Sistemas no Lineales de Ecuaciones Diferenciales Estabilidad de Sistemas de EDO

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Sistemas no Lineales de Ecuaciones Diferenciales
- Estabilidad de Sistemas de EDO
Tema V
Ecuaciones Diferenciales
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ProblemaDifícil o aún imposible resolver una
E.D. en especial si es no lineal
Problemática
Que hacer?
Encontrar información cualitativa acerca de las
soluciones
Ecuaciones Diferenciales
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Puntos Críticos y Retrato de Fase
Fluido circulando a lo largo de la línea real,
con velocidad local
EDO Autónoma
Retrato de Fase
Trayectorias
Ecuaciones Diferenciales
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Puntos Críticos y Estabilidad
Los valores de x que anulan la EDO se denominan
Puntos Críticos
Puntos Críticos representan Equilibrio
A esta solución se la denomina Solución de
Equilibrio
Ecuaciones Diferenciales
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Ejemplo
Consideremos una ecuación diferencial para un
modelo poblacional
Con ? y ? constantes reales
Ecuaciones Diferenciales
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Ejemplo
Un punto crítico de una ecuación diferencial
autónoma se dice estable si partiendo de un punto
x0 cercano a x, la solución x(t) permanece
cercana x, para todo t gt 0.
Ecuaciones Diferenciales
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Estabilidad en un Sistema EDO
F(x,y) y G(x,y) son clase C 1 en alguna región R
del plano xy. Esta Región se denomina Plano de
Fase
Además, como la variable t no aparece
explícitamente en las funciones
F(x,y) y G(x,y), el sistema se dice que es
autónomo.
Del teorema de existencia y unicidad se sigue que
si t0 es cualquier número y (x0 , y0) es
cualquier punto del plano de las fases, existe
una única solución del sistema de EDO (3)
Ecuaciones Diferenciales
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Solución de Equilibrio
Punto Crítico
Una solución tal de valor constante se
denomina Solución de Equilibrio
En lo que sigue supondremos que todo punto
crítico es aislado, en el sentido que existe un
entorno centrado en (x0,y0) que no contiene
ningún otro punto crítico.
Ecuaciones Diferenciales
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Trayectorias y Plano de Fase

• Si (x0,y0) no es un punto crítico
  
• Trayectoria curva en el plano xy
• (x(t) , y(t)) se moverá por esa curva a
  medida que t aumente
• Trayectorias curvas no degeneradas, no se
  intersectan a si mismas
• Plano de fase muestra cualitativamente el
  comportamiento de las soluciones
• El comportamiento cerca de los puntos
  críticos es de especial interés

Ecuaciones Diferenciales
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Ejemplo
Punto crítico (0,0)
Ecuaciones Diferenciales
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Nodos
Nodo propio
Nodo impropio
Ecuaciones Diferenciales
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Estabilidad
Si (x0,y0) está suficientemente cercano a (x,y)
Entonces (x,y) es un punto crítico estable

Ecuaciones Diferenciales
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Centros Estables
Consideremos una masa que oscila sin
amortiguamiento
Punto crítico (0,0)
centro estable
Ecuaciones Diferenciales
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Estabilidad Asintótica
Hacer Ej. 1 y 2
Ecuaciones Diferenciales
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Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales
Sistema EDO lineal de 1 orden
Det. de la matriz de coeficientes, A
(0,0) es el único punto crítico
(1)
solución no trivial del sistema
? son los valores propios de la matriz de
coeficientes A de (1), los que se calculan a
partir de det (A - ? I ) 0
Ecuaciones Diferenciales
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Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales
Casos Principales


Casos Frontera
Ecuaciones Diferenciales
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• ?1 lt ?2 lt 0

Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones Diferenciales
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b) 0 lt ?1 lt ?2 El tratamiento matemático es
similar al anterior pero el punto crítico es
inestable, es decir, las trayectorias se alejan
del punto crítico cuando t? ? .
Ecuaciones Diferenciales
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Considerando ?1 lt 0 y ?2 gt 0 Valen las mismas
deducciones que para el caso anterior.
El punto crítico (0,0) es inestable, cuando t? ?,
las soluciones se alejan del punto crítico.
(Figura 2)
Un punto crítico con estas características se
denomi-na punto silla y es siempre inestable.
Ecuaciones Diferenciales
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En este caso los valores propios son ?1,2 ? ? ?
i, con ? ? 0.
La expresión de la solución ya fue tratada en el
capítulo anterior. Tomando ?1 ? ? i

?
Ecuaciones Diferenciales
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Las ecuaciones corresponden a trayectorias que
giran en forma de espirales (por ser ? ?
0). Queda por determinar el sentido de giro de
estas trayectorias y la estabilidad del punto
crítico. Para determinar el sentido de giro
debemos hacer cambio de coordenadas


Ecuaciones Diferenciales
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Luego de un desarrollo que pueden ver en el
apunte, llegamos a la siguiente conclusión


Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones Diferenciales
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? a es un valor propio múltiple defectuoso. Ya
vimos que la expresión de la solución es
Supongamos ? lt 0.



Si c2 ? 0 Las soluciones son curvas y como ? lt
0, las trayectorias tienden a (0,0) cuando t??.
Esto es
Ecuaciones Diferenciales
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y cuando t??,
(lo mismo para el denominador)

• Cuando t?-?, haciendo el mismo análisis, la
  trayectoria (y la solución) tiende a infinito en
  la
• dirección .

Ecuaciones Diferenciales
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En este caso los valores propios son ?1,2 ? ? ?
i, con ? 0. Siguiendo el procedimiento visto
para valores propios complejos conjugados, pero
teniendo en cuenta que ? 0, se llega a
A los fines de analizar el sentido, vale lo visto
para el caso C, con ? 0.
Ecuaciones Diferenciales
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Estabilidad y trayectorias para puntos críticos
de sistemas de EDO de primer orden lineales


Resolver Ej. 3
Ecuaciones Diferenciales
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Puntos Críticos Simples de Sistemas no Lineales
(0,0) punto crítico
Si ?x? e ?y? son pequeños, es decir cuando (x,y)
está muy cerca del origen
f(x,y) y g(x,y) son perturbaciones
Cerca de (0,0) el comportamiento del sistema
lineal será similar al no lineal
f(x,y) y g(x,y) son continuas y tienen derivadas
continuas
Punto Crítico Simple
Ecuaciones Diferenciales
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Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales
Si (0,0) es un punto crítico simple de un sist.
no lineal (cuasi lineal) y consideramos el sist.
lineal asociado, se presentan los siguientes
casos
Casos Principales


Casos Frontera
Ecuaciones Diferenciales
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Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales
Si bien el punto crítico es de la misma especie,
las trayectorias pueden ser diferentes.


Punto Silla Sistema No Lineal
Si (0,0) es un punto crítico simple de un sist.
lineal asociado, asintóticamente estable,
entonces el punto crítico del sistema no lineal
(cuasi lineal) es también asintóticamente
estable. Lo mismo vale para la inestabilidad.
Resolver Ej. 4
Ecuaciones Diferenciales
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Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales
Que hacer cuando un punto crítico es distinto del
(0,0) ?


.
Ecuaciones Diferenciales
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Péndulo Simple
Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones para el Péndulo
Ecuaciones Diferenciales
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Transformación a un sistema EDO
Ecuaciones Diferenciales
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Puntos Críticos
Ecuaciones Diferenciales
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Puntos Críticos
Ecuaciones Diferenciales
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Péndulo sin amortiguamiento
Péndulo sin amortiguamiento -
Trayectorias
Ecuaciones Diferenciales
39
Péndulo sin amortiguamiento
Péndulo sin amortiguamiento -
soluciones
Ecuaciones Diferenciales
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Péndulo con amortiguamiento
Ecuaciones Diferenciales
41
Péndulo sin amortiguamiento
Ecuaciones Diferenciales