A Transformada de Fourier Discreta

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A Transformada de Fourier Discreta

• Existe uma correspondência entre sequências
  finitas e sequências periódicas
• A Transformada de Fourier Discreta de uma
  sequência finita, corresponde à Transformada de
  Fourier da Sequência periódica obtida por
  repetição da sequência finita

Transformada de Fourier Discreta (DFT)
Série de Fourier (DFS)
Transformada de Fourier (DTFT)
2
A Série de Fourier Discreta (DFS)
Com
3
A Série de Fourier Discreta (DFS)
Série de Fourier Discreta Inversa
Série de Fourier Discreta
DFS Discrete Fourier Series
4
Relações da Série de Fourier
Transformada de Fourier do sinal periódico
Relações entre a Série de Fourier Discreta e a
Transformada de Fourier
Temos ainda
Transformada de Fourier do sinal finito
Amostras do espectro do sinal
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Propriedades da Série de Fourier Discreta
6
Propriedades da Série de Fourier Discreta
7
A Transformada de Fourier Discreta (DFT)
vector
Matriz (dois índices)
DFT- Discrete Fourier Transform
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A Transformada de Fourier Discreta (DFT)
A DFT corresponde a representação de xn numa
base diferente, sendo sempre possível recuperar o
sinal original.
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Convolução Periódica (circular)

• Convolução periódica

A convolução no tempo só corresponde a
multiplicação na frequência para a DFS. Para a
DFT temos de utilizar a convolução circular.

• Convolução circular

A convolução circular é comutativa.
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Convolução Periódica (circular)
DCT DTFT Amostrada aliasing no tempo
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Convolução Periódica
Um atraso corresponde a rodar a sequência!
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Goertzel Algorithm
Notar que xn0 para nlt0
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A Transformada Rápida de Fourier (FFT)

• Fast Fourier Transform (FFT)
• É uma algoritmo computacionalmente eficiente
  para o cálculo da DFT

Requer N2 multiplicações
DFT
N log2N multiplicações
FFT
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Principio Básico da FFT

• A DFT de um vector de dimensão N pode ser
  calculada à custa de duas DFT de dimensão N/2

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Grapho de uma FFT
Butterfly
FFT
DFT
xn
Xk
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Efeito do Ruído de Quantificação

• (virgula fixa)
• Cada valor é calculado através de N-1 Butterflys
• Em cada Butterfly há um arredondamento (o erro é
  ?b)

Ruído no resultado (pior caso) (N-1)?b
Ruído no resultado assumindo sinais de ruído
independentes
1 Multiplicação Complexa 4 Multiplicações reais
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Efeito do Ruído de Quantificação

• Para prevenir a saturação no pior caso do
  resultado devemos a componente real e complexa de
  xn menor que 1/N ou seja

Ou seja duplicar N implica perder um bit de
relação sinal ruído
Adicionando um escalamento de ½ às butterflys da
FFT reduz a relação ruído sinal (N/S) para
Para processadores de virgula flutuante Sinais
de banda larga 4N2-2B Sinais sinusoidais 4
log2N 2-2B
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Ordenação de bits Invertidos

• 3ª divisão
• 000
• 100
• 010
• 110
• 001
• 101
• 011
• 111

• 1ª divisão
• Xx0 (pares)
• Xx1 (impares)
• 2ª divisão
• X00
• X10
• X01
• X11

Corresponde à ordenação tradicional mas com bits
invertidos!!
A reordenação pode ser efectuada in place
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Outras Implementações

• Decimação na frequência
• Os coeficientes estão ordenados no tempo, e em
  ordem de bits invertidos na frequência!
• Não necessita de Bit_reversed_addressing para
  implementar a convolução com a FFT.
• Outras bases que não a dois!
• Permite FFT de dimensão que não são potência de
  dois (sem extensão com zeros)
• Pode conduzir a um menor ruído de quantificação
• Implementações com ordem directa na entrada e na
  saída
• Não permitem computação no local

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Implementação

• Blocos corresponde ao cálculo de uma DFT de
  dimensão inferior
• Um loop externo para os diferentes estágios
• Tamanho do bloco começa por ser dois e duplica
  para cada novo estádio.
• Loop interno para diferentes blocos
• Cálculo de half_block_size Butterflys
• Os coeficientes das butterflys estão espaçados de
  half_block_size

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Implementação da Convolução Linear com a FFT
Série de Fourier Discreta
convolução
A convolução de uma sequência de dimensão L por
uma de dimensão N resulta numa sequência de
dimensão LN-1
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Implementação da Convolução Linear com a FFT

• Pretendemos obter a convolução de
• xn com yn, 0 ? n lt N
• Estende-se xn e yn com N zeros
• xen xn, 0 ... 0, yen yn, 0 ... 0
• Efectua-se a convolução circular de xen com ye
  n

(NM-1)
N
M
Aplicações Overlap and Add e Overlap and Save
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Overlap and SAVE / Overlap and ADD

• Implementação de filtros FIR, por blocos usando a
  FFT.
• Implementação de convolução de dois vectores de
  sinais (xn e hn) com um dos vectores (xn)
  muito maior que outro (hn).
• Solução dividir xn em blocos

• Overlap and SAVE
• Implementar a convolução circular de dois blocos
  do sinal de dados com a resposta ao impulso.
• Overlap and ADD
• Implementar a convolução de um bloco do sinal de
  dados com a resposta ao impulso. Somar resultados
  de outros blocos.

Desvantagem atraso na saída
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Overlap and Add
x0n x1n x2n x3n x4n
Convolução linear implementada com a FFT
hn
convolução
x0nhn
x1nhn
x2nhn
Add
y0n y1n y2n y3n y4n
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Overlap and Save
x0n x1n x2n x3n x4n
Convolução circular implementada com a FFT
hn
aliasing
convolução
Bloco errado
(x0nx1n)hn
(x1nx2n)hn
(x2nx3n)hn
Bloco correcto
Save
y0n y1n y2n y3n y4n