Repaso para Controles INEL 4505

1
Repaso para ControlesINEL 4505

• preparado por
• Guillermo Ramírez Rivera

2
IMPORTANTE
Creditos e información sobre las transparencias.
Estas presentaciones contienen material
relacionado con el curso INEL 4505 de Control
Básico. Aquí encontrarán material de mis notas
de la clase dada por el Dr. Raúl Torres Muñiz, el
Dr. Gerson Beauchamp Báez e información que se
encuentra en el libro titulado Control Systems
Engineering de Norman S. Nise. No me hago
responsable de los errores que hayan en las
transparencias. Esto es solo un repaso de la
clase. Puede haber errores en las transparencias.
Espero que estas transparencias sean de
provecho para todos los que lo vean. atentamente
, Guillermo Ramírez Rivera
3
Temas
4
(No Transcript)
5
Problema de ecuaciones diferenciales
6

• Objetivos de análisis y diseño
• estabilidad
• respuesta transitoria
• error en estado estacionario igual a cero o bien
  pequeño

• Un procedimiento de diseño
• Transformar los requerimientos de desempeño a un
  sistema físico
• Dibujar diagrama de bloques funcional
• Dibujar un diagrama esquemático
• Desarrollar un modelo matemático
• Simular, analizar el sistema y simular su
  respuesta
• Establecer los objetivos de control
• Diseñar el controlador que cumpla con los
  objetivos de control
• Simular el desempeño de sistema de control de
  lazo cerrado
• Evaluar desempeño, si es satisfactorio,
  implantar, si no lo es, volver a diseñar (paso 6)

7
Capítulo 2
Un conjunto de ecuaciones diferenciales que
describe el sistema para todo tiempo no
necesariamente tiene que ser lineal
Cuando aparece una ecuación no lineal, la
linearizamos
Cuando las ecuaciones diferenciales son lineales
e invariantes en el tiempo (estacionarias),
entonces se puede usar la transformada de Laplace
para transformar las ecuaciones diferenciales a
funciones racionales y algebraicas.
y mx b
8
Ecuaciones diferenciales son el fundamento de los
modelos matemáticos
Vamos a crear el modelo fundamental que describe
el comportamiento dinámico del circuito.
Tenemos dos variables desconocidas y una sola
ecuación
Nombre y Apellido
Falta otra ecuación
Ecuación diferencial lineal de primer orden con
coeficientes constantes
Sistema lineal satisface el principio de
superposición
Para este modelo utilizamos una fuente AC
senosoidal en estado estacionario. Ecuaciones
diferenciales acopladas. Para ecuaciones que no
posean transformada de Laplace seguimos usando la
ecuación.
Ahora podemos expresar en términos de vc(t)
9
Ecuaciones diferenciales acopladas (continuación
del circuito anterior)
Una parte de la ecuación resuelve parte de la
otra ecuación y siguientemente otra parte de ese
segundo resuelve una parte del primer circuito.
Podemos escribir las ecuaciones que describen su
comportamiento dinámico utilizando las leyes de
Kirchoff.
Las únicas condiciones que hacen falta para que
haya función de tranferencia son que sea lineal y
estacionario. (sus parámetros no cambian función
del tiempo)
2
1
10
Modelos para redes eléctricas
Ésta ecuación es útil si deseamos hallar vc(t),
es mejor utilizar la ecuación en términos de
vc(t).
11
Sigue el análisis de la página anterior
Función de transferencia
Aplicando la Transformada de Laplace con
condiciones iniciales igual a cero
Polos Complejos
Polos Reales
Polos Reales Repetidos
12
Modelo de frecuencia
Ejemplo
Buscamos impedancia total equivalente
Realizamos un divisor de voltaje en el inductor
La función de transferencia que resulta es
13
Modelo para capacitancias
Modelo para inductancias
vc(s)
IL(s)
iL(s)
cvc(0-)
vc(s)
VL(s)

14
Ejemplos de circuitos eléctricos
Usando Laplace
Ecuaciones en el dominio del tiempo
15
Ejemplo de circuitos eléctricos
Usando Laplace
Ecuaciones en el dominio del tiempo
KVL1
Asi que
KVL2
16
Ejemplo
Escribiendo las ecuaciones en el dominio del
tiempo
C
-
R
L
17
Usando modelo de frecuencia
Buscar impedancia total equivalente
Realizar divisor de voltaje
Función de transrerencia resultante
18
Escribiendo las ecuaciones en el dominio del
tiempo
KVL1
KVL2
KCL
19
Modelo de motor

Ra
La
Va(s)
Va
Vf
Rf
Lf
J
B
Posibles entradas
Posibles salidas
va(t), vf(t), ia(t), if(t)
?(t), ?(t), Te(t), Tm(t)
20
Efecto del valor de la resistencia de un
potenciómetro
1pt
El valor de la resistencia de un potenciómetro se
escoge para determinar la cantidad de corriente
que se permitirá pasar al lado de menor tensión.
Vcc
Vout
21
Modelos Mecánicos

• Modelo de Te(s) ? ?(s)
• torque eléctrico o mecánico a velocidad angular
• Modelo de Va(s) ? ?(s)
• voltage del motor a velocidad angular
• Modelo de Vf(s) ? Te(s)
• voltaje externo a torque eléctrico
• Modelo de ?(s) ? ?(s)
• velocidad angular a posición angular

22
Modelos mecánicos
Torque eléctrico Torque mecánico
Este término proviene de la masa del eje
Este término proviene de la fricción viscosa
Usando Laplace
despreciando condiciones iniciales
factorizando ?(s)
La función de transferencia resultante es
23
Va(s) ? ?(s)
Para este sistema queremos
Ra
La
Va(s)
Va
Vf
Rf
Lf
J
B
También sabemos que
24
Va(s) ? ?(s)
Para este sistema queremos
Función de transferencia
Ra
La
Va(s)
Va
Vf
Rf
Lf
J
B
25
Vf(s) ? ?(s)
Para este sistema queremos
Te kfIf(s)
Ra
La
Va(s)
Va
Vf
Rf
Lf
J
B
Para obtener velocidad angular con voltaje Vf
combinamos bloques
Nuevo bloque más complejo
26
Problema del primer examen
25pts
Halle la función de transferencia del sistema
desde el torque eléctrico hasta la salida de la
velocidad angular del motor (?m del motor)
Motor
N2
?m(s)
?2(s)
J
N1
B
27
Polos
Los polos de una función de transferencia son
los valores de s que hacen que el denominador sea
igual a cero
Los polos se grafican con X y los ceros se
grafican con O
Ceros
Los ceros de una función de transferencia son los
valores de s que hacen que la función de
transferencia sea igual a cero.
Multiplicamos por el escalón R(s) 1/s
28
Efectos de los polos y ceros
1. El polo de la función de entrada R(s) genera
la respuesta forzada del sistema
2. El polo de la función de transferencia genera
la respuesta natural del sistema

• Un polo en el eje real genera una respuesta de
  la forma e-at donde a es la posición del polo
  en el
• eje real. Adicionalmente, entre más lejos
  (hacia la izquierda) se encuentre el polo, la
  respuesta transitoria
• exponencial caerá más rápidamente.

4. Los polos y ceros de una función generan las
amplitudes de ambas respuestas (natural y
forzada). K1 K2,K3 y K4.
29
Buscando las Ks para distintos sistemas

• Casos
• Polos puramente reales
• Polos puramente imaginarios
• Polos complejos
• Polos reales repetidos

30
Polos puramente reales
1
0.171
1.171
31
Polos puramente imaginarios
32
Polos puramente complejos
complejos
33
Polos reales repetidos
34
Frecuencia natural ?n
La frecuencia de oscilación de un sistema de
segundo orden es la frecuencia de oscilación del
sistema sin amortiguación. (rad/seg)
Factor de amortiguamiento ?
Ejemplo encuentre la frecuencia natural y el
factor de amortiguamiento
35
4/6pts
Ejemplo de prueba corta
Completando el cuadrado
Polos
verificar
36

• Mostrar un ejemplo de
• Sistema de lazo abierto
• Sistema de lazo cerrado

1pt
Sistema de lazo abierto
Ref.
controlador
planto o proceso
entrada
salida
Un lápiz mecánico puede ser considerado como un
sistema de lazo abierto
Respuesta deseada que la mina salga del lápiz
mecánico que el largo de la mina sea suficiente
para que dure y a la misma vez lo
suficientemente corta para que no se parta
Controlador dedo pulgar
Planta o proceso mecanismo saca punta
Salida largo de punta en milímetros
37
Diagramas de Bloques

• Ocho Reglas
• Retroalimentación
• Bloques en serie
• Bloques en paralelo
• Adelantar un punto de bifurcación
• Atrazar un punto de bifurcación
• Adelantar un sumador
• Atrazar un sumador
• Propiedad asociativa de la suma

38
Retroalimentación
Este bloque es el fundamento para los sistemas de
lazo cerrado. Los sistemas de lazo cerrado son
más estables porque miden su salida para
manipular su entrada y así lograr la respuesta
deseada
La retroalimentación típica es (-)
degenerativa La retroalimentación mala es ()
regenerativa
39
Bloques en serie
Se multiplica lo que haya en los bloques
40
Bloques en paralelo
Se suma lo que haya en los bloques en paralelo
41
Adelantar punto de bifurcación
42
Atrazar un punto de bifurcación
43
Adelantar un sumador
44
Atrazar un sumador
45
Propiedad asociativa de la suma
X4
X1
-
X2
X3
X2
-
X4
X1
-
X3
46
Ejemplos de diagramas de bloques dado en
asignación

• Procedimiento
• Adelantar el punto de bifurcación 1
• Realizar retroalimentación unitaria
• Realizar suma
• Realizar bloques en serie

Es importante saber que hay más de una forma de
resolver este problema
47
Amplificadores operacionales
Non Inverting

• Dos tipos
• Inverting
• Non inverting
• Tenemos que asumir que las resistencias internas
  de un amplificador operacional son mucho mayores
  que las externas. Por eso es que decimos que no
  fluye corriente a través de el.

Inverting
48
Opamp de tipo inverting
Nuestro diagrama resulta de la siguiente forma
La corriente a través de R1 es la misma corriente
a través de R2
con un poco de algebra
Si a tiende a cero, la respuesta tiende a
49
Non Inveting
Nuestro diagrama resulta de la siguiente forma
Las resistencias periferales al opamp son mucho
más pequeñas que las resistencias internas al
opamp.
Como I 0, V- es un divisor de voltaje de Vo
entre R1 y R2.
50
Problema del primer examen
6/70pts

• Dado el siguiente circuito
• Haga el diagrama de bloques del sistema
• Determine la función de transferencia del sistema
  usando reducción de bloques

Para el segundo opampa (opamp argentino)
Bloques de construcción
Para el primer opampito (opamp chiquito)
Bloques de construcción
51
Este revolú resulta
v1 v1
v1o
v1o v2
v2o
v1
X
X


v2
v1
v2o
v1o
vi
X
X
52
Sistemas de primer orden
Un sistema de primer orden es aquel que posee un
solo polo
Cuando t 1/a el exponencial llega al 37 de su
valor
La constante de tiempo tau es el valor para el
cual e-at llega al 37 o c(t) al 63
Laplace
Respuesta Forzada
Respuesta Natural
La constante de tiempo es el recíproco del polo
Podemos calcular cuanto tiempo se demora la
función en llegara a su valor final.
53
Tiempo de establecimiento
Tiempo de establecimiento (settling time) Ts es
el tiempo en el cual la respuesta alcanza un
valor del 2 del valor final (necesita mejor
explicación)
Podemos calcular cuanto tiempo se demora la
función en llegara por primera vez a su valor
final.
54
Tiempo de subida
Tiempo de subida Trise Tr está definido como
el tiempo que demora la respuesta en ir del 0.1
al 0.9 de su valor.
55
Sistemas de Segundo Orden

• Hay cinco tipos de sistemas
• Estables
• Críticamente amortiguado
• Sub Amortiguado
• Sobre Amortiguado
• No Amortiguado (oscilatorio)

Inestables Descontrolado
56
Sistema inestable
X
Usualmente se caracteriza por un sistema sin
retroalimentación
La señal de salida del sistema crece sin cota.
Todos los sistemas están limitados en la cantidad
de energía que pueden proveer.
Los sistemas inestables llegan a un punto de
saturación
57
Sistemas Estables
Tipo de Estabilidad
Críticamente Amortiguado Igual a 1
Sub Amortiguado Menor que 1 y mayor que 0
Sobre Amortiguado Mayor que 1
No Amortiguado Igual a 0
58
Para sistemas de segundo orden
Tiemo de establecimiento es el tiempo requerido
para que las oscilaciones amortiguadas del
Periodo oscilatorio alcancen 2 de su valor en
estado estacionario
Tiemo de subida es el tiempo requerido para que
la respuesta pase del 0.1 al 0.9 del valor
final. Cuando la respuesta corta por primera vez
el valor final.
Tiemo pico es el tiempo requerido para que la
respuesta alcance su primer pico o máximo pico
Porciento de rebase Representa la diferencia
porcentual entre el pico máximo y el valor final
de la respuesta en estado estacionario.
59

• La frecuencia de la respuesta permanece igual
• Tiempo de crecimiento y tiempo de pico se
  mantienen constantes
• El tiempo de establecimiento aumenta
• Varía el OS, (aumenta)
• A medida que los polos se alejan del eje
  imaginario,
• la respuesta se hace menos oscilatoria

• El OS se mantiene constante
• Tiempo de pico, de subida y de establecimiento
  varían.
• (menor tiempo a medida que los polos se alejan
  del origen)

Para mantener Ts constante hay que mantener la
parte real de los polos constante

• Aumento en la frecuencia de la respuesta
• Tiempo de crecimiento y tiempo de pico menores
• Se manteiene la envoltura exponencial (generada
  por la parte real)
• El tiempo de establecimiento se mantiene
  constante
• Aumenta el OS

60
Sistemas de segundo orden
Gráfica de polos
Características
Respuesta Sobre Amortiguada

• Dos polos en el eje real negativo
• Respuesta Natural dos exponenciales con
  constantes de tiempo iguales al recíproco de la
  ubicación de los polos

Respuesta Sub Amortiguada

• Dos polos complejos
• Respuesta Natural Una onda senosoidal envuelta
  en un exponencial cuya constante de tiempo
  corresponde al recíproco de la parte real de los
  polos

Respuesta No Amortiguada

• Dos sobre el eje imaginario
• Respuesta Natural Una onda senosoidal no
  amortiguada.
• La ausencia de parte real corresponde a una
  respuesta que no decrece

Respuesta Críticamente Amortiguada

• Dos polos complejos
• Respuesta Natural Un término exponencial y otro
  termino exponencial multiplicado por t.

61
Problema 4.8
? ? ?n -? ?n(1- ?2)1/2
4.5 S1,2 -3, -6
15 s1,2 -10, -20
3 s1,2
0 0 s1,2 j3, -j3
.001 20 s1,2 -10, -10
Naturaleza Sobre amortiguado Polos S1,2 -3,
-6 Ceros no tiene
Naturaleza Sobre amortiguado Polos s1,2 -10,
-20 Cero s -7
Naturaleza NO Amortiguado Polos s1,2 j3,
-j3 Ceros s -2
Naturaleza Sobre amortiguado Polos s1,2 -10,
-10 Ceros s -5
62
Aproximación de sistemas a segundo orden
Los polos dominantes son los que se encuentran
más cerca del origen. Si un sistemas tiene polos
adicionales y estos se encuentran diez veces más
lejos del origen que los polos dominantes,
entonces se puede despreciar su efecto para así
aproximar el sistema a uno de segundo orden.
X 8
20 1.2
veinte es más de diez veces mayor que 1.2
63
Problema del segundo examen
20pts
Determine el por ciento de rebase para el
siguiente sistema de lazo cerrado cuando se le
alimenta un salto unitario a la entrada
Queremos ver si podemos eliminar este polo
Buscamos la ecuación característica para la
aproximación
Las gráficas son más o menos así
de esta ecuación obtenemos que
El polo adicional está en s -20 así que como es
más de diez veces mayor, este sistema se puede
aproximar a uno de segundo orden.
64
Para un sistema de segundo orden
1pt
Segunda prueba corta
Dado un sistema de lazo abierto con un tiempo de
establecimiento de un segundo y un por ciento de
rebase desconocido, con un factor de
amortiguamiento de 0.707 y con una entrada de
salto unitario
a) determine la función de transferencia cuando
ess 0
65
Problema 4.20
Para cada uno de los sistemas de segundo orden
encuentre el valor del factor de amortiguamiento,
tiempo de subida, tiempo de establecimiento,
tiempo pico y por ciento de rebase.
66
Derivaciones
Buscando ? con OS
Buscando ? con Ts y Tp
Sacamos el logaritmo de la ecuación
Cuadramos
67
Problema 4.23
Para los siguientes sistemas de segundo orden
encuentre la localización del par de polos
Los polos están dados por

1. OS 12 y TS 0.6 seg
2. OS 17 y TP 0.5 seg
3. TP 7 seg y TS 3 seg

68
Otro ejemplo
Teorema del Valor Final
Determine f(t) y discuta si el Teorema del Valor
final aplica o no.
Si
existe
Entonces
Sea
Teorema lim f(t) existe si y solo si todos los
polos de F(s) tienen parte real negativa con la
exepción de un polo simple en s 0.
Sin embargo,
Ejemplo
Sin embargo,
Sea
Otro ejemplo
Note que
Esta es una función de Naturaleza oscilatoria O
sea NO CONVERGE A ningun valor.
Sea
El teorema no se puede aplicar aquí
Es decir, todos los polos estan en el lado
izquierdo del plano complejo con la Posible
exepción de un polo simple en s 0.
69
Teorema del Valor Inicial
Si f(t) no tiene descontinuidades infinitas en
t0 Entonces, lim f(t) cuando t tiende a cero por
la Derecha es igual al lim F(s) cuando s tiende
a Infinito
Si
existe
Entonces
La inversa de la transformada de Laplace
mediante Expansión en fracciones parciales. El
método de Expansión en fracciones parciales
aplica únicamente A funciones racionales en s
que sean estricatamente Propias.
Ej
Es impropia dado que el grado del numerador es
mayor que el del denominador.
70
Funciones estrictamente propias con polos reales
y distintos
71
F(s) tiene polos reales y algunos están repetidos
No se puede hacer esto
Método de los residuos de Heavyside
0
72
Respuesta de sistemas con ceros
La respuesta del sistema consta de dos partes la
derivada de la respuesta original y u
escalamiento de la respuesta original dada por
aC(s) Si a es muy grande, la respuesta se puede
aproximar al término aC(s) Si a no es muy
grande, la respuesta tendrá un término derivativo
que contribuye a la respuesta Para valores
pequeños de a podemos esperar OS más
grandes Para ceros en el semiplano derecho, la
respuesta seguirá inicialmente al término
derivativo en dirección opuesta al escalado por
a, resultando en un pico negativo
73
Dado por el cero en el semiplano positivo Este
sistema se denomina non minimum-phase system
Sistema superior con un cero
No es muy pequeño comparado con los otros residuos
Este término no se puede despreciar para
aproximarlo a un sistema de segundo orden
74
En este caso si hacemos esto para tener un
sistema de segundo orden
por lo cual podemos despreciar el término
haciendo cancelación del cero en -4 y el polo en
-4.01 para aproximar el sistema a un sistema de
segundo orden
75
Estabilidad de sistemas lineales y estacionarios
Un sistema es estable del tipo BIBO (bounden
input bounded output) (entrada acotada salida
acotada) si y solo si toda entrada acotada
produce una salida acotada
Si la salida es acotada solo para algunas
entradas, entonces el sistema es marginalmente
estable. Estos sistemas típicamente oscilan y su
respuesta se sostiene a una amplitud constante
sin decaer ni crecer.
Un sistema asintoticamente estable si todas sus
respuestas debidas a condiciones iniciales
decaen asintoticamente a cero.
Un sistema es inestable si alguna de sus
respuestas crece sin cota
76
Prueba corta
12/12pt
Hallar el rango de k que hace al sistema estable
K
X

s4 1 18 K
s3 9 K
s2 a K
s1 ß
s0 K
77
Supuesto problema de examen de Raúl Torres
Para un sistema de lazo cerrado esto es un
sistema Tipo 1 de la forma
Dado que G(s) es un sistema de segundo orden sin
ceros
R(s) ess Ts
1 0
1/s 0 2 seg
1/s2 0.1
Según estas características el sistema sabemos
que el sistema es tipo 1
Para retroalimentación unitaria
Determine G(s)
Identificar el sistema según la tabla que sabemos
de memoria
R(s) 0 1 2
1 0 0 0
0 0
0

78
Continuación de supuesto problema
Nos dicen que TS 2 segundos
así que K 40
así que si ??n 2, entonces p1 4 2 ??n
Para este sistema la tabla nos dice que
Así que kv 10
79
El límite de e(t) para t ? infinito existe si y
solo si todos los polos de E(s) están en el lado
izquierdo del plano complejo con la posible
excepción de un polo simple en cero.
Error en régimen permanente
Lazo abierto
Ilustración
Definimos E(s) R(s) Y(s)
sea
E(s) es la señal de error
Para un sistema estable tiene dos polos en el
semiplano izquierdo
Mediante el teorema del valor final si ambos
límites existen, entonces
solo si Re(-p1)lt0
v.f.
1 para R(s)1/s
Caso General
80
Análisis en el dominio de la frecuencia
donde N tipo del sistema polos de G(s) en
s 0
Error en respuesta a un escalón
E(s) R(s) C(s)
los polos del error son dados por la misma
función característica que los polos del sistema
Pero sabemos
Si N 0 (sistema de tipo cero) (cero polos en s
0)
Para N 0 y r(t) u(t) (escalón)
constante
En general
81
Para Lazo Cerrado
R(s) 0 1 2
1 ess 0



82
Disturbio y Sensibilidad
Sensibilidad Caso se afecta al sistema a un
cambio en parámetro
Sistema de lazo abierto
Para un disturbio en la entrada
R(s)
Para un disturbio a la salida
No hay notas aqui
D(s)
Y(s)
G(s)
R(s)
83
Para Sistema de lazo cerrado Con Disturbios a la
entrada
Disturbios a la salida
Examen será el 10 de abril de 2003
84
Sensibilidad
R(s)
Y(s)?Y
G(s)?G(s)
Sensibilidad de la señal Y(s) a cambios en el
parámetro a
Implica que los cambios en el parámetro se
reflejan directamente a la salida.
85
Sistema de lazo cerrado
No entiendo esto
86
Deseamos determinar la estabilidad a partir de la
función de transferencia del sistema
Sea T(s) la función de tansferencia del sistema
donde
Sabemos que el sistema será asintóticamente
estable si y solo si todas las raíces de D(s) son
iguales a cero tienen parte real negativa (estan
en el lado izquierdo del plano complejo
Suponga que ri i 1,2, .. ,n son las n raices
de D(s) 0, entonces
D(s) an(s-r1) (s-r2) (s-rn) D(s) ansn
an(r1 r2 .rn)sn-1 an(r1r2 r2r3 .r1r3
)sn-2 (an(-1)n(r1r2rn) 0
Las partes imaginarias se van a juste
Todos los coeficientes dan positivo cuando todas
las raices tienen parte real negativa
87
Dos condiciones necesarias para que todas las
raices de D(s) tengan parte real negativa

• que todos los coeficientes de D(s) teengan el
  mismo signo
• que nincun coeficiente sea cero
• estas condiciones no son suficientes para
  garantizar estabilidad sin embargo la podemos
• usar como prueba preliminar ya que si alguna no
  se cumple inmediatamente podemos concluir que el
• sistema es inestable. pero si ambas se cumplen
  no podemos concluir nada con respecto a
  estabilidad

Contra ejemplo
q(s) satisface la prueba preliminar sin embargo
q(s) (s2)(s2 s 4) donde los polos tienen
parte real positiva
Los cambios de signo en la columna izquierda del
arreglo R-H indican la cantida de raices con
parte real positiva (en el lado derecho del plano
complejo)
88
Criterio de Routh y Hurwitz
Provee una condición necesaria y suficiente para
evaluar la estabilidad de sistemas Lineales y
estacionarios a partir de su polinomio
característico. El método está basado en un
arreglo de números formado a partir de los
coeficientes del polinomio característico.

• Tres posibilidades
• Caso1 No hay cambios de signo, No hay fila de
  ceros, El sistema es estable
• Caso2 Hay ceros en la primera columna pero la
  fila no es totalmente de ceros. Se sustituye el
  cero por un epsilon y se asume positivo. Luego se
  busca el limite cuando epsilon tiende a cero por
  la derecha y se ve que signo tiene epsilon
• Caso3 Fila de ceros. Se diferencia la ecuación
  auxiliar. La ecuación auxiliar es un factor de la
  ecuación característica

89
Dado el polinomio
Formamos el siguiente arreglo
Donde
90
con K 2
s3 1 2 0
s2 3 K
s1 4/3 0
s0 K
con K 8
s3 1 2 0
s2 3 K
s1 -2/3 0
s0 K
s3 1 2 0
s2 3 K
s1 0
s0 K
con K 6
s3 1 2 0
s2 3 K
s1 0 0
s0 K
K 2, K 6, K 8
fila de ceros (caso especial)
estable
marginalmente estable
inestable
91
s4 1 3 1
s3 2 4 0
s2 1 1
s1 1 0
s0 1
Dos cambios de signo en la primera columna Dos
raices en la parte real positiva
s4 1 3 5
s3 2 4 0
s2 1 5
s1 -6 0
s0 5
92
s5 1 2 11
s4 2 4 10
s3 0 6 0
s2 10
s1 d1
s0 10
Un polinomio de orden impar, obligao, cruza en
algun punto el eje
93
si epsilon ? 0 hay dos cambios de signo si
epsilon ? 0- hay dos cambios de signo
s4 1 1 K
s3 1 1
s2 ? K
s1
s0 K
Conclución No es posible estabilizar este sistema
94
Para K 10 el sistema queda uno marginalmente
estable
s3 1 5
s2 2 K
s1 0
s0 K
Si K es igual a diez hay una fila de ceros en el
arreglo R-H (caso 3)
Cuando esto ocurre, el polinomio correspondiente
o la fila sobre la fila de ceros en este caso 2s2
10 se convierte en un factor del polinomio
original
Las raíces del polinomio para K 10 son s1 -2
y s2,3 raíz cuadrada de cinco
95
Determine si el sistema se puede estabilizar para
algún valor de K
Ecuación característica
s2 (K1) (2K)
s1 3 0
s0 (2K)
96
La prueba preliminar es suficiente para cualquier
polinomio cuadrático
sea
la ecuación característica cuadrática
Es innecesario hacer el arreglo de R-H cuando
usted tiene una cuadrática
s2 a c
s1 b 0
s0 c
Requerimos a gt 0, b gt 0 , c gt 0
97
Ecuación característica
Arreglo R-H
s3 1 (3K)
s2 4 6K
s1
s0 6K
98
Ejemplos discutidos en clase
Dado D(s) decir si es estable, inestable o
condicionalmente estable
Primer Ejemplo
-4
Despues que pasó todas las pruebas, el sistema es
inestable. Este ejemplo se llama NO TE CONFIES.
99
Segundo Ejemplo
1 2 1
3 6 1
Caso especial Inestable
(-)
100
Tercer Ejemplo
1 2 1 3 1
1 3 1 2 1
1 3 2 1 0
1 2 3 1 0
Es inestable por el cero y no por el negativo uno
m gt 0
Si a gt 0
101
Cuarto ejemplo
Lo que hacemos es lo siguiente
102
Problema 6.4
Cuántos polos se encuentran en el el lado
izquierdo y cuantos se encuentran en el lado
derecho Para el sistema de lazo abietro
Ningun cambio de signo en la primera columna, por
lo tanto ninguna raiz en el lado derecho del
plano compejo por lo tanto el sistema es estable
S4 1 8 15
S3 4 20 0
S2 3 15 0
S1 0 0
s0 15
103
Problema 6.8
Determine si el sistema de retroalimentación
unitaria es estable para
S4 1 29 264
S3 10 26 0
S2 264 2640
S1 -74
S0
Hay dos cambios de signo en la primera columna
del arreglo. Por lo tanto hay dos raíces en la
parte real positiva (en el lado derecho del
semiplano. EL SISTEMA ES INESTABLE
104
Problema 7.3
Para el sistema mostrado qué error podemos
esperar para una entrada de 15u(t)
105
Problema 7.12
Para el sistema encuentre Kp , Kv, y Ka
Encuentre el error en estado estacionario para
entrada de 50u(t), 50tu(t), y 50t2u(t)
Diga de que tipo es el sistema
106
Diga que tipo de sistema es este
Problema 7.14
107
Problema 7.43

• Dado el sistema mostrado haga lo siguiente
• Derive la expresión para el error, E(s) R(s)
  C(s), en términos de R(s) y D(s)
• Derive el error en estado estacionario e(inf), si
  R(s) y D(s) son funciones de salto unitario
• Derermine los atributos de G1(s), G2(s) y H(s)
  necesarios para que el error en estado
  estacionario
• llegue a cero

108
Problema 7.44
Dado el siguiente sistema encuentre la
sensitividad de el error en estado
estacionario Debido al parametro a. Asuma que hay
una entrada de salto unitario. Grafique la
Sensitividad como función del parametro a.
109
Problema 7.45
Para el sistema encuentre la sensitividad de el
error en estado estacionario para cambios En K1,
y en K2 , cuando K1100 y K20.1. Asuma que las
entradas de salto son en la entrada Y en el
distrurbio.
110
Reglas para Root locus
Regla 1
Condición angular hay root locus si los ángulos
G(s)H(s) 180 mas o menos n360 Condición de
magnitud KG(s)H(s) 1 Note que 1 KG(s)H(s)
0 se puede escribir de la forma KG(s)H(s) -1
j0 1ángulo -180-k360 para valores de k
1,2,3
Regla 2
Root locus comienza en los polos y termina en los
ceros X ? 0
Regla 3
Root locus existe a la izquierda de un numero
impar de polos y ceros
Regla 4
Root locus es simétrico con respecto al eje real
Regla 5
Las asíntotas señalan a los ceros en infinito
todas las asíntotas se intersecan en un punto ,sa
y ese punto se encuentra e el eje real
na número de polos número de ceros na
numero de asíntotas o ceros en el infinito
111
Regla 6
Para hallar el intercepto con el eje imaginario
usamos R-H y hacemos que el sistema sea
oscilatorio creando una fila de ceros y buscando
la frecuencia de oscilación
La frecuencia de oscilación es el intercepto con
el eje imaginario.
Regla 7
Puntos de ruptura- Es donde el root locus
abandona el eje real A) Pto Ruptura de salida K
es máximo con respecto a S B) Pto. Ruptura de
Entrada K es mínimo con respecto a S C) Pto
Ruptura de bifurcación K es un punto de
inflexión
Regla 8
Ángulo de salidad o ángulo de entrada. En el eje
el ángulo de salida o entrada de los puntos de
ruptura va a ser igual a 1800 de polos en el
punto de ruptura. Fuera del eje se usa la
condición angular.
112
Ejemplos de clase
Puntos de ruptura analíticamente
113
Root locus es un procedimiento gráfico usado para
determinar los polos de un sistema de lazo
cerrado. Gráficamente, el locus es el conjunto
de pasos en el plano trazado por los polos de
lazo cerrado mientras se varía la ganancia (K)
desde cero hasta infinito.
En términos matemáticos dada una función KG(s)
donde K es la ganancia del root locus y la
función de transferencia para lazo cerrado es
El root locus esta dado por las raíces de 1
KG(s) 0 mientras K varía desde cera hasta el
infinito. Mientras los valores de K cambian, las
soluciones para la ecuación cambian
La ecuación característica de un sistema está
basada en la función de transferencia que sirve
de modelo para el sistema. Ella contiene la
información necesaria para determinar la
respuesta de un sistema dinámico. Solo hay una
ecuación característica para un sistema dado
La ganancia del root locus, típicametne llamada
K, es la ganancia del sistema de lazo cerrado.
Mientras determinamos el root locus, variamos la
ganancia desde cero hasta el infinito. Notamos
que las variaciones correspondientes en los polos
de lazo cerrado determinan el root
locus. Mientras la ganancia se mueve desde cero
hasta el infinito, los polos se mueven desde los
forward loop polos hasta los forward loop ceros
o el infinito.
114
El criterio angular se usa para determinar los
ángulos de salida para las partes del root locus
que se encuantran cerca de los polos de lazo
abierto y para saber los ángulos de llegada para
las partesd de l root locus que se encuentran
cerca de los ceros de lazo abierto. Cuando este
criterio es utilizado juntamente con el criterio
de magnitud, se puede determinar si un punto en
el plano complejo es o no es parte del root locus
El criterio angular está definido como ltKG(s)
-180 Note que se puede usar 180 en vez de -180.
El uso de -180 es solo una convención. Como 180
y -180 son el mismo ángulo, cualquiera produce el
mismo resultado. El criterio angular es el
resultado directo de la definición de root locus
es otra forma para expresar los requisitos del
locus. El root locus está definido como el
conjunto de raíces que satisfacen la ecuación
característica 1 KG(s) 0 o equivalentemente
KG(s) -1 Tomando la fase de cada lado de la
ecuación resulta en criterio angular.
El criterio de magnitud se usa para determinar
las localizaciones de un conjunto de raíces en el
plano complejo para un valor de K dado.
Matemáticamente, el criterio de magnitud es
KG(s) 1 El criterio de magnitud es un
resultado directo de la definición de root
locus es otra forma para expresar los requisitos
del locus. El root locus se define como el
conjunto de raíces que satisfacen la ecuación
característica 1 KG(s) 0 o equivalentemente,
KG(s) -1 Tomando la magnitud de cada lado de
la ecuación obtenermos el criterio de magnitud
115
El ángulo de salida es el ángulo al cual en el
cual el locus sale de un polo en el plano
complejo. EL ángulo de llegada es el ángulo en el
cual el locus llega a un cero en el plano
complejo. Por convención, ambos tipos de ángulos
se miden relativamente a un rayo que comienza en
el origen y se extiende hacia la derecha a
través del eje real del plano complejo. Ambos,
ángulo de salida y entrada se encuentran usando
el criterio ángular
Los puntos de corte ocurren en el locus donde dos
o más loci convergen o divergen. Los puntos de
corte suelen ocurrir en el eje real pero pueden
aparecer en cualquier sitio del plano
complejo. El loci que se acerca/diverge desde un
punto de corte lo hace a ángulos que se
encuentran colocados equitativamente con
respecto al punto de corte. Los ángulos a los
cuales ellos llegan/salen son una función del
número de loci que se acerga/diverge del punto de
corte.
El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz es un
método para determinar si un sistema es on o es
estable basado en los coeficientes de la ecuación
característica del sistema. El particularmente de
ayda para los sistemas de un orden mayor
(grande) porque no requiere que las expresiones
del polinomio sean factorizadas.
116
La función de transferencia define las relaciones
entre las entradas y salidas de un sistema. La
función de transferencia es típicamente escrita
en el dominio de la frecuencia, en vez del
dominio del tiempo. La transformada de LaPlace se
usa para representar el dominio del tiempo en el
dominio de la frecuencia. Si x(t) es la entrada
a un sistema y y(t) es la salida del sistema, y
la transformada LaPlace de la entrada es X(s) y
la transformada de LaPlace de la salida es
Y(s), entonces la función de transferencia entre
la entrada y la salida es Y(s)/X(s)
117
Comenzamos con los polos y ceros del "forward
loop". Como el locus representa el paso de las
raíces (específicamente de los polos de lazo
cerrado) mientras la ganancia se varía,
comenzamos con la configuración en la cual la
ganancia del sistema de lazo cerrado es igual a
cero. Cada locus comienza en el polo de lazo
forward y termina en forward loop cero. Si el
sistema tiene más polos que ceros, entonces
algunos de los loci terminan en ceros localizado
infinitamente lejos de los polos.
Varias root loci tienen paso en el eje real. La
parte del eje real que tiene la porción del
locus es determiado utilizano la siguiente
regla Si un número impar de polos y ceros
existe en un punto que descansa a la derecha del
punto en el cual se descansa en el eje real,
entonces es punto corresponde al locus.
Las asíntotas indican a donde los polos van a ir
mientras la ganancia se acerca a infinito. Para
sistemas con más polos que ceros, el número de
asíntotas es igual al número de polos menos el
número de ceros. En algunos sistemas no hay
asíntotas cuando el número de polos es igual al
número de ceros en cada locus, se termina en un
cero en vez de asintóticamente en el
infinito. Notar que es posible dibujar un root
locus para sistemas con más ceros que polos,
pero esos sistemas no representan sistemas
físicos. En estos casos uno puede pensar que
algunos de los polos estan colocados en el
infinito.
118
Los puntos de corte existen donde dos o más loci
se unen y luego divergen. A pesar de que los
encontramos frecuentemente en el eje real, ellos
pueden ocurrir en cualquier otro sitio del plano
complejo. Cada punto de corte es un punto donde
una doble raíz existe para algún valor de
K. Matemáticamente, dado la ecuación de root
locus 1 KG(s) 0 donde la función de
transferencia G(s) consiste de un numerador,
A(s), y un denominador B(s), entonces los puntos
de ruptura se pueden determinar de las raíces
de
Si K es real y positivo en un valor de s que
satisface la ecuación, entonces el punto es uno
de ruptura. Siempre habrá un número par de loci
alrededor de cualquier punto de ruptura para
cada locus que entra el locus, deberá haber uno
que sale.
El criterio angular determina cuál es la
dirección del movimiento de las raíces mientras
se cambia la ganancia desde cero hasta el infinito
119
Los puntos donde el root locus interseca el eje
imaginariose indican con los valores de K en los
cuales el sistema de lazo cerrado es
marginalmente estable. El sistema de' lazo cerado
será inestable para cualquier ganancia para la
cual el locus se encuentre en la parte real
positiva del plano complejo. Si el root locus
cruza el eje imaginario desde izquierda a derecha
en un punto KK0 y se mantiene completamente en
la parte derecha del plano complejo, entonces el
sistema es insetable para todos los valores de
KgtK0. Por lo tanto, sabiemos que el valor de
K0 es bien útil. Algunos sistemas son
particularmente nasty cuando su root locus entra
y sale del eje imaginario. En estos sistemas,
incrementar la ganancia de root locus causará que
el sistema se vuelva inestable inicialmente y
luego se vuelva estable de nuevo.
120
Hacemos alpha igual a cero y eso implica que k
90(18)
no es casualidad. siempre se va a poder cancelar
ese término
La frecuencia de oscilación es el intercepto de
root locus en el eje imaginario
jwj3 por raiz de once
121
Root Locus
Es un método para determinar el lugar de los
polos según varía un parámetro De cero a infinito.
Aplica para sistemas de lazo cerrado
La razón por la cual no se usa Root Locus en el
sistema de lazo abierto es que El la ecuación
característica del sistema de lazo cerrado el
valor de la K no cambia Porque simple y
sencillamente no se encuentra en la ecuación
característica.
Esto significa que no hay movimiento de los
polos. Los polos se encuentran en el Mismo lugar
siempre.
D(s) s(s 4) 0
122
Ejemplo clásico
Este ejemplo es fenomenal por que se usan siete
reglas de las ocho Raul Torres
Muñiz 22 de abril de 2003
Regla 3
Root locus se encuentra a la izquierda de un
numero impar de polos y ceros Esta regla es
para el eje real!!
Regla 6
na 3 0 3
número de asíntotas
Regla 5
X X X
punto en el eje donde intersecan todas las
asíntotas
-9 -6 -3
Regla
Regla ba
Hacer Routh y Hurwitz para saber intercepto en el
eje imaginario.
Las asintotas forman ángulos simétricos ?n
ángulo que van a hacer las asíntotas
s3 1 99
s2 18 162K
s1 a
s0 162K
Siempre que usted tenga tres asíntotas los
ángulos van a ser 180 y mas y menos 60
Intercepto en el eje real
a tiene que ser iguala a cero para sistema
oscilatorio. K 90(18)
A(s) 18s2 90(18) 18(9) 0
123
Hacer el Root locus de los siguientes sistemas de
retroalimentación unitaria dado el modelo de la
planta en lazo abierto
(aproxime el punto de ruptura, no lo determine
analíticamente)
X Xgtgtgt0ltltltX
0
ltltltlt
Doble cero
Condición de magnitud buscar el valor de la
K KG(s)H(s) 1
Como el root locus es simétrico, ya sabemos que
hay dos polos que se van a ir hacia los ceros y
nos queda un polo solitario que irá en búsqueda
de su cero en el infinito.
na número de polos número de ceros na
numero de asíntotas o ceros en el infinito
ya esto no es un genuino disparate
124
Hacer el Root locus de los siguientes sistemas de
retroalimentación unitaria dado el modelo de la
planta en lazo abierto
(aproxime el punto de ruptura, no lo determine
analíticamente)
o
X X gtgt ltlt X
Doble cero
o
Condición de magnitud buscar el valor de la
K KG(s)H(s) 1
Como el root locus es simétrico, ya sabemos que
hay dos polos que se van a ir hacia los ceros y
nos queda un polo solitario que irá en búsqueda
de su cero en el infinito.
na número de polos número de ceros na 1
125
K
X
Condición de magnitud KG(s)H(s) 1
Asi que K
126
Hacer el Root locus de los siguientes sistemas de
retroalimentación unitaria dado el modelo de la
planta en lazo abierto
Ecuación auxiliar
X X
X
ltltltltltltltlt
ltltltlt
s3 1 18
s2 9 K
s1 a 0
s0 K
-6 -3 0
na número de polos número de ceros na
numero de asíntotas o ceros en el infinito na 3
0 3
Para a igual a cero hay una fila de ceros Ésto
hace al sistema marginalmente estable K debe ser
igual a 9(18) 162
127

• Dado el siguiente root locus
• determine cuales serán las raíces del sistema de
  lazo cerrado cuando K 0
• Halle los puntos de ruptura
• Halle las asíntotas
• determine el rango de estabilidad del sistema de
  lazo cerrado
• Halle el punto donde el locus interseca el eje
  imaginario

-3
-1
128
Hacer el root locus de los siguientes sistemas de
retroalimentación unitaria, dado el modelo de la
planta en lazo abierto
K
X
ltltltltltltltltltltltlt X
s3 1 20
s2 9 K
s1 a 0
s0 K
Para K 180 ecuación auxiliar A(s) 9s2 180
0 intercepto en jraiz de 180/9
kG(s) 1 0
ltltltltltltX Xltltlt X
na 3
129
K
X
X X
X
ltltltltltltltltltltltlt
-1
s3 1 2
s2 2 K
s1 a 0
s0 K
kG(s) 1 0
na 3 0 3
130
Hallar las raíces del sistema cuando K 0, K
infinito y K 1
131
Fulanito de tal trajo un sistema de
retroalimentación negativa unitaria con entrada
R(s) y salida C(s). Al alimentarle una entrada de
salto unitario se encontró que el error en
régimen permanente resultóse 0.5. Determine el
tipo de sistema. Cuál es el valor final de la
planta cuando se le alimenta un salto de magnitud
10? B) Sultanito quiso copiarse de Fulanito, y
trajo otro artefacto. Esta ve el error al
alimentarle un salto unitario es de 1/3, e
infinito para una entrada de rampa. Cuál es el
tipo de sistema de Pablo? Cuál era el valor
final de la planta cuando se le alimentó el
salto unitario?
132
Estime el valor de la constante de
amortiguamiento dado la respuesta del sistema a
un salto unitario
Determine K1 y K2 para que el siguiente sistema
rechace al menos el 80 de los disturbios.
D(s)
K1
X
X
El error en régimen permanente de un sistema de
retroalimentación unitaria con entrada de salto
unitario es de 0.7. Cuál sería el error de la
planta en lazo abierto para el mismo salto
unitario de entrada?
Determine la región en el plano de s donde debe
estar los polos de un sistema de segundo orden
para que la respuesta a un salto unitario tenga
un por ciento de rebase de 16.3 aproximadamente,
y un tiempo de establecimiento igual a 2
segundos. Calcule el tiempo pico de estar los
polos en el sitio que usted indica.
Dado un sistema con función de transferencia
igual a Determine el desvío máximo que tiene el
sistema al tratar de seguir una entrada dde una
onda cuadrada con amplitud unitraria y periodo de
20 segundos . Justifique su respuesta
133
Controladores
GC(s)
GP(s)
X
H(s)
TS ?
P.O. ?
ess ?
134
Controlador Proporcional (P.)
GC(s) kp
Propiedades
? Fácil de usar
? Se usa junto con el root locus
? No necesariamente se puede mejorar TS y P.O.
? Error ess puede disminuir
? Es barato
-
135
Controlador Proporcional Diferencial (P.D.)
GC(s) kp kos
Propiedades
? Fácil de usar
? Se usa junto con el root locus
? TS disminuye y P.O. suele aumentar
? Error ess puede disminuir
? Es barato
-
136
Controlador Proporcional Integral (P.I.)
Propiedades
? Fácil de usar
? Se usa junto con el root locus
? P.O. puede disminuir
? Error ess disminuye
? Es barato
-
137
Controlador Proporcional Integro Diferencial
(P.I.D.)
Propiedades
? El más usado
? Fácil de conseguir
? Dismunuye ess, Ts, y OS
? Error ess disminuye
? Es BARATO porque se usa mucho
-
138
Compensadores
Exite un método
Ziegler Nichols ? 5 puntos de bono en el
proyecto al usar este método
Compensadores
Activo
Atraso
Adelanto
Pasivo
Atraso
Adelanto
139
Compensador de Adelanto
Propiedades
-c
-p
0
? Fácil de usar
? Se usa junto con el root locus
? P.O. puede disminuir
? Error ess disminuyes sin afectar OS ni TS
? Es barato
Estoy adelantando la fase
Se comporta parecido a un P.D. pero el OS no
aumenta tanto. En efecto, disminuye el TS
140
Compensador de Atraso
Propiedades
? Fácil de usar
? Se usa junto con el root locus
? P.O. puede disminuir
-c
-p
0
? Error ess disminuyes sin afectar OS ni TS
? Es barato
141
GC(s)
X
TS 1.4seg
GC(s) kp
P.O. lt 16.4 ? ? 0.5 ?? 600
E.C. s2 6s 8 kP
esslt 0.25
Siempre vamos a empezar con el controlador
proporcional P
Luego ajusto la k usando la condición de magnitud
Este controlador no me cumple para un ess menor
de 0.25
Necesito un controlador que me disminuya el
error. Alternativas son P.I.D y P. I.
142
Compensador de atraso P.I.
Compensador de atraso
-4
-2
0
-4
-2
0
Al hacer esto TS aumenta y ea un polo por
aumentar la .. en el origen. Las probabilidades
de que TS sea dañada son bien altas.
P.I.D.
-4
-2
0
143
Primer Problema del Tercer Examen

• Haga el root locus del sistemas
• Halle el rango de K tal que el sistema sea
  estable y se pueda aproximar a un sistema
• sub-amortiguado de segundo orden. (Hint Utilice
  la condición de magnitud del root locus

k
X
144
Segundo Problema del Tercer Examen

• Haga el root locus del sistemas
• Halle el rango de K tal que el tiempo de
  establecimiento sea igual a 1.6 segundos, y la
  constante de
• amortiguamiento sea igual a 0.7071

K
X
145
Determine el root locus de los siguientes sistemas