Determinazione dei Prezzi Forward e dei Prezzi Futures

1
Determinazione dei Prezzi Forward e dei Prezzi
Futures
3.1

• Capitolo 3

2
Capitalizzazione degli Interessi
3.2

• La frequenza con cui viene composto un tasso
  dinteresse è lunità di misura
• La differenza tra un tasso composto
  trimestralmente e un tasso composto annualmente è
  analoga alla differenza tra miglia e chilometri

3
Capitalizzazione Continua
3.3

• Se si capitalizzano gli interessi sempre più
  frequentemente, si ottiene al limite un tasso
  dinteresse composto continuamente
• 100 investiti per un periodo T al tasso
  com-posto continuamente R diventano 100eRT
• Se il tasso di attualizzazione, composto
  continuamente, è R, il valore attuale, al tempo
  zero, di 100 che verranno incassati al tempo T è
  pari a 100e-RT

4
Formule di Conversione
3.4

• Si supponga che Rc sia un tasso dinteresse
  composto continuamente e che Rm sia il tasso
  equivalente composto m volte lanno
• Le formule che legano tra loro Rc e Rm sono

• e

5
Vendita allo Scoperto
3.5

• La vendita allo scoperto consiste nel vendere
  titoli che non si possiedono
• I titoli sono presi in prestito attraverso un
  broker e vengono venduti nel modo consueto

6
Vendita allo Scoperto (continua)
3.6

• Chi vende allo scoperto
• dovrà prima o poi ricomprare i titoli per
  restituirli al broker da cui li ha presi in
  prestito
• deve pagare i dividendi e gli altri eventuali
  proventi al legittimo proprietario dei titoli

7
Tasso di Riporto
3.7

• Il tasso di riporto è il tasso dinteresse
  rilevante per molti arbitraggisti
• i contratti di riporto (repos o repurchase
  agreements) sono accordi con i quali una
  istitu-zione finanziaria vende titoli a pronti ad
  unaltra istituzione finanziaria e li riacquista
  a termine ad un prezzo che in genere è lievemente
  più alto
• la differenza tra il prezzo di riacquisto a
  termine e il prezzo di vendita a pronti è
  linteresse percepito dalla controparte

8
LEsempio dellOro
3.8

• Se i costi di immagazzinamento delloro sono
  nulli,
• F S(1 r)T
• dove F è il prezzo forward, S è il prezzo spot ed
  r è il tasso dinteresse a T anni composto
  annualmente
• Se r è composto continuamente
• F SerT

9
Beni dInvestimentoche non Offrono Redditi
3.9

• Per i beni dinvestimento che non offrono redditi
  e non comportano costi dimmagazzinamento, la
  relazione tra i prezzi forward e i prezzi spot è
• F SerT
  (3.5) p. 53

10
Beni dInvestimentoche Offrono Redditi Noti
3.10

• Per i beni dinvestimento che offronoredditi
  noti e non comportano costi dimmagazzinamento,
  la relazione tra i prezzi forward e i prezzi spot
  è
• F (S - I)erT
  (3.6) p. 56
• dove I è il valore attuale del reddito

11
Beni dInvestimentoche Offrono Dividend Yields
Noti
3.11

• Per i beni dinvestimento che offronodividend
  yields noti e non comportano costi
  dimmagazzinamento, la relazione tra i prezzi
  forward e i prezzi spot è
• F Se(r - q)T
  (3.7) p. 57
• dove q è il dividend yield
• Si assume che il bene dinvestimento offra un
  reddito pari a qS?t nel periodo ?t

12
Valore di un Contratto Forward
3.12

• Il valore di un contratto forward lungo, f, è
• f ? ?F ? K?e?rT
  (3.8) p. 58
• dove F è il prezzo forward che si appliche-rebbe
  ora al contratto e K è il prezzo di consegna
• Analogamente, il valore di un contratto forward
  corto è
• ? f ? ?K ? F?e?rT

13
Prezzi Futures e Prezzi Forward
3.13

• Di solito, si assume che i prezzi forward e i
  prezzi futures siano uguali
• Tuttavia, i prezzi sono leggermente diversi
  quando i tassi dinteresse sono incerti
• se cè una forte correlazione positiva tra i
  tassi dinteresse e lattività sottostante, il
  prezzo futures è un po più alto del prezzo
  forward
• se cè una forte correlazione negativa tra i
  tassi dinteresse e lattività sottostante, il
  prezzo forward è un po più alto del prezzo
  futures

14
Indici Azionari
3.14

• Gli indici azionari possono essere conside-rati
  alla stregua di beni dinvestimento che offrono
  un dividend yield continuo
• Pertanto, la relazione tra il prezzo futures e il
  prezzo spot di un indice azionario è
• F Se(r - q)T
  (3.12) p. 62
• dove q è il dividend yield del portafoglio che è
  alla base dellindice

15
Indici Azionari (continua)
3.15

• Affinché la formula sia valida è importante che
  lindice rappresenti un bene dinvestimento
• In altri termini, le variazioni dellindice
  devono corrispondere alle variazioni di valore di
  un portafoglio negoziabile
• Lindice Nikkei () visto come unattività in
  dollari () non rappresenta un bene dinvestimento

16
Arbitraggi su Indici
3.16

• Se F ? Se?r ? q?T larbitraggio comporta
• lacquisto delle azioni sottostanti lindice
• la vendita del futures
• Se F lt Se?r ? q?T larbitraggio comporta
• la vendita delle azioni sottostanti lindice
• lacquisto del futures

17
Arbitraggi su Indici (continua)
3.17

• Gli arbitraggi su indici comportano negozia-zioni
  simultanee su futures e su azioni
• Molto spesso è il computer che suggerisce le
  operazioni da effettuare (computer trading)
• A volte (ad esempio in occasione del Lunedì
  Nero) le negoziazioni simultanee non sono
  possibili e la relazione teorica di assenza di
  opportunità di arbitraggio tra F e S può non
  valere

18
Futures su Valute
3.18

• Le valute estere sono simili a titoli che offrono
  un dividend yield continuo
• Il dividend yield continuo è dato dal tasso
  dinteresse estero privo di rischio
• Ne segue che
• F ? Se?r ? rf?T
  (3.13) p. 64
• dove rf è il tasso dinteresse estero privo di
  rischio

19
Futures su Beni di Consumo
3.19

• Per i futures su beni di consumo si ha
• F ? (S ? U?erT
  (3.19) p. 68
• dove U è il valore attuale dei costi di
  immagazzinamento dellattività sottostante
• In alternativa,
• F ? Se(r ? u?T
  (3.20) p. 68
• dove u è il costo di immagazzinamento per unità
  di tempo espresso in proporzione al valore
  dellattività sottostante

20
Costo di Trasferimentoe Tasso di Convenienza
3.20

• Per i beni dinvestimento si ha
• F ? SecT
  (3.22) p. 69
• dove c è il costo di trasferimento (costo di
  immagazzinamento più le spese per interessi meno
  il reddito percepito)
• Per i beni di consumo si ha
• F ? Se?c ? y?T
  (3.23) p. 70
• dove y è il tasso di convenienza

21
Prezzi Futures e Aspettativedei Futuri Prezzi
Spot
3.21

• Si supponga che il tasso di rendimento atteso
  dagli investitori su una certa attività sia k
• Si può investire limporto Fe?rT in titoli privi
  di rischio e assumere una posizione lunga su un
  futures per scadenza T, in modo da avere ST alla
  scadenza del contratto futures
• Pertanto Fe?rT ? E?ST?e?kT da cui
• F ? E?ST?e?r ? k?T (3.24) p. 71

22
Prezzi Futures e Aspettativedei Futuri Prezzi
Spot (continua)
3.22

• Se lattività
• non ha rischio sistematico, si ha
• k ? r e F ? E(ST?
• ha rischio sistematico positivo, si ha
• k ? r e F ? E(ST?
• ha rischio sistematico negativo, si ha
• k ? r e F ? E(ST?