Probl

1
Problème d'ordonnancement
Recherche du plus long chemin dans un réseau.
Outil de gestion de projet  algorithme de Ford
pour la recherche dun chemin critique et le
calcul de la durée minimale dun projet. Méthodes
permettant de comprimer la durée dun projet au
moindre coût. La méthode PERT  durée aléatoire
des tâches. Le contrôle des coûts vs le respect
des délais imposés. Exemples.
2
Introduction
Linstinct et le geste impulsif ont fréquemment
cédé le pas à laction réfléchie et au geste
planifié.
La planification ne date pas de la vie moderne
la construction de lArche de Noé réussite.
lédification de la tour de Babel non menée à
terme.
Pour les projets complexes exigeant de grands
moyens, faisant intervenir un grand nombre de
personnes, et dont le caractère est non
répétitif, on doit penser à
- préciser l'objectif - déterminer les
opérations ou les tâches nécessaires à
réaliser - estimer la durée et les ressources
exigées par chaque tâche - estimer les risques
et prévoir les marges nécessaires pour les
pallier - calculer la durée totale et le coût
total du projet - dresser un calendrier
d'échelonnement des tâches.
3
1er problème
Dans la planification dun projet
impliquant plusieurs tâches, exigeant chacune un
temps dexécution et reliées entre elles selon un
ordre de précédence, on cherche le temps minimum
dachèvement du projet.
On sintéresse à la recherche du plus long chemin
dans un réseau.
Voici un exemple dapplication
chemin critique
Une compagnie désire mettre en exploitation un
nouveau gisement minier. Les opérations suivantes
doivent être réalisées
Durée (jours)

• a. Obtention dun permis dexploitation 180
• Construction dune piste entre route et site 120
• Installation de deux sondeuses 7
• Érection de baraques provisoires 21
• Asphaltage de la piste 30
• Adduction deau 60

4
Durée (jours)
g. Campagne de sondages 210 h. Fonçage et
équipement des puits 120 i. Installation au
fond du matériel dexploitation
42 j. Construction de logements pour le
personnel 150 k. Traçage et aménagement du
fond 330 l. Construction dune laverie 210
Relations dantériorité
b doit être précédée de a et suivie des
opérations c, d, e, f.
c et d précèdent g.
e, f et g précèdent h et j.
h et j précèdent i, k et l.
5
Construction dun graphe simple appelé diagramme
PERT
Les arcs seront les opérations et les sommets
seront des événements (lachèvement de certaines
tâches) liés à ces opérations.
c, 7
g, 210
i, 42
d, 21
e, 30
a, 180
b, 120
h, 120
k, 330
D
F
j, 150
l, 210
f, 60
D ? début des opérations
F ? fin des opérations
Ce diagramme nest pas un graphe simple à cause
des opérations parallèles c, d et e,f et i, k, l
resp.
Graphe simple graphe tel quil ny a jamais
plus dun arc allant dun sommet à un autre.
Note
6
Pourquoi un graphe simple ?
Les algorithmes connus pour trouver un chemin
critique nécessitent un graphe simple.
Comment convertir ce graphe en un graphe simple ?
Prenons par exemple les opérations parallèles c
et d.
Le moyen le plus simple est de créer un événement
fictif et une opération fictive de durée nulle
comme ceci
c
g
0
d
e
f
n opérations parallèles nécessitent n - 1 sommets
fictifs et n-1 opérations fictives de durée nulle.
7
On obtient donc pour le graphe au complet le
diagramme PERT suivant
5
c, 7
10
4
g, 210
i, 42
0
d, 21
0
a, 180
b, 120
h, 120
k, 330
1
12
2
3
7
9
f, 60
0
0
0
e, 30
l, 210
j, 150
6
8
11
8
Prise en compte de différents types dopérations
Opérations composées
Soit une opération a, constituée des 3 opérations
élémentaires successives a1, a2 et a3 de telle
sorte que lopération c suive a1, d suive a2 et b
suive a3.
Sous forme graphique, on obtient
a1
a2
a3
b
d
c
Cela peut arriver lorsquon demande que c ne
commence quune fois le premier tiers de a
effectué et que d ne commence quune fois les
deux premiers tiers de a effectués. De plus, a
précède b.
Lopération a est divisée en 3 sous-opérations de
durée égale au tiers de celle de a.
9
Opérations dépendantes et indépendantes
Soit,
c
a
d
b
c et d sont des opérations dépendantes de a et de
b.
Effectuons le changement suivant c doit
succéder à a, d est dépendante de a et b.
Il faut créer un état fictif et une opération
fictive de durée nulle
a
c
b
d
10
Limites de démarrage 1er cas
b
Soit le graphe partiel suivant,
a
c
D
Suite à des imprévus, lopération c ne pourra
commencer avant t0 unités de temps écoulées
depuis le début des travaux.
Il faudra donc créer une opération fictive de
durée t0 allant du début des travaux au début de
c.
Puisque b nest pas astreinte à cette contrainte
de démarrage, on doit introduire un sommet fictif
libérant b de cette limite de démarrage tout en
tenant compte du fait que b et c suivent a.
Finalement, on doit prévoir une opération fictive
de durée nulle indiquant la dépendance de c
envers a.
11
b
a
0
c
D
t0
Limites de démarrage 2ième cas
Pour quune tâche i puisse débuter, il est
nécessaire que la durée écoulée depuis le début
dune autre tâche k soit au moins égale à une
durée donnée tki.
On doit ajouter larc (k, i) représentant une
opération fictive de durée tki.
12
Problème de la recherche du chemin critique (les
tâches qui sy trouvent sont critiques pour la
durée du projet)
Il sagit de trouver la date de réalisation de la
fin des travaux i.e. la date la plus proche qui
permette que toutes les opérations
soient réalisées et la séquence de tâches qui
réalise cette durée.
Cela consiste à déterminer le chemin le plus
défavorable du début à la fin des travaux i.e. le
chemin de longueur maximale.
2
Exemple
3
1
6
7
3
La fin des travaux aura lieu à la date
9. Lopération (1, 3) aura 2 unités de temps
supplémentaires pour être réalisée.
Convention
Le temps de début des travaux sera toujours le
temps 0.
13
Résolution du problème de la recherche du chemin
critique
Un diagramme PERT est connexe et sans circuit.
Une opération ne peut se succéder à elle-même.
Autrement, nous serions en présence de plusieurs
projets.
Considérons une légère adaptation de lalgorithme
de Bellman-Kalaba sur le diagramme précédent.
Soit ti,j la durée de lopération qui va du
sommet i à j, ti le temps de réalisation au
plus tôt ou temps attendu, (par convention, t1
0)
14
5
c, 7
10
4
g, 210
i, 42
0
d, 21
0
a, 180
b, 120
h, 120
k, 330
1
12
2
3
7
9
f, 60
0
0
0
e, 30
l, 210
j, 150
6
8
11
t2 t1 t1,2 180
t3 t2 t2,3 300
t4 t3 t3,4 300
Pour le sommet 5, il y a 2 possibilités t3
t3,5 321 ou t4 t4,5 307. Vu quon cherche
le chemin le plus long, on prendra t5 321.
15
t6 t3 t3,6 300
t7 max t3 t3,7 , t6 t6,7 , t5 t5,7
531.
Et ainsi de suite, jusquà t12 1011.
temps de réalisation au plus tôt
321
5
681
c, 7
300
10
4
g, 210
i, 42
0
d, 21
0
681
531
a, 180
b, 120
h, 120
k, 330
1
12
2
3
7
9
f, 60
0
180
300
1011
0
0
0
e, 30
l, 210
j, 150
6
8
11
300
531
681
16
Notion de chemin critique
Un ensemble dopérations dites critiques en ce
sens quon ne peut tolérer aucun retard dans leur
mise en exécution et dans leur exécution sans
retarder le temps tn de la fin des travaux (ici
t12 1011).
321
Ex. (1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 12)
5
681
c, 7
300
10
4
g, 210
i, 42
d, 21
0
0
681
531
a, 180
b, 120
h, 120
k, 330
1
12
2
3
7
9
f, 60
0
180
300
1011
0
0
0
e, 30
l, 210
j, 150
Le chemin critique est indiqué en traits doubles.
6
8
11
300
531
681
17
Temps de réalisation au plus tard ou temps limite
Les opérations non critiques peuvent sans doute
être retardées dans leur mise à exécution sans
retarder le temps final des travaux.
Soit ti le temps limite de réalisation à laquelle
peut se faire lévénement i sans retarder le
temps tn de la fin des travaux.
? i dans le chemin critique.
Note
tn tn
et
ti ti
Comment obtenir les temps de réalisation au plus
tard
ti tn - le temps minimal nécessaire pour
réaliser les opérations entre i et n
ti tn - somme des temps opératoires sur le
chemin le plus long de i à n.
Cependant, il est possible de les obtenir très
rapidement.
18
temps de réalisation au plus tard
321
5
969
c, 7
314
10
4
g, 210
i, 42
0
d, 21
0
681
531
a, 180
b, 120
h, 120
k, 330
1
12
2
3
7
9
f, 60
0
180
300
1011
0
0
0
e, 30
l, 210
j, 150
6
8
11
501
531
801
t10 t12 t10,12 969
t11 t12 t11,12 801
t9 temps minimal nécessaire min t12
t9,12, t11 t9,11, t10 t9,10
min681,801,969 681
etc.
19
Traçons maintenant le chemin critique à partir
des ti et des ti
Le sommet i fait partie du chemin critique si ti
ti.
Si les sommets i et j font partie du chemin
critique, lopération de i à j sera critique si
tj - ti,j ti.
20
Intervalle de flottement dun événement i
ti, ti
est lintervalle de temps où peut se réaliser
lévénement i sans retarder le temps de fin des
travaux.
Note
Les événements du chemin critique auront
un intervalle de flottement réduit à un seul
point.
Si lintervalle de flottement de lévénement k
est réduit à un seul point, lévénement k
appartiendra à un des chemins critiques (sil y
en a plusieurs).
Exemple
1
0
2
180
3
300
4
300, 314
5
321
6
300, 501
7
531
8
531
9
681
10
681, 962
11
681, 801
12
1011
21
Marge libre dune opération de i à j
Le délai qui peut être apporté à la mise à
exécution de lopération (i, j) sans pour autant
retarder le temps de réalisation au plus tôt
de lévénement j.
Il sagit de tj - ti,j - ti.
Exemple
(1,2) (2,3) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (4,5)
(5,7) (6,7) (7,8)
14
0
0
0
201
0
0
0
0
171
(7,9) (9,10) (9,11) (9,12) (10,12) (11,12)
30
0
0
120
0
281
Note
Une opération critique entraîne une marge libre
nulle. Linverse nest pas vrai. Ex. larc
(3,4) nest pas une opération critique.
22
Marge totale dune opération de i à j
La marge libre est un concept local qui ne tient
pas compte dune suite dopérations non critiques.
Or, ce qui nous importe le plus en général est de
ne pas retarder la fin des travaux même si on
doit faire des réaménagements sur quelques
opérations non critiques.
On peut retarder le début de lopération (3,
4) de 14 unités sans retarder la fin des travaux.
Exemple
La marge totale indique le délai maximal qui peut
sécouler avant le début de lopération (i, j)
sans retarder la fin des travaux mais en
retardant peut-être celui de j sans dépasser son
temps de réalisation au plus tard tj - ti,j
- ti.
23
Exemple
(1,2) (2,3) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (4,5)
(5,7) (6,7) (7,8)
14
0
0
14
0
171
0
201
0
201
(7,9) (9,10) (9,11) (9,12) (10,12) (11,12)
288
120
30
0
288
120
24
Diagramme à barres de de Gantt
Construit à laide de la marge totale et du
diagramme PERT, il nous indique les opérations
critiques en 1ière rangée avec léchéancier
à respecter.
Sous les opérations critiques se placent les
opérations non critiques dans les cases où elles
peuvent varier librement.
Exemple
Lopération c précède lopération d, toutes 2 non
critiques c peut varier de 10 à 20 étant dune
durée de 3 d peut varier de 17 à 24 étant dune
durée de 4.
10
24
20
17
c 3
d 4
25
Diagramme de Gantt tiré de notre exemple
0
180
300
321
531
681
1011
a
b
d
g
j
k
c 7
h 120
i 42
f 60
l 210
e 30
Cela indique bien visuellement ce quon peut
faire sans toucher au temps de fin des travaux.
Note
Le diagramme devrait être tracé à léchelle.
26
Algorithme de Ford pour calculer les temps au
plus tôt ti.
Étape 0.
Poser ti 0 ?i 1, 2, , n. Poser i 1, j 2.
Si larc (i, j) nexiste pas dans le
diagramme alors aller à létape 4.
Étape 1.
Si tij gt tj - ti, faire tj tij ti
et aller à létape 3.
Étape 2.
sinon aller à létape 4.
Si i gt j, faire i j, j 2 et aller à létape 5
Étape 3.
sinon aller à létape 4.
Faire j j 1.
Étape 4.
Si j ? n aller à létape 1
Étape 5.
sinon faire j 2, i i 1 et aller à létape 6.
Si i ? n aller à létape 1
Étape 6.
sinon Fin.
27
Algorithme de Ford pour calculer les temps au
plus tard ti.
Il sagit dutiliser lalgorithme de Ford
précédent où chaque sommet i a été remplacé par n
i 1, chaque arc (i, j) du diagramme est
remplacé par (j, i).
Les résultats obtenus sont placés sur le
diagramme original après avoir effectué le calcul
suivant
ti tn - somme des temps opératoires sur le
chemin le plus long de i à n.
28
BREF
Les notions précédentes ont une grande importance

Létablissement du diagramme PERT permet de
préciser le déroulement des opérations avec les
interactions des différentes tâches.
La mise en évidence dun chemin critique
détermine les opérations conditionnant la
réalisation du projet.
Elles devront être surveillées attentivement par
le gestionnaire du projet.
Les opérations non critiques sont moins rigides
et peuvent tolérer certains retards quant à leur
temps de mise en œuvre (intervalles de
flottement, marges libre et totale).
29
En pratique, les durées tij des opérations sont
mal connues et incertaines.
Deux cas se présentent
On connaît les distributions des temps
dopérations à partir de données statistiques
obtenues dans la réalisation de
projets semblables.
A
Déterminer le temps moyen et la variance de
chaque opération tij et ?2ij.
Ce temps moyen de chaque opération servira comme
durée de lopération.
La variance interviendra plus tard dans
lestimation du temps de fin des travaux.
30
On suppose que les temps dopération sont
distribués selon une loi Bêta pour des raisons de
commodité de calculs.
B
T Bêta(a, b)
T est une v.a. comprise dans lintervalle a,
b où a et b sont des constantes positives.
Laspect de la distribution Bêta en fonction des
paramètres a, b et M est le suivant
a
b
M
M désigne la valeur de T où sa fonction de
densité est maximale.
31
Les paramètres de cette fonction de densité sont
choisis de telle façon tij (aij 4Mij bij)
/ 6 ?2ij (bij - aij)2 / 36.
Pour déterminer les valeurs de tij et ?2ij, il
suffit de poser les questions suivantes aux
spécialistes responsables de chaque opération
À combien estimez-vous la durée minimale de
lopération (i, j) ?
À combien estimez-vous la durée maximale de
lopération (i, j) ?
Quelle est la durée la plus probable de
lopération (i, j) ?
Note
Ces informations fort subjectives doivent être
utilisées avec prudence.
32
Exemple
Les opérations fictives demeurent avec des durées
nulles.
33
Le chemin critique est 1, 2, 3, 5, 7, 9, 12 et
son espérance mathématique est égale à la somme
des espérances des opérations qui le composent
i.e. E(t12) 1015.
335 335
700 965
5
315 329
c, 6
10
4
g, 205
i, 50
d, 20
0
0
700 700
540 540
a, 180
b, 135
h, 160
k, 315
1
12
2
3
7
9
f, 61
0 0
180 180
315 315
1015 1015
0
0
0
e, 28
l, 215
j, 140
Le chemin critique est indiqué en traits doubles.
6
8
11
315 512
540 560
700 800
34
Si les opérations sont en nombre suffisant et les
temps opératoires sont indépendants, le théorème
central-limite sapplique.
35
Sous ces hypothèses, on obtient que
?2t12 ?21,2 ?22,3 ?23,5 ?25,7 ?27,9
?29,12 1300.1111
Calcul de la variance des dates au plus tôt des
autres événements
Ex. E(t8) 540 somme des temps moyens sur
le chemin le plus long de 1 à 8.
Il sagit de considérer le chemin le plus long de
1 à 8 et,
?2t8 ?21,2 ?22,3 ?23,5 ?25,7 ?27,8
797.3333
Calcul de la variance des dates au plus tard des
autres événements
Ex. E(t4) 329 somme des temps moyens sur
le chemin le plus long de 4 à 12.
Il sagit de considérer le chemin le plus long de
4 à 12 et,
?2t4 ?24,5 ?25,7 ?27,9 ?29,12 973.8055
36
Importance du calcul des variances pour la
réalisation dun projet
Supposons que le contracteur qui réalise les
travaux sest engagé à les terminer avant 1100
jours et quaprès, il ait à payer des pénalités
par jour de retard.
Le contracteur est intéressé à connaître la
probabilité quil respecte son engagement.
t12 1015 ? N(0, 1) 36.057
Par conséquent, P(t12 1100) P(
t12 1015 2.36) 99 36.057
ce qui laisse une marge de manœuvre suffisante au
contracteur.
Note Si le contracteur sétait engagé à
terminer les travaux avant 1040 jours, on aurait
trouvé P(t12 1040) 75,8
Risque élevé.
Le contracteur augmenterait alors le prix de sa
soumission.
37
Analyse des coûts de réalisation des tâches dun
projet
Laccélération du temps de réalisation dune
tâche se traduit par une augmentation de son coût.
Dorénavant, chaque temps opératoire tij peut
varier entre deux bornes dij et Dij.
Limite supérieure ou durée normale (temps
opérationnel normal)
Limite inférieure ou durée accélérée (temps
minimal nécessaire pour réaliser lopération Pij)
Terminologie
En optant pour la durée normale (accélérée) de
chaque opération, le problème à résoudre est dit
le programme normal (accéléré).
Habituellement, le programme accéléré est trop
coûteux et le programme normal trop long.
Note
38
Coût de réalisation cij de lopération Pij
La fonction de coût a généralement la forme
suivante
cij

tij
dij
Dij
Le coût de lopération est minimal si sa durée
est normale et croît lorsquon sen éloigne.
Si tij gt Dij on ne peut effectuer le travail quà
des coûts beaucoup plus élevés ce qui
correspond habituellement à des moyens
insuffisants en main dœuvre et matériel.
39
Comment trouver des durées qui représentent un
juste milieu entre nos possibilités temporelles
et financières ?
1ière approche
Diminution du coût total dun programme
en augmentant la durée des opérations non
critiques.
On suppose ici quil nous est impossible de
modifier la durée des opérations critiques et
donc la date de fin des travaux.
Par contre, on peut modifier la durée des
opérations non critiques.
La durée tij de chaque opération Pij est
contrainte comme suit
dij tij Dij
Considérons un exemple où les durées tij sont
indiquées sur les arcs dans le diagramme PERT
suivant
40
Exemple
41
Exemple (suite)
Laugmentation des coûts est proportionnelle à la
diminution des temps opératoires, i.e. les
fonctions de coût sont linéaires et décroissantes.
Posons cij ? coût marginal de lopération Pij ou
encore, laugmentation dune unité dans la
durée de lopération Pij implique une
diminution de cij dans le coût de cette
opération.
Dans le tableau suivant, on retrouve - les
durées normales, - les durées accélérées, - les
temps opératoires, - les marges libres, - les
marges totales, - les couts marginaux, - les
coûts opératoires, - le coût total (la somme des
coûts de toutes les opérations).
42
Coût total 214,000
Exemple (suite)
cij
43
Exemple (suite)
La durée du programme étant inchangée, il suffit
de diminuer la marge libre des opérations non
critiques pour diminuer le coût total.
Les nouvelles durées des opérations non critiques
ne pourront être supérieures à
t'ij tij min(mlij, Dij - tij) min(Dij,
tij mlij).
Dans cet exemple, choisissons comme durées ces
bornes supérieures.
44
Exemple (suite)
On obtient le nouveau diagramme PERT suivant
4
Cela crée un nouveau chemin critique (1, 2, 5, 3,
6, 8, 9).
45
Exemple (suite)
Pour chaque opération non critique, la diminution
du coût sera égale à cij (t'ij - tij).
On obtient alors pour les opérations non
critiques indiquées, la diminution de coût
suivante
Cela donne une diminution totale de 39, 400 et
le coût total sétablit maintenant à 214, 000
39,400 174, 600.
diminution de 18.6 env.
46
Il ne faut pas croire que lon soit parvenu pour
une date de fin des travaux égale à 31 à un
programme de coût minimal.
4
12
2
On pourrait tenir compte de la marge totale de
P24.
47
On peut augmenter la durée de P24 de 2 unités
(économie de 4600) et laisser la durée de P45 à
2 unités au lieu de 4. Nous aurions réalisé
une économie supplémentaire de 2,700.
48
2ième approche
Accélération dun programme au moindre coût.
Pour réduire le temps total dexécution dun
programme, il faut réduire la durée dune ou de
plusieurs opérations critiques.
Si nous choisissons lopération critique qui,
pour une même diminution de temps, propose la
plus faible augmentation des coûts, nous dirons
que nous avons accéléré le programme au moindre
coût.
49
Exemple
Les fonctions de coût des opérations sont de la
forme .
c
f
b
a
e
g
h
i
d
Ce diagramme PERT représente un programme normal
admettant un coût total de 350 millions (voir
tableau suivant).
Nous avons aussi un programme accéléré dans ce
tableau.
50
durées(mois) et coûts de chaque opération
durées(mois) et coûts de chaque opération
Coût total 350 x 106 523 x 106
51
Il nest pas nécessaire daugmenter la durée des
opérations critiques on dépenserait alors de
largent inutilement.
Attaquons-nous aux opérations critiques a, b, f
et i.
Puisque le coût daccélération par mois est
a 5 millions b 19 millions f 13 millions i
3 millions,
pour accélérer le programme au moindre coût, il
sagit de réduire le temps opératoire de 1 mois
sur i ce qui va coûter le moins cher.
52
Le diagramme PERT devient
c
f
b
35
35
a
2
e
g
h
i
d
En gagnant 1 mois sur i, nous navons pas créé de
nouveaux chemins critiques car, autrement, il
aurait fallu tenir compte des nouvelles
opérations critiques.
53
Essayons de gagner un autre mois.
On ne peut le faire sur i puisquelle a déjà
atteint sa durée accélérée.
Parmi les autres opérations critiques (a, b et
f), a coûte le moins cher à accélérer et
puisquon peut laccélérer, gagnons un autre mois
sur lopération a.
9
9
c
f
b
34
34
3
a
2
3
3
e
g
h
i
32
32
d
19
22
54
Essayons de gagner un autre mois sur la tâche a,
ce qui est possible.
8
8
c
f
b
33
33
2
a
2
2
2
e
g
h
i
31
31
d
18
21
Il nest maintenant plus possible daccélérer la
tâche i ou la tâche a.
Entre b et f, il faut choisir f.
55
On peut gagner 3 autres mois sans difficulté.
8
8
c
f
b
30
30
20
2
a
2
2
2
e
g
i
h
28
28
10
d
18
18
ce qui fait apparaître un nouveau chemin critique.
56
Pour réduire la durée totale dexécution, 3
possibilités soffrent à nous
gagner 1 mois sur b coût de 19 millions,
gagner 1 mois sur f coût de 13 millions, et 1
mois sur e coût de 5 millions, doù un coût de
18.
gagner 1 mois sur f coût de 13 millions, et 1
mois sur h coût de 7 millions, doù un coût de
20.
On choisit donc la 2ième option.
57
8
8
c
f
b
29
29
19
2
a
2
2
2
9
e
g
i
h
27
27
10
d
17
17
On ne peut plus accélérer la tâche e. Il nous
reste 2 alternatives
gagner 1 mois sur b coût de 19 millions,
gagner 1 mois sur f coût de 13 millions, et 1
mois sur h coût de 7 millions, doù un coût de
20.
58
Gagnons un mois sur b.
7
7
c
f
b
28
28
19
5
2
a
2
2
2
9
e
g
i
h
26
26
10
d
16
16
Finalement, il nous reste une possibilité
gagner 1 mois sur f coût de 13 millions, et 1
mois sur h coût de 7 millions, doù un coût de
20.
59
7
7
c
f
b
27
27
18
5
2
a
2
2
2
9
e
g
i
h
25
25
9
d
16
16
Il nest maintenant plus possible daccélérer la
date des travaux dans cet exemple.
60
En résumé,
Durée du programme (mois) Coût (millions )
a b c d e f g h i
36 350 4 6 4 12 10 23 7 10 3
35 353 4 6 4 12 10 23 7 10 2
34 358 3 6 4 12 10 23 7 10 2
33 363 2 6 4 12 10 23 7 10 2
32 376 2 6 4 12 10 22 7 10 2
31 389 2 6 4 12 10 21 7 10 2
30 402 2 6 4 12 10 20 7 10 2
29 420 2 6 4 12 9 19 7 10 2
28 439 2 5 4 12 9 19 7 10 2
27 459 2 5 4 12 9 18 7 9 2
Durée des opérations (mois)
Cest au gestionnaire de choisir lalternative la
plus appropriée.
61
Généralisations possibles du problème
La fonction de coût avait jusquà maintenant la
forme suivante
cij

tij
dij
Dij
cij
cij
Voici des alternatives où le problème
devient plus difficile
tij
tij
dij
dij
t
Dij
Dij
62
Généralisation au programme à coût minimal si les
coûts sont des fonctions quelconques des durées
Posons
cij(tij) ? le coût en fonction de la durée de la
tâche Pij, dij ? la durée accélérée de la tâche
Pij, Dij ? la durée normale de la tâche Pij, dn
et Dn ? les durées accélérée et normale
dexécution, tij ? la durée de la tâche Pij, t ?
la durée totale dexécution, U ? lensemble des
arcs du programme,
on cherche à minimiser le coût total de ce
programme.
? cij(tij)
MIN
(i,j) ? U

• tij t ? chemin ? allant du sommet 1 au sommet
  n.
• (i,j) ? ?

Sujet à
dij tij Dij
? tâche Pij
dn t Dn