campos escalares. Ejemplo 2
x Y f(x,y)1-x2-y2
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 1 -1
-1 -1 -1
2 3 -12
-4 5 -40
Gráfica
92Campos escalares. Ejemplo 3
Gráfica
93Funciones reales de un vector Curvas de nivel
94Campos escalares. Curvas de nivel
95Campos escalares en 3D
96Campos escalares Superficies de nivel
97Campos escalares Superficies de nivel Ejemplo
98Las derivadas parciales de un campo escalar
99Las derivadas parciales de un campo escalar
100Las derivadas parciales de un campo escalar
101Ejemplos de derivadas parciales
102Ejemplos de derivadas parciales
103Ejemplos de derivadas parciales
104Ejemplos de derivadas parciales
105Ejemplos de derivadas parciales
106Ejemplos de derivadas parciales
107Ejemplos de derivadas parciales
108Ejemplos de derivadas parciales
109Ejemplos de derivadas parciales
110Ejemplos de derivadas parciales
111Significado físico de la derivada parcial
112Significado físico de la derivada parcial
113Significado físico de la derivada parcial
114Significado de la derivada elemental
115Significado físico de la derivada parcial
116Las funciones vectoriales de un vector o campos
vectoriales
117Campos vectoriales
118Campos vectoriales
119Campos vectoriales. Ejemplo 1
x Y xy y-x
0 0 0 0
1 0 1 -1
0 1 1 1
1 1 2 0
-1 -1 -2 0
-1 1 0 2
1 -1 0 -2
2 0 2 -2
3 -1 2 -4
120Campos vectoriales. Ejemplo 1
(x,y) F(x,y)
(0,0) (0,0)
(1,0) (1,-1)
(0,1) (1,1)
(1,1) (2,0)
(-1,-1) (-2,0)
(-1,1) (0,2)
(1,-1) (0,-2)
(2,0) (2,-2)
(3,-1) (2,-4)
121Campos vectoriales. Ejemplo 1
122Campos vectoriales. Ejemplo 2
123Derivadas parciales de los campos vectoriales
124Campos vectoriales
Las líneas del campo
125Resumen de las funciones vectoriales
126El gradiente
127El gradiente
128El gradiente. Ejemplo 1
129El gradiente. Ejemplo 1
130El gradiente. Ejemplo 1
131El gradiente. Ejemplo 1
132El gradiente. Ejemplo 1
133El gradiente. Ejemplo 1
134El gradiente. Ejemplo 2
135El gradiente. Ejemplo 2
136El gradiente
137El gradiente
El gradiente es perpendicular a las superficies y
curvas de nivel Las superficies y curvas de
nivel son en las que el campo escalar no cambia,
en las que el campo escalar se mantiene
constante, por lo tanto es lógico que el
gradiente, que indica la dirección de mayor
crecimiento de la función, sea perpendicular a
ellas
138El gradiente. Ejemplo
139Gráficas de intensidad de densidad
140El gradiente
- El campo escalar está en blanco y negro,
representando el negro valores mayores. - El gradiente está representado por las flechas
azules. El gradiente apunta en la dirección de
mayor crecimiento del campo escalar
141La divergencia
142La divergencia
143La divergencia Ejemplo
144La divergencia
145El rotacional (Curl)
146El rotacional (Curl)
OJO En inglés se llama CURL Equivale a
chinitos, rulitos
147El rotacional (Curl) Ejemplo
148El rotacional (Curl)
149Integrales múltiples
150Integrales dobles
151Integrales dobles
152Integrales dobles
153Integrales dobles
154Integrales dobles
155Integrales dobles
156Integrales dobles
157Integrales dobles. Ejemplo 1
Cuál es el área de este rectángulo?
158Integrales dobles. Ejemplo 1
159Integrales dobles. Ejemplo 2
160Integrales dobles. Ejemplo 2
161Integrales dobles. Ejemplo 2
Calcular el área de esta región
162Integrales dobles. Ejemplo 2
163Integrales dobles. Ejemplo 3
164Integrales dobles. Ejemplo 3
165Integrales dobles. Ejemplo 3
166Integrales dobles. Ejemplo 3
167Integrales dobles. Ejemplo 3
168Integrales dobles. Ejemplo 3
169Integrales dobles. Ejemplo 3
170Integrales dobles. Ejemplo 3
171Integrales dobles. Ejemplo 3
172Integrales dobles. Ejemplo 3
173Integrales dobles. Ejemplo 3
174Integrales dobles. Ejemplo 3
175Integrales dobles. Ejemplo 3
176Integrales dobles. Ejemplo 3
177Integrales dobles
178Integrales dobles
179Integrales dobles
180Integrales triples
181Integrales triples
182Integrales triples
183Integrales triples
184Integrales triples. Ejemplo 1
185Integrales triples. Ejemplo 1
186Integrales triples. Ejemplo 1
187Integrales triples. Ejemplo 1
188Integrales triples. Ejemplo 1
189Integrales triples. Ejemplo 1
190Integrales triples. Ejemplo 1
191Integrales triples. Ejemplo 1
192Integrales triples. Ejemplo 1
193Integrales triples. Ejemplo 1
194Integrales triples. Ejemplo 1
195Integrales triples. Ejemplo 1
196Integrales triples. Ejemplo 1
197Integrales triples. Ejemplo 1
198Integrales triples. Ejemplo 1
199Integrales triples. Ejemplo 1
200Integrales triples. Ejemplo 1
201Integrales triples. Ejemplo 1
202Integrales triples. Ejemplo 1
203Integrales triples. Ejemplo 1
204Integrales triples. Ejemplo 1
205Área del círculo. Coordenadas cartesianas
206Área del círculo. Coordenadas cartesianas
207Área del círculo. Coordenadas cartesianas
208Área del círculo. Coordenadas cartesianas
209Área del círculo. Coordenadas cartesianas
210Área del círculo. Coordenadas cartesianas
211Área del círculo. Coordenadas cartesianas
212Cambio de coordenadas
213Cambio de coordenadas en el plano
214Coordenadas polares
215Área del círculo. Coordenadas polares
216Cambio de coordenadas en el plano
217Cambio de coordenadas
218Cambio a coordenadas polares
219Cambio a coordenadas polares
220Área del círculo. Coordenadas polares
221Área del círculo. Coordenadas polares
222Área del círculo. Coordenadas polares
223Área del círculo. Coordenadas polares
224Área del círculo. Coordenadas polares
225Cambio de coordenadas
226Integrales dobles
227Cambio de coordenadas
228Cambio de coordenadas
229Cambio de coordenadas en 3D
230Coordenadas cilíndricas
231Coordenadas cilíndricas
232Coordenadas esféricas
233Coordenadas esféricas
234Cambio de coordenadas
235Cambio de coordenadas
236Coordenadas cilíndricas
237Coordenadas esféricas
238Coordenadas esféricas
239Volumen de un cilindro. Coordenadas cartesianas
240Volumen de un cilindro. Coordenadas cartesianas
241Volumen de un cilindro. Coordenadas cartesianas
242Volumen de un cilindro. Coordenadas cartesianas
243Volumen de un cilindro. Coordenadas cartesianas
244Volumen de un cilindro. Coordenadas cartesianas
245Volumen de un cilindro. Coordenadas cartesianas
246Volumen de un cilindro. Coordenadas cilíndricas
247Coordenadas cilíndricas
248Coordenadas cilíndricas
249Volumen de un cilindro. Coordenadas cilíndricas
250Volumen de un cilindro. Coordenadas cilíndricas
251Integrales triples. Ejemplo
252Integrales triples. Ejemplo
253Integrales triples. Ejemplo
254Integrales triples. Ejemplo
255Integrales triples. Ejemplo
256Integrales triples. Ejemplo
257Integrales triples. Ejemplo
258Integrales triples. Ejemplo
259Integrales de linea
260Integrales de linea
261Integrales de linea
262Integrales de linea
263El producto escalar ó producto punto ó producto
interno
264Integrales de linea
265Integrales de linea
266Campo vectorial
267Descripción paramétrica de una curva
268Integral de linea
269Integral de linea
270Integral de linea
271Integral de línea. Ejemplo 1
272Integral de línea. Ejemplo 1
273Integral de línea. Ejemplo 1
274Integral de línea. Ejemplo 1
275Integral de línea. Ejemplo 1
276Integral de línea. Ejemplo 1
277Integral de línea. Ejemplo 1
278Integral de línea. Ejemplo 1
279Integral de línea. Ejemplo 1
280Integral de línea. Ejemplo 1
281Integral de línea. Ejemplo 1
282Integral de línea. Ejemplo 1
283Integral de línea. Ejemplo 1
284Integral de línea. Ejemplo 2
285Integral de línea. Ejemplo 2
286Integral de línea. Ejemplo 2
287Integral de línea. Ejemplo 2
288Integral de línea. Ejemplo 2
289Integral de línea. Ejemplo 2
290Integral de línea. Ejemplo 2
291Integral de línea. Ejemplo 2
292Integral de línea. Ejemplo 2
293Integral de línea. Ejemplo 2
294Integral de línea. Ejemplo 3
295Integral de línea. Ejemplo 3
296Integral de línea. Ejemplo 3
297Integral de línea. Ejemplo 3
298Integral de línea. Ejemplo 3
299Integral de línea. Ejemplo 3
300Integral de línea. Ejemplo 4
301Integral de línea. Ejemplo 4
302Integral de línea. Ejemplo 4
303Integral de línea. Ejemplo 4
304Campos vectoriales conservativos
305Campos vectoriales conservativos
306Campos vectoriales conservativos
307Campos vectoriales conservativos
308Campos vectoriales conservativos
309Campos vectoriales conservativos
310Campos vectoriales conservativos
311Campos vectoriales conservativos
312Campos vectoriales conservativos
313Campos vectoriales conservativos
314Campos vectoriales conservativos
315Teorema fundamental del calculo "elemental"
316Teorema fundamental del calculo "elemental"
317Teorema fundamental del calculo para integrales
de línea
318Campos vectoriales conservativos
Lo demostraremos más adelante, utilizando el
teorema de Stokes
319Campos vectoriales conservativos
320Integral de linea de un campo escalar
321Integrales de superficie
322Integrales de superficie
323Integrales de superficie
324Integrales de superficie
325Integrales de superficie
326Integrales de superficie
327Integrales de superficie
- Necesitamos describir las superficies y sus
características, principalmente debemos ser
capaces de calcular el vector normal. - Necesitamos un campo escalar o un campo
vectorial, que son las funciones que vamos a
integrar - Necesitamos calcular la función a integrar sobre
la superficie - Finalmente, debemos proyectar el campo sobre la
normal a la superficie
328Representaciones de una superficie
329Representaciones de una superficie
330Representación paramétrica de una superficie
331Representación paramétrica de una
superficie Ejemplo Una esfera
332Representación paramétrica de una
superficie Ejemplo Una esfera
333Representación paramétrica de una
superficie Ejemplo Un cono
334Representación paramétrica de una
superficie Ejemplo Un cono
335El vector normal a una superficie
336El vector normal a una superficie
337El vector normal a una superficie Ejemplo Una
esfera
338El vector normal a una superficie Ejemplo Una
esfera
339El vector normal a una superficie Ejemplo Una
esfera
340El vector normal a una superficie en la
representación explícita
341El vector normal a una superficie en la
representación explícita
342El vector normal a una superficie en la
representación explícita
343Integral de superficie de un campo escalar
344Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 00
345Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 00
346Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 00
347Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 00
348Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 00
349Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 0
350Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 1
Gráfica
351Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 1
352Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 1
353Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 1
354Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 1
355Integral de superficie de un campo escalar.
Ejemplo 1
356Integral de superficie de un campo vectorial
357Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
358Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
359Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
360Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
361Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
362Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
363Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
364Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
365Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
366Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
367Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 1
368Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
369Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
370Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
371Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
372Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
373Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
374Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
375Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
376Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
377Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
378Integral de superficie de un campo vectorial.
Ejemplo 2
379Los teoremas integrales
380El teorema de la divergencia o de Gauss
381Volumen y superficie cerrada que lo encierra
382Normal a una superficie cerrada
383El teorema de la divergencia o de Gauss
384El teorema de la divergencia o de Gauss
385El teorema de la divergencia o de Gauss
386El teorema de la divergencia o de Gauss
387Parentesis El desarrollo de Taylor en el Cálculo
Elemental
388El desarrollo de Taylor
389El desarrollo de Taylor
390Teorema de Gauss Demostración informal
The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P.
Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.2 y 3.3
391Teorema de Gauss. Demostración informal
392Teorema de Gauss. Demostración informal
393Teorema de Gauss. Demostración informal
394Teorema de Gauss. Demostración informal
395Teorema de Gauss. Demostración informal
396Teorema de Gauss. Demostración informal
397Teorema de Gauss. Demostración informal
398Teorema de Gauss. Demostración informal
399Teorema de Gauss. Demostración informal
400Teorema de Gauss. Demostración informal
401(No Transcript)
402Teorema de Gauss. Demostración informal
403Teorema de Gauss. Demostración informal
404Teorema de Gauss. Demostración informal
405La divergencia. Definición e interpretación
406La divergencia. Definición e interpretación
407El teorema de la divergencia
408El teorema de la divergencia
409La divergencia
410Coordenadas esféricas
411Coordenadas esféricas
412Coordenadas esféricas
413Coordenadas esféricas
414Coordenadas esféricas
415Coordenadas esféricas
416La divergencia
417La divergencia
418Coordenadas esféricas
419Coordenadas polares
420Coordenadas esféricas
421La divergencia en coordenadas esféricas
422La divergencia en coordenadas esféricas
423La divergencia en coordenadas esféricas
424La divergencia en coordenadas esféricas
425La divergencia en coordenadas esféricas
426La divergencia en coordenadas esféricas
427La divergencia en coordenadas esféricas
428La divergencia en coordenadas esféricas
429La divergencia en coordenadas esféricas
430La divergencia en coordenadas esféricas
431La divergencia en coordenadas esféricas
432La divergencia
433El teorema de la divergencia. Aplicaciones
434El teorema de la divergencia. Aplicaciones
435El teorema de la divergencia. Aplicaciones
436El teorema de la divergencia. Aplicaciones
437El teorema de la divergencia. Aplicaciones
438El teorema de la divergencia. Aplicaciones
439El teorema de la divergencia. Aplicaciones
440El teorema de la divergencia. Aplicaciones
441El teorema de la divergencia. Aplicaciones
442El teorema de la divergencia. Aplicaciones
443El teorema de la divergencia. Aplicaciones
444El teorema de la divergencia. Aplicaciones
445El teorema de la divergencia. Aplicaciones
446El teorema de la divergencia. Aplicaciones
447El teorema de la divergencia. Aplicaciones
448El teorema de la divergencia. La ley de Gauss
449El teorema del rotacional o de Stokes
450El teorema del rotacional o de Stokes
The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P.
Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.5 y 3.6
451El teorema de Stokes
452El teorema de Stokes
453El teorema de Stokes
454El teorema de Stokes
455El teorema de Stokes
456El teorema de Stokes
457El teorema del rotacional o de Stokes
The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P.
Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.5 y 3.6
458El teorema de Stokes
459El teorema de Stokes
460El teorema de Stokes
461El teorema de Stokes
462El teorema de Stokes
463El teorema de Stokes
464El teorema de Stokes
465El teorema de Stokes
466El rotacional (Curl)
467El teorema de Stokes
468El teorema de Stokes
469El teorema del rotacional o de Stokes
The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P.
Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.5 y 3.6
470El rotacional
471El rotacional
472El rotacional
473Campos vectoriales conservativos
474Campos vectoriales conservativos
475El teorema del rotacional o de Stokes
The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P.
Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.5 y 3.6
476Campos vectoriales conservativos