N

1
Números anòmals
2
atzar equiprobabilitat ?
Quan parlem de jocs datzar el model
probabilístic que fem servir és luniforme, tots
els resultats són igualment probables. En això
confia la gent a lhora de jugar. Però si en lloc
dextraure els números els deixem manifestar-se
de manera espontània podem trobar-nos amb alguna
curiositat.
3
Simon Newcomb (1835-1909)
A Simon Newcomb, astrònom canadenc recriat a
Europa i als EE.UU., li semblava curiós que les
primeres fulles de les taules de logaritmes
estigueren molt més gastades que les altres. Al
1881 va publicar un breu article Note on the
frequency of use of the different digits in
natural numbers, Amer. J. Math. 4, 39-40.
4
Simon Newcomb (2)
Al seu breu article Newcomb, va deduir duna
manera enginyosa una llei de probabilitat
empírica per a la ocurrència del primer dígit
significatiu, la probabilitat docurrència dels
números és tal que les mantisses dels seus
logaritmes són equiprobables la qual cosa cal
interpretar com que la distribució de les
mantisses és uniforme en 0,1
5
Simon Newcomb (3)
6
Frank Benford (1883-1948)
El treball de Newcomb va passar desapercebut fins
que 57 anys més tard (en 1938), Frank Benford, un
físic que treballava en la General Electric, va
publicar The law of anomalous numbers, Proc.
Amer. Phil. Soc., 78, 551-572 un estudi més
rigorós del fenomen en el que estudiava la
distribució no sols del primer dígit, però també
la dels següents. El més curiós del cas és que no
citava a Newcomb, segurament perquè el treball de
Newcomb li era totalment desconegut.
7
La llei de Benford o del primer dígit
Si la variable aleatòria X representa el valor
del primer dígit significatiu (distint de 0) que
trobarem en un número escollit a latzar enter un
conjunt de dades reals, la seua distribució de
probabilitat, coneguda com llei de Benford, és de
la forma
que concideix amb el que havia conjecturat
Newcomb.
8
dades reals i llei de Benford
Comencem per aclarir que vol dir allò de dades
reals. Doncs aquelles que sorgeixen de manera
espontània en la vida real. Per fer-sen una idea
peguem-li una ullada a les dades que va emprar
Benford al seu article per tal de comprovar
empíricament la llei.
9
Comprovació empírica de la llei de Benford
Però, qualssevol dades reals? La resposta és
tant més afirmativa quan més gran i variat siga
el conjunt de dades. Provem-ho.

1. Informació de borsa del diari Levante-EMV,
   diumenge 5 de novembre de 2005
2. Anuari socio-econòmic 2005 de La Caixa

10
Per què aquesta llei?
La llei de Benford és, si més no, curiosa i una
mica estranya o si voleu inesperada. En el seu
article The First Digit Phenomenon American
Scientist, 86, 358-363 (1998) T. P. Hill
reflexiona sobre la qüestió de per què existeix
una llei com aquesta i les dificultats per a
donar-li un sentit matemàtic. Pot ser que una
part de lexplicació siga que és lúnica llei
sobre el dígits que és invariant front a un canvi
descala.
11
Aplicacions de la llei de Benford
Index Increment Anys Canvi escala 1er dígit
1000        
2000 1,0000 5,0000 0,3010 1
3000 0,5000 2,5000 0,1505 2
4000 0,3333 1,6667 0,1003 3
5000 0,2500 1,2500 0,0753 4
6000 0,2000 1,0000 0,0602 5
7000 0,1667 0,8333 0,0502 6
8000 0,1429 0,7143 0,0430 7
9000 0,1250 0,6250 0,0376 8
10000 0,1111 0,5556 0,0334 9
La llei no és solament una curiositat matemàtica,
Mark Nigrini, un professor de comptabilitat de la
Southern Methodist University en Dallas, que va
fer la seua tesi doctoral sobre les aplicacions
de la llei de Benford, explica i illustra la
llei mitjançant un senzill i curiós exemple basat
en l'índex Dow Jones.
Número Benford Correcte Frau Escrit_atzar
1 0,301 0,305 0,000 0,147
2 0,176 0,178 0,019 0,100
3 0,125 0,126 0,000 0,104
4 0,097 0,096 0,097 0,133
5 0,079 0,078 0,612 0,097
6 0,067 0,066 0,233 0,157
7 0,058 0,056 0,010 0,120
8 0,051 0,050 0,029 0,084
9 0,046 0,045 0,000 0,058
Laportació més interessant de Negrini és la
aplicació de la llei per a detectar frau en les
comptabilitats i impostos. Partint de la
hipòtesis (que ell va comprovar) de que les
comptabilitats correctes segueixen molt a prop la
llei, una comptabilitat arreglada pot detectar-se
en veure que sallunya molt de la llei.
12
Un parell dadreces dInternet
http//www.nigrini.com/Benford's_law.htm
http//www.aicpa.org/pubs/jofa/may1999/nigrini.htm
13
FIN