De Pit

1
De Pitàgores a FermatUn viatge a través de
l'Aritmètica

• Xavier Xarles

2
Pitàgores (569 aC -475 aC)
3
El teorema de Pitàgores
A2 B2 C2
52 122 132
32 42 52
62 82 102
4
Per què sempre posen els mateixos exemples?
Doncs perquè són els exemples de triangles
rectangles amb nombres més petits en què els
tres costats són nombres naturals.
Pels matemàtics grecs els únics nombres eren els
nombres naturals i, més en general, els nombres
racionals positius.
5
Diofant ( 200 dC )
Aritmètica
Primer llibre dedicat exclusivament a
laritmètica.
6
El problema
Trobar tots el triangles rectangles amb els tres
costats enters
Trobar les solucions de X2 Y2 Z2
amb X, Y i Z enters
Ternes Pitagòriques.
7
Primera observació
Sols cal trobar les solucions (X,Y,Z) que no
tinguin factors comuns.
Exemple
62 82 102
22 32 22 42 22 52
22(32 42 )22 52
32 42 52
8
En general, si tenim una solució
(X,Y,Z) de lequació X2 Y2 Z2
aleshores (aX,aY,aZ) és també
una solució.
Les solucions sense factors en comú sanomenen
ternes primitives.
9
Ternes pitagòriques primitives
(X,Y,Z)
xX/Z yY/Z
Solucions racionals (x,y) de x2 y2 1
10
Equació x2y2 1
Cercle de radi 1
11
Punts del cercle
punts de la forma (sin(q),cos(q)),
en què q varia entre 0 i 2p
Punts racionals q??????
NO SERVEIX
12
Una altra idea
Escollim un punt amb coordenades racionals.
Per exemple, el
punt (-1,0)
13
Dibuixem una recta que passi per (-1,0) i amb
pendent racional
El punt (a,b) té coordenades racionals si i
només si la recta té pendent racional
14
Equació de la recta pendent t
Y t X s
Volem que passi pel punt (-1,0) Substituïm
(X,Y) per (-1,0)
0 -ts
o sigui
ts
Equació de la recta pendent t que passa per
(-1,0)
Y t X t
15
Punt de tall amb el cercle X2Y2 1
substituïm Y per tXt a l'equació
Equació de segon grau
(1t2)X2 2t2X t2 0
Solucions
X -2t2 2 2(t21) -1
X -2t2 2 2(t21) (1-t2 ) / (1t2)
16
La solució X-1 és la que ja coneixíem.
Les solucions racionals a part daquesta són les
següents
(X,Y) ( (1-t2 ) , 2t )
(X,Y) ( (1t2) , (1t2) )
on t és qualsevol nombre racional
17
Aquest procediment pot ser generalitzat a totes
les còniques (ellipses, paràboles, hipèrboles).
O sigui, equacions de la forma f(x,y) 0 on
f(x,y) és un polinomi amb coeficients racionals
de grau 2.
Exercici Trobeu totes les solucions racionals de
x23y2 1.
18
Solucions enteres Expressem t de la forma t
m/n amb n i m enters primers entre si
(X,Y) ( (n2 - m2 ) , 2nm )
(X,Y) ( (n2 m2) , (n2 m2) )
Obtenim així que
19
Teorema
El conjunt de ternes pitagòriques primitives és
(n2-m2 , 2nm, n2m2)    n i m primers entre si
i , ngtm i n-m senar
Exemple n2, m1 (3,4,5)
Exemple n3, m2 (5,12,13)
Exemple n4, m3 (7,24,25)
20
Aplicació Fórmules
trigonomètriques
Si t tan (q /2)
aleshores
cos(q) (1-t2 )/(1t2 )
i
sin(q) (2t2 )/(1t2 )
21
Claude Gaspar Bachet de Méziriac (1588-1638)
22
Va ser el traductor al llatí de lAritmètica de
Diofant.
Es va dedicar a la matemàtica recreativa, com per
exemple els quadrats màgics.
En un problema es pregunta
Quins nombres són resta dun quadrat menys un cub?
23
Dit duna altra manera
Per a quins nombres enters c lequació Y2-X3 c
té solucions (X,Y) on X i Y són nombres
racionals?
24
Bachet diu si donat c tenim una solució (x,y)
amb y ¹ 0, aleshores
(x,y) ( x4-8cx , -x6-20cx38 c2 )
(x,y) ( 4y2 , 8y3 )
també és solució de la mateixa equació.
25
Com va arribar a aquesta fórmula?
Idea Intentem copiar el que hem fet abans.
Les solucions reals de l'equació y2-x3 c en el
pla formen una corba C.
C no és una cònica!
Tota recta en el pla talla C com a màxim en tres
punts.
26
En efecte
Si y axb és una recta en el pla,
substituïm y per axb en lequació y2-x3 c
Obtenim una equació de tercer grau (axb)2-x3-c
0 que pot tenir com a màxim tres solucions
reals.
27
Si comencem amb un punt racional (x,y) de la
corba C, i prenem una recta qualsevol, podem o bé
no obtenir cap més punt o bé obtenir dos punts de
la corba C que no són necessàriament racionals.
Exemple 52 33 -2 , per tant (3,5) són
solució de Y2 X3 -2
La recta YX2 passa per aquest punt, però no
talla la corba C.
La recta Y3X-4 passa per aquest punt, i els
altres punts de tall són (3 /-
v3, 5 /- 3v3 )
28
(No Transcript)
29
En canvi, si substituïm Y(27/10) X (31/10) en
lequació Y2 X3 -2
obtenim lequació en X -X3(729/100)X2
(837/50)X (1161/100)0
que té solucions X3 (repetida) i X 129/100.
Obtenim així la solució racional (129/100,
383/1000)
30
Don surt aquesta última recta?
És la recta tangent a la corba C en el punt (3,5).
La podeu obtenir utilitzant la derivada (el
pendent de la recta és la derivada en el punt x3
de la funció v x3-2 ).
La fórmula de Bachet és exactament la que sobté
seguint aquest procediment.
31
Recapitulem Per a les equacions de la forma y2
x3 c, tenim una fórmula en què, donada una
solució (x,y) amb y ¹ 0, obtenim una altra
solució (x,y).
De fet, no sempre obtenim solucions diferents
només si x ¹ 0, i si c ¹ 1 i c ¹ -432 .
Les equacions daquest tipus (o, més en general,
del tipus y2 igual a un polinomi de grau 3)
sanomenen CORBES ELLÍPTIQUES
32
Pierre de Fermat (1661-1665)
33
Va escriure al marge de la traducció de Bachet de
lAritmètica de Diofant
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum
in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam
in infinitum ultra quadratum potestatem in duos
ejusdem nominis fas est dividere cujus rei
demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc
marginis exiguitas non caperet.
34
Que amb la notació actual vol dir
Si n és un nombre natural més gran que 2,
l'equació Xn Yn Zn no té cap solució on X, Y
i Z són nombres enters, tots ells diferents de 0.
Tinc una demostració meravellosa d'aquest
resultat, però el marge és massa estret i no m'hi
cap.
35
Quina relació tenen les corbes ellíptiques amb
el problema de Fermat?
En principi cap (a part del cas n3), però
resulta que hi ha una relació molt profunda que
no es va anar descobrint fins fa molt poc.
Us explicaré la història amb fotografies.
36
1955 Taniyama (1927-1958)
37
1986Gerhard Frey (1945)
38
1986 Jean Pierre Serre (1926)
39
1987 Barry Mazur (1937)
40
1989 Ken Ribet (1950)
41
1994 Andrew Wiles (1953)