Title: Optimisation linaire
1Optimisation linéaire
- Recherche opérationnelle
- GĂ©nie Civil
2Algorithme du simplexe
3Rappel
- Si un problème de programmation linéaire en forme
standard possède une solution optimale, alors il
existe une solution de base admissible qui soit
optimale. - MĂ©thode du simplexe passer dune solution de
base admissible à lautre, en réduisant le coût.
4Problème
- avec
- A matrice m lignes n colonnes
- lignes de A linéairement indépendantes
- On note P x Ax b, x Âł 0
- Problème en forme standard
5Direction admissible
- Idée de lalgorithme
- Soit x0 une solution de base admissible
- Pour k0,. faire
- Trouver xk1 sol. de base adm. voisinetelle que
cTxk1 lt cTxk - JusquĂ ce quaucune sol. de base adm. voisine
naméliore lobjectif. - On trouve alors un minimum local
- En programmation linéaire, minimum local
minimum global.
6Direction admissible
- Soit x ? P. On va se déplacer le long dune
direction d ? IRn. - d doit nous maintenir dans P
- DĂ©finition
- Soit x un élément dun polyèdre P. Un vecteur d ?
IRn est appelé direction admissible en x sil
existe un scalaire positif ? tel que - x ?d ? P
7Direction admissible
direction non admissible
direction admissible
toutes les directions sont admissibles
direction admissible
8Direction admissible
- Soit x une solution de base admissible
- Soient B(1),,B(m) les indices des variables de
base - Soit BAB(1) AB(m) la matrice de base associée
- xi 0 pour toute variable hors base
- xB(xB(1),,xB(m)) B-1 b
9Direction admissible
- Comment déterminer x?d ?
- Choisir une variable j hors base (qui vaut 0)
- Augmenter sa valeur jusquĂ ?, tout en gardant
les autres variables hors base à zéro. Donc - dj 1
- di 0, i ? j, i indice hors base
10Direction admissible
- Il faut rester admissible
- A(x ? d) b
- Ax ? Ad b
- x est admissible, et donc Ax b
- Pour que x ? d soit admissible, il faut que
- Ad 0
11Direction admissible
12Direction admissible
- Nous obtenons
- dB - B-1 Aj
- La direction d ainsi obtenue est appelée jième
direction de base - Elle garantit que les contraintes dégalité
seront vérifiées lorsque lon séloigne de x le
long de d. - Quen est-il des contraintes de non négativité ?
13Direction admissible
- Variables hors-base
- xj Ă©tait nulle et devient positive ?
- xi, i?j, restent à zéro ?
- Variables de base.
- Si x est une solution de base admissible non
dégénérée, alors xB gt 0.Lorsque ? est
suffisamment petit - xB ? dB Âł 0 ?
14Direction admissible
- Variables de base.
- Si x est une solution de base admissible
dégénérée, alors d nest pas toujours une
direction admissible. - Cest le cas lorsque quune variable de base xi
0 et que la composante correspondante di de la
direction est négative. - Si x est une solution de base admissible non
dégénérée, la jième direction de base en x est
admissible, pour tout j indice de base.
15Conditions doptimalité
- Quels sont les impacts sur la fonction objectif ?
- cT(x ? d) cTx ? cTd
- cTd taux de modification du coût le long de d
16Conditions doptimalité
- Comme dB - B-1 Aj, on obtient
- cTd cj - cTB B-1 Aj
- Interprétation intuitive
- en augmentant xj, cela coûte cj
- - cTB B-1 Aj est le prix à payer pour vérifier
Axb. - DĂ©finition
- Soit x une solution de base, soit B la matrice de
base associée, et cB le vecteur de coût pour les
variables de base. Pour chaque j, le cout réduit
est défini par - cj cj - cTB B-1 Aj
17Conditions doptimalité
- Note
- le coût réduit a été introduit pour les variables
hors base. - il est défini pour toutes les variables.
- que vaut-il pour les variables de base ?
18Conditions doptimalité
- Soit B(i) indice dune variable en base.
- Le coût réduit est cB(i) - cTB B-1 AB(i)
- B AB(1) AB(m)
- B-1 AB(1) AB(m) I
- B-1 AB(i) ei (iième colonne de I)
- cB(i) cB(i) - cTB B-1 AB(i)
- cB(i) - cTBei
- cB(i) - cB(i)
- 0
- Le coût réduit des variables de base est nul
19Conditions doptimalité
- Théorème
- Considérons une solution de base admissible x,
associée à une matrice de base B. Soit c le
vecteur de coûts réduits correspondant. - Si c ³ 0, alors x est optimal
- Si x est optimal et non dégénérée, alors c ³ 0.
20Développement de la méthode du simplexe
- Supposons quaucune solution de base admissible
ne soit dégénérée. - Nous sommes à une solution de base admissible x
- Les coûts réduits cj ont été calculés pour les
variables hors-base. - Sils sont tous positifs, x est solution
optimale. On arrĂŞte.
21Développement de la méthode du simplexe
- Sinon, il existe une variable hors base xj dont
le coût réduit cj est négatif. - La jième direction de base est donc une direction
admissible le long de laquelle le coût diminue. - La variable j devient positive. On dit quelle
entre dans la base.
22Développement de la méthode du simplexe
- On veut aller le plus loin possible le long de d,
en restant admissible. - On cherche ? tel que
- ? max ? Âł 0 x?d ? P
- Comment calculer ? ?
- Comme d est admissible, la seule manière de
 quitter P est lorsquune variable devient
négative.
23Développement de la méthode du simplexe
- Si d Âł 0, alors x ? d Âł 0 pour tout ?.
- plus ? est grand, plus le coût diminue
- ? ?
- le problème est non borné
- Sil existe i tel que di lt 0, la contrainte
- xi ? di Âł 0
- devient
- ? -xi / di
- ? doit vérifier toutes les contraintes
- ? mini dilt0(-xi/di)
24Développement de la méthode du simplexe
x2
??1
x
x?1d
d
x?2d
x1
25Développement de la méthode du simplexe
- Notes
- Si xi est une variable hors base, di Âł 0 (car
di0 ou di 1) - Il suffit donc de regarder les variables de base
- ? mini 1,,m dB(i)lt0(-xB(i)/dB(i))
- Comme x est non dégénéré, xB(i) gt 0 pour tout
i1,m. Et donc, ? gt 0.
26Exemple
27Exemple
28Exemple
- Calcul des coûts réduits
- Uniquement pour les variables hors base (x3 et x4)
- Négatif. La 3ième direction de base réduit le
coût.
29Exemple
- 3ième direction de base d3 1 d4 0
30Exemple
?1 -x1/d1-1/(-3/2)2/3
31Exemple
- Notes
- Nouvelle solution de base admissible
- x3 remplace x1 dans la base
- A2 et A3 correspondent aux variables non nulles
- Base
32Développement de la méthode du simplexe
- Si d est la jième direction de base
- Si k est lindice tel que
- ? -xB(k)/dB(k)mini 1,,m
dB(i)lt0(-xB(i)/dB(i)) - On dit que
- xj entre dans la base
- xB(k) sort de la base
33Développement de la méthode du simplexe
- Théorème
- Les colonnes AB(i), i?k, et Aj sont linéairement
indépendantes, et donc B est une matrice de base. - Le vecteur yx ?d est une solution de base
admissible associée à B.
34Développement de la méthode du simplexe
- Une itération de la méthode du simplexe
- Soit une base BAB(1),,AB(m) et x une solution
de base admissible associée à B. - Calculer les coûts réduits pour chaque indice j
hors base - cj cj - cTB B-1 Aj.
- Sils sont tous non négatifs, la solution
courante est optimale. STOP.
35Développement de la méthode du simplexe
- Choisir j tel que cj lt 0, et calculer
- dB -B-1 Aj.
- Si aucune composante de dB nest négative, alors
le coût optimal est infini. STOP. - Calculer
- ? -xB(k)/dB(k)mini 1,,m
dB(i)lt0(-xB(i)/dB(i))
36Développement de la méthode du simplexe
- Former une nouvelle base en remplaçant AB(k) par
Aj. - Si y est la nouvelle solution de base
admissible, les valeurs des nouvelles variables
de base sont - yj ?
- yB(i) xB(i) ? dB(i), i?k.
37Développement de la méthode du simplexe
- Théorème
- Supposons que lensemble admissible est non vide,
et que chaque solution de base admissible est non
dégénérée. Alors, la méthode du simplexe se
termine après un nombre fini ditérations. A la
fin, on obtient - soit une solution optimale
- soit une direction d telle que Ad0, dÂł0 et cTd lt
0. Le coût optimal est alors -?.
38Développement de la méthode du simplexe
- Notes
- Que se passe-t-il si lalgorithme est utilisé en
présence de solutions de base admissibles
dégénérées ? - Si la solution de base admissible courante x est
dégénérée, il se peut que ? soit égal à zéro.
Cest le cas si une variable de base xi 0 et
que la composante correspondante di lt 0. - Cela nempêche cependant pas de définir une
nouvelle base, mĂŞme si la solution de base
admissible nest pas modifiée.
39Développement de la méthode du simplexe
- MĂŞme si ? gt 0, il se peut que plus dune
variables de base deviennent zéro. La nouvelle
solution de base admissible sera donc dégénérée. - Il peut être utile de changer de base sans
changer la solution de base admissible. - Mais il faut Ă©viter de cycler.
40Développement de la méthode du simplexe
B(1)5, B(2)6, B(3)7 B-1 B I xBB-1bb
cB
41Développement de la méthode du simplexe
- Coût réduit pour j 1.
- La variable x1 va rentrer en base.
42Développement de la méthode du simplexe
?0
43Développement de la méthode du simplexe
- Note
- Etape 3 Choisir j tel que cj lt 0.
- Lalgorithme ne spécifie pas quelle variable
choisir pour rentrer dans la base. - Plusieurs règles existent.
- Retenons la règle de Bland
- Parmi les j tels que cj lt 0, choisir lindice le
plus petit
44Tableau du simplexe
- Il y a plusieurs manières dimplémenter
lalgorithme du simplexe. La méthode du tableau
est lune des plus efficaces. - Idée
- Maintenir en permanence
- B-1A b B-1A1 B-1An B-1b
- Cette matrice sappelle le tableau du simplexe
- La dernière colonne contient les valeurs des
variables en base. - Les autres colonnes permettent de calculer cj et
dB
45Tableau du simplexe
46Tableau du simplexe
B(1)4, B(2)5, B(3)6
BB-1I
47Tableau du simplexe
B-1b
B-1A
48Tableau du simplexe
- DĂ©finitions
- Lors dune itération du simplexe
- Si j est lindice de la variable qui entre en
base, la colonne B-1Aj est appelée colonne du
pivot. - Si la variable de base B(k) sort de la base, la
ligne k du tableau est appelée ligne du pivot. - Lélément qui se trouve sur la ligne du pivot et
la colonne du pivot est appelé le pivot.
49Tableau du simplexe
- Notes
- Pour les variables en base
- B-1 AB(i) ei
- Si i est lindice dune variable en base, la
colonne B(i) du tableau est ei. Elle contient
uniquement des zéros, sauf en ligne i dont
lélément est 1.
50Tableau du simplexe
B-1b
B-1A
B(1)4, B(2)5, B(3)6
51Tableau du simplexe
x4
x5
x6
52Tableau du simplexe
- On augmente le tableau avec une ligne relative
aux coûts - cT cTBB-1A -cTBB-1b
- -cTBB-1b -cTBxB -cTx
- - fonction objectif
- cT cTBB-1A
- coûts réduits
53Tableau du simplexe
- Le tableau complet sera donc
54Tableau du simplexe
B-1b
B-1A
cT cTBB-1A
-cTBB-1b
55Tableau du simplexe
- Appliquons lalgorithme
- Solution de base admissible
- B(1)4, B(2)5, B(3)6
- (0,0,0,20,20,20)
- Coûts réduits
- dernière ligne du tableau
- Choisir un coût réduit négatif
- c1 -10, c2 -12, c3-12
- Règle de Bland j 1
- -dB B-1Aj colonne j (1 2 2)T
56Tableau du simplexe
?120/1
?220/2
?320/2
?10 k2
-dB
xB
57Tableau du simplexe
- Former une nouvelle base
- Ancien tableau B-1A b
- Nouveau tableau B-1A b
- Idée trouver une matrice Q telle que
58Tableau du simplexe
- DĂ©finition
- Soit une matrice C. LopĂ©ration consistant Ă
ajouter un multiple dune ligne Ă cette mĂŞme
ligne ou à une autre ligne est appelée une
opération élémentaire de ligne. - Cela revient à pré-multiplier C par une matrice
carrée Q, construite de manière adéquate.
59Tableau du simplexe
- Multiplier la 3ième ligne par 2 et lajouter à la
première
60Tableau du simplexe
- Dune manière générale,
- multiplier la ligne j par b
- et lajouter Ă la ligne i ? j
- revient à pré-multiplier par Q I Dij
- oĂą Dij contient uniquement des 0, sauf la ligne
i, colonne j, qui contient b. - Q est inversible
- Une suite dopérations élémentaires de ligne
revient donc à prémultiplier par une matrice
inversible.
61Tableau du simplexe
- B AB(1),,AB(k-1),AB(k),AB(k1),,AB(m)
- B AB(1),,AB(k-1),Aj,AB(k1),,AB(m)
- B-1AB(i) ei
- B-1B e1,,ek-1,B-1Aj,ek1,,em
- Si u B-1Aj, on a
62Tableau du simplexe
- Comment transformer cette matrice en lidentité ?
- Utilisons des opérations élémentaires de ligne.
- Pour tout i ? k, on ajoute la kième ligne
multipliée par ui/uk - On divise la kième ligne par uk
- Cela revient à prémultiplier par une matrice Q
- QB-1B I et donc QB-1B-1
63Tableau du simplexe
- Si on applique les opérations élémentaires de
ligne suivantes Ă la matrice B-1, on obtient la
matrice B-1 - Pour tout i ? k, on ajoute la kième ligne
multipliée par ui/uk - On divise la kième ligne par uk
- Ces opérations sont donc appliquées au tableau du
simplexe. - Cela sappelle un pivotage.
-
64Tableau du simplexe
- Reprenons lexemple
- B(1)4, B(2)5, B(3)6
- xT (0, 0, 0, 20, 20, 20)
- ? 10
- dT (1, 0, 0, -1, -2, -2)
- yT (x ?d)T (10, 0, 0, 10, 0, 0)
- x1 rentre en base
- x5 sort de base
- Attention y est sol. de base adm. dégénérée.
65Tableau du simplexe
66Tableau du simplexe
- Dernière ligne du tableau
- Avant pivotage
- -cBTB-1b cT-cBTB-1A
- 0 cT cBTB-1 b A
- Après pivotage, on peut montrer
- 0 cT cBTB-1 b A
67Tableau du simplexe
- Algorithme
- Soit une matrice de base B, une solution de base
admissible x et le tableau du simplexe associés. - Examiner les coûts réduits dans la dernière ligne
du tableau. Sils sont tous non négatifs, la
solution de base admissible courante est
optimale. STOP. - Sinon, choisir j tel que cj lt 0
68Tableau du simplexe
- Soit uB-1Aj, la jième colonne du tableau. Si
aucune composante de u nest positive, le coût
optimal est -?. STOP. - Pour chaque i tel que ui gt 0, calculer xB(i)/ui.
Soit k lindice de la ligne correspondant au
rapport le plus petit. La colonne AB(k) sort de
la base. La colonne Aj rentre en base. - Effectuer des opérations élémentaires de ligne
pour que la colonne du pivot ne contienne que des
zéros, sauf à lemplacement du pivot, qui doit
ĂŞtre 1.
69Tableau du simplexe
?120/1
?220/2
?320/2
?110
?210
Dégéné-rescence
Attention Bland non utilisé ici
70Tableau du simplexe
?120/3
?34
71Tableau du simplexe
72Tableau du simplexe
x3
x1
x2
73Tableau du simplexe
- Lorsque certaines solutions de base admissibles
sont dégénérées, lalgorithme peut cycler. Pour
lempêcher, régle de Bland. - Variable entrant en base choisir lindice j le
plus petit tel que le coût réduit est négatif - Variable sortant de base en cas dégalité pour
?, choisir la variable dindice minimale.