Protocolo Aloha

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Protocolo Aloha
2
Protocolo Aloha

• Arquitetura física

• Uma estação transmite quando precisa, sem se
  preocupar em escutar o canal.

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Protocolo Aloha

• Técnica mais simples que utiliza a estratégia de
  acesso a um meio comum, que pode ser acessado
  por todos os usuários.
• Existem dois tipos de protocolo Aloha
• Aloha Puro
• Aloha Segmentado

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Protocolo Aloha puro

• Duas ou mais estações podem transmitir ao mesmo
  tempo. Esta situação dá origem a colisões, que
  devem ser detectadas e logo resolvidas.

Est. 1
Est. 2
Est. 3
Tempo
5
Modelo Aloha puro

• Modelo do canal

CANAL
Est. 1

. . .
Est. N

6
Modelo Aloha puro

• Hipóteses
• Comprimento fixo dos pacotes T
• Canal livre de ruído (perda de pacotes somente
  por colisões)
• Estações têm comportamento homogêneo
• Uma estação transmite pacotes com sucesso antes
  da chegada do seguinte
  
  
• Chegada de pacotes em cada estação obedece a um
  proceso de Poisson ? taxa de chegadas ao meio
  comum tem distribuição de Poisson

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Taxa efetiva de transmissão
CANAL
Est. 1

. . .
Est. N

• ??? taxa média de transmissão de novos pacotes
  ao canal, em cada estação (pac/seg)
• ? taxa média de transmissão ao canal de
  pacotes novos mais os retransmitidos (devido a
  colisões), em cada estação (pac/seg)

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Taxa efetiva de transmissão
CANAL G
Est. 1

. . .
S
Est. N

• ? tamanho fixo de um pacote (seg)
• S N ? T utilização proporcional do canal por
  pacotes efetivamente transmitidos (novos)
• G N ? T utilização proporcional do canal
  pelo total de pacotes transmitidos (novos mais
  colisões)

9
Taxa efetiva de transmissão

• Logo, tem-se que (1)

P0 probabilidade de transmissão com sucesso de
pacotes pelo canal (sem colisões)

• Taxa total de transmissão de pacotes tem
  distribuição de Poisson com parâmetro N?

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Taxa efetiva de transmissão

• Colisão entre duas mensagens

Canal
0
Tempo
2T
Tempo de vulnerabilidade

• A probabilidade de que não ocorram colisões
  nesse intervalo 0,2T é a probabilidade de que
  não sejam transmitidos pacotes neste intervalo.
  Logo, de (2) obtem-se

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Taxa efetiva de transmissão

• Das equações (1) e (3) obtém-se a capacidade do
  canal (S) em função da taxa de transmissão total
  de pacotes (G)

• Rendimento máximo ocorre para G0.5, com
  S0.184

Max (S) 18
12
Taxa efetiva de transmissão

• Gráfico de S(G)

0,184

• Observações
• Para cargas baixas de pacotes acontecem poucas
  colisões, portanto S G
• À medida em que G aumenta e, portanto, S
  aproxima-se de 0.18, o número de colisões aumenta.

13
Taxa efetiva de transmissão

• Gráfico de S(G)

0,184

• Observações
• Ao aumentar o número de colisões, aumenta o
  número de retransmissões e, por conseguinte,
  aumenta a probabilidade de que ocorra uma
  colisão.
• Então, S decai e o sistema torna-se instável
  para altos valores de G.

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Protocolo Aloha segmentado

• A estação espera que comece um intervalo de
  tempo para transmitir um pacote
• O sistema passa de contínuo a discreto

Est. 1
Est. 2
Est. 3
Tempo

• Neste caso, ocorre colisão total ou não ocorre.

• É necessário haver sincronismo geral.

15
Taxa efetiva de transmissão

• Tempo de vulnerabilidade cai à metade

T

• Após a mesma análise que foi feita com Aloha
  puro, obtém-se o seguinte resultado para Aloha
  segmentado

16
Taxa efetiva de transmissão

• Gráfico de S(G)

0,368

• Rendimento máximo ocorre para G1, com S0.368

Max (S) 37
17
Aloha puro
Comparação
Est. 1
Est. 2
Est. 3
Tempo

• Aloha segmentado

Est. 1
Est. 2
Est. 3
Tempo
18
Resumo de resultados
Comparação
Taxa efetiva S(G)
Máximo rend. S
Puro
18 (G 0,5)
Segmentado
37 (G 1)
19
Comparação de gráficos
Comparação
20
Distribuições contínuas

21
Variáveis aleatórias contínuas

• Variáveis aleatórias contínuas a v.a. assume
  valores em um contínuo de valores possíveis, seu
  domínio não é um conjunto enumerável.
• X é uma variável aleatória contínua se existe uma
  função f (-?,?) ? ? tal que ?B ? ?
• PX?B
• f(.) é a função de densidade de probabilidade da
  v.a. X

22
Variáveis aleatórias contínuas

• PX?(-?,?)
• PX?a,b
• PX a
• Probabilidade de uma v.a. contínua assumir
  determinado valor é nula

23
Variáveis aleatórias contínuas

• Função de distribuição acumulada
• F(a) PX ? a

24
Variáveis aleatórias contínuas

• Seja X uma v.a. contínua. Então, seu valor
  esperado é dado por

25
Distribuição uniforme

• Uniforme u(0,1)

26
Distribuição uniforme

• Uniforme u(?,?)

27
Distribuição uniforme

• Função de distribuição

28

Distribuição uniforme

• Valor esperado
• EX
• Portanto, EX

29
Distribuição uniformeParâmetros
EX
(ba)/2
(b-a)2/12
VarX
30
Distribuição uniforme

• Discos de um dispositivo de memória rodam uma vez
  a cada 25 ms. Quando a cabeça de leitura/escrita
  está posicionada sobre uma trilha para ler algum
  registro em particular dessa trilha, este pode
  estar em qualquer lugar. Então, o retardo
  rotacional T até que o registro fique na posição
  para ser lido é uniformemente distribuído no
  intervalo 0 a 25 ms.
• (a) ET ?
• (b) VarT ?
• (c) probabilidade do retardo rotacional ficar
  entre 5 e 15 ms?

31
Distribuição uniforme

• (a)
• (b)
• (c)

32
Distribuição exponencial

• X ??Exp (?)
• X ???????)

33
Distribuição exponencial
9
? 8
8
7
6
5
4
3
2
1
x
2?x 0.25
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.125 Ex
34
Distribuição exponencial
6
6
??
5
4
2
??
3
4
??
2
1
x
0
0.5
1.5
2.0
1.0
35
Distribuição exponencial
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
?? 8
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
2?x 0.25
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.125 Ex
36
Distribuição exponencial
37

Distribuição exponencial

• Valor esperado
• EX
• Para integrar por partes, define-se
• u x du dx
• v dv
• Logo
• EX
  
• Portanto, EX

38
Distruibuição exponencial
39
Exemplo 1
X

• X v.a. tamanho de um pacote
• X Exp (1/L)
• L Valor médio do tamanho do pacote
• L bits/pacote

40
Exemplo 2
X
Canal de transmissão C (bps)

• X tamanho do pacote
• Y v.a. tempo de transmissão de cada pacote
• Y Exp (C/X)
• X/C valor médio do tempo de transmissão de um
  pacote (seg/pacote)

41
Exemplo 3Tempo entre chegadas
chegada de pacotes
Nó
t
??
??
t0
t1
t2
tn

• ?i t i -t i-1 tempo entre chegadas
• ?i Exp (?)
• ?i são independentes
• 1/? valor médio do tempo entre pacotes
  (seg/pacote)

42
Falta de memória
?
?
?
?
P
X
s
t
X
t
P
X
s
?
?
?
?
?


s
t
?
?
,
0
f
(x)
??
8
?
?
P
X
s
?
?
?
P
X
s
t
X
t
?
?
?


x ut
0
s
t
st
ut ? unidades de tempo
43
Falta de memória

• X Exp (?) probabilidade de falha de uma rede
• PX gt s probabilidade de que a rede não falhe
  durante s unidades de tempo
• PX gt s t X gt t probabilidade de que a rede
  não falhe durante st unidades de tempo, dado que
  funcionou durante t unidades de tempo
• Como o sistema não tem memória
• PX gt s t X gt t PX gt s

44
Ordem entre eventos exponenciais

• X1 Exp (?1)
• X2 Exp (?2)
• Problema ?
• Solução

45
Generalização

• Xi Exp(?i), i1,,n

• Problema

?

• Solução

46
Exemplo

• Sistema de servidor de impressão formado por duas
  partes principais servidor e impressora
• Sejam
• Xs Exp(?s) vida útil servidor
• Xi Exp(?i) vida útil impressora
• EXs 10.000 hrs
• EXi 3.000 hrs
• Problema Qual é a probabilidade do sistema
  falhar devido a uma falha no servidor?

47
Exemplo

• Problema
• Qual é a probabilidade do sistema falhar devido
  a uma falha no servidor?
• Solução

?
1
10000
?

1
1
?
10000
3000
3
?

13
48
Distribuição de Erlang

• X ??Erl (k,?)
• X ???????
• Função de densidade de probabilidade
• Função de distribuição

(1)
(2)
49
Distribuição de Erlang
0.8
0.7
0.6
k 2 ? 2
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
x
0
2
3
4
5
Ex1
50
Distribuição de Erlang
51
Distribuição de Erlang (k,?) Parâmetros
52
Relação entre Exponencial e Erlang
servidor ?

• Servidor com somente uma entrada e uma saída
• Todos os pacotes devem ser atendidos
• Servidor atende somente um pacote de cada vez
• Existe retardo somente no servidor
• X v.a. tempo de serviço
• X Exp(?) f(x) ??e-?x, x ??0
• Ex 1/? ?x2 1/?2

53
Relação entre Exponencial e Erlang

• Servidor com duas etapas em série
• Cada pacote deve passar por ambas etapas
• Servidor atende um pacote de cada vez (ambas
  etapas não podem estar ativas simultaneamente)
• não há retardo entre etapas
• Xi v.a. tempo de serviço da etapa i
• Xi Exp(2?) f(xi ) 2??e -2?, x ??0
• EXi 1/(2?? ?xi2 1/(2??2

54
Relação entre Exponencial e Erlang

• Problema qual é a distribuição do tempo total de
  serviço (retardo total)?
• Solução soma de duas variáveis aleatórias
  independentes e idênticamente distribuídas com
  distribuição exponencial
• X v.a. tempo de serviço total
• Seja f(x) a transformada de Laplace de f(x)
  Então f(x) f(x1) f(x2)
• f(x) ???xe-??x, x ????
• EX EX1 EX2 1/?
• ?x2 ?x12 ?x22 1/(2?2)

55
Relação entre Exponencial e Erlang

• Servidor de k etapas em série
• Cada pacote deve passar pelas k etapas
• Um novo pacote pode entrar na etapa i apenas
  quando o pacote em serviço acabar a etapa k
• não há retardo entre etapas
• Xi v.a. tempo de serviço da etapa i
• Xi Exp(k?) f(xi ) k ? e -k?x, x ??0
• Exi 1/(k?? ?xi2 1/(k???2

56
Relação entre Exponencial e Erlang

• Problema qual é a distribuição do tempo total de
  serviço (retardo total)?
• Solução é a soma de k variáveis aleatórias
  independentes e idênticamente distribuídas.
• X v.a. tempo de serviço total

EX ??EXi k (1/(k?)) 1/? ?X2 ? ?Xi2
k (1/(k?))2 1/(k?2) f(x) ??f(xi)
57
Relação entre Exponencial e Erlang

• x atraso total (em unidades de tempo) de um
  pacote ao atravessar k etapas, cada uma das
  quais introduz um retardo y
• Y Exp(?)
• X Erl(k,?), ???/k
• EX k EY
• ?x2???k?y2
• ?x????????y

58
Relação entre Exponencial e Erlang
Função de densidade para ? . k 2 ? x Erl
(k , ?) y Exp (?)
59
Função de densidade para ?? 1
1.4
1.2
k 10
1
k 1
0.8
k 2
0.6
k ?
0.4
0.2
0
x
0
1
2
3
4
5
Fazendo df(x)/dx 0 obtém-se
60
Exemplo

• Problema obter o tempo médio ET que demora um
  nó para transmitir n pacotes de um buffer, se o
  tempo de transmissão de um pacote é Exp(?) com
  média 1/?.

Nó
Buffer
Canal de transmissão
61
Exemplo

• Solução
• S Exp(?) v.a. tempo de serviço por elemento
• T v.a. tempo de serviço de n elementos
• Como o tempo de serviço por elemento distribui-se
  exponencialmente, então o tempo de transmissão de
  n elementos tem distribuição de Erlang.
• Logo
• T Erl(n,??n)
• ET n/?

62
Exemplo
n1024 pacotes ?100 pacotes/seg
63
Variáveis aleatórias conjuntas e probabilidade
condicional

64
Variáveis aleatórias conjuntas

• Cálculos de probabilidades envolvendo duas ou
  mais variáveis simultaneamente
• Função de distribuição de probabilidade acumulada
  de X e Y
• F(a,b) PX ? a,Y ? b -? lt a,b lt ?
• FX(a) PX ? a PX ? a,Y ? ? F(a,?)

65
Variáveis aleatórias conjuntas

• X e Y variáveis aleatórias discretas
• Função de massa de probabilidade conjunta
• p(x,y) PX x, Y y
• pX(x)

66
Variáveis aleatórias conjuntas

• X e Y são variáveis aleatórias contínuas
  conjuntas se existe uma função real f (x,y)
  definida para qualquer reais x e y tal que para
  quaisquer conjuntos A,B ? ?
• PX?A, Y?B
• f(x,y) é a função de densidade de probabilidade
  conjunta de X e Y

67
Variáveis aleatórias conjuntas

• PX?A, Y?B PX?A, Y?(-?,?)
• onde

68
Variáveis aleatórias independentes

• X e Y são variáveis aleatórias independentes se
  para qualquer a e b tem-se
• PX ? a,Y ? b PX ? a.PY ? b
• F(a,b) FX(a).FY(b)
• X discreta p(x,y) pX(x).pY(y)
• X contínua f(x,y) fX(x).fY(y)

69
Funções geradoras de momentos

• X variável aleatória discreta
• X variável aleatória contínua

70
Funções geradoras de momentos

71
Probabilidade condicional

• Cálculo de probabilidades quando há informações
  parciais

72
Probabilidade condicional

• PEF
• Caso discreto função de massa de probabilidade
  condicional
• pXY(xy) PXxYy
  
• Se X é independente de Y, então
• pxy(xy) px(x)

73
Probabilidade condicional

• Função de distribuição de probabilidade
  condicional de X dado que Y y
• Valor esperado condicional de X dado que Yy

74
Probabilidade condicional

• X e Y v.a.s independentes

75

Exemplo 1

• X e Y v.a.s independentes com distribuição de
  Poisson de parâmetros ?1 e ?2 respectivamente.
• Calcular
• PXk X Y n ?
• EX X Y n ?
• PX k X Y n

76

Exemplo 1

• Como XY tem distribuição de Poisson de
  parâmetro ?1?2
• PX k X Y n

77

Exemplo 1

• Interpretação
• PX k X Y n é uma v.a. Bi(n, ),
• logo
• EX X Y n n

78

Exemplo 2

• Sejam n m experimentos independentes, cada um
  sendo do tipo Be(p). Avaliar o número esperado de
  sucessos nos n primeiros experimentos, dado que
  nocorreram k sucessos no total.
• Sejam as seguintes v.a.s
• se houve sucesso no i-ésimo exp.
• caso contrário
• Y número de sucessos nos (nm) experimentos.

79

Exemplo 2

• Problema
• pois

80
Probabilidade condicional

• Caso contínuo se X e Y têm uma função de
  densidade de probabilidade conjunta f(x,y), então
  a função de densidade de probabilidade
  condicional de X dado que Y y é dada por
• Valor esperado condicional de X dado que Yy

81

Exemplo

• Sejam X e Y v.a.s tais que
• Problema

82
Probabilidade condicional

• Caso discreto
• EX EX Y y PY
  y
• Caso contínuo
• EX EX Y y fY(y)dy
• Em geral
• EX EEXY

83

Probabilidade condicional

• Prova do caso discreto
• 
  

84

Exemplo

• Sejam N uma v.a. Ge(p) e Y a seguinte v.a.
• , primeiro é cara (probabilidade
  p)
• , primeiro é coroa
  (probabilidade 1-p)
• EN número médio de experimentos realizados
  até obter-se a primeira cara ?
• Solução condicionando no resultado do primeiro
• experimento
• ENENY1.PY1 ENY0.PY0
  
• p.ENY1. (1-p).ENY0
• EN p.1 (1-p).(1 EN)
• EN 1/p