Thorie des graphes

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Théorie des graphes
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Plan du cours

• Que peut-on faire avec la théorie des graphes ?
• Concepts généraux en théorie des graphes
• 2. Le problème du plus court chemin
• 3. Flots et réseaux de transport

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Le problème du plus court chemin

• Définition
• Exemples de formulation avec pcch
• Graphes sans circuit
• Graphes à valuations quelconques
• - Algorithme de Ford
• - Algorithme de Bellman-Kalaba
• Graphes à valuations positives
• Algorithme de Moore-Dijkstra (1959)

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Graphe orienté valué

• Un graphe orienté valué G est défini par
• Un ensemble de sommets X.
• Un ensemble darcs U ? X2.
• Une valuation V U ? R qui à chaque arc du
  graphe associe une valeur réelle (longueur,
  poids..).

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Exemple de graphe orienté valué
7
a
d
4
2
3
f
e
1
4
3
5
1
c
b
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Le problème du plus court chemin Définition
7
Le problème du plus court chemin Exemples

• Exemple 1 Construire une autoroute entre deux
  villes A et K
• Arcs tronçons possibles de lautoroute
• Valuation des arcs peut être
• coût de réalisation correspondant
• longueur du trajet

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Le problème du plus court chemin Exemples

• Exemple 2 Chemin le plus fiable dans un réseau
  de télécommunication
• Arêtes liens physiques
• Valuation des arêtes (i,j) est pij fiabilité du
  lien (la probabilité pour que le lien fonctionne)
• La fiabilité dun chemin est le produit des
  probabilités des liens qui le constituent
• Le problème devient un problème de pcch en
  remplaçant chaque probabilité par aij - log pij

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Le problème du plus court chemin Exemples

• Exemple 3 Problème de sac à dos
• Un sac à dos de capacité b
• n objets j1n
• aj poids de lobjet j
• pj profit de lobjet j
• Objectif déterminer un sous ensemble dobjets
  de profit maximal respectant la capacité du sac.

Maximiser ?j pjxj s.c. ?j aj xj ? b avec xij
1 si lobjet est choisi et 0 sinon
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Le problème du plus court chemin Exemples

• Exemple 3 Problème de sac à dos
• n(b1) sommets notés j(k), j1,2,,n et k0,1,,b
• Un sommet origine s et un sommet destination t
• Un sommet j(k) a deux arcs entrants (sils
  existent)
• Un arc de (j-1)(k) valué par 0
• Un arc de (j-1)(k-aj) valué par pj
• Deux arcs de s vers 1(0) et 1(a1) valués par 0 et
  p1
• Un arc de valuation 0 entre chaque sommet n(k) et
  t
• Un chemin de s à j(k) correspond a un sous
  ensemble des j premiers objets dont le poids
  total est égal à k. La longueur du chemin est la
  valeur du sous ensemble

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Algorithme de Ford
Chemin de poids minimal
Initialisation ?1 0 ? j ?1 ?j 8
?j ?i wij

• (xi , xj) ? U
• ?j gt ?i wij

FIN
OUI
NON
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Algorithme de Ford
Chemin de poids maximal
Initialisation ?1 0 ? j ?1 ?j - 8
?j ?i wij

• (xi , xj) ? U
• ?j lt ?i wij

FIN
OUI
NON
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Algorithme de Bellman-Kalaba
Chemin de poids minimal
Initialisation k 0 ?1(k) 0 ? j ? 1 ?j(k)
8

• k k 1
• ?1(k) 0 ? j ? 1 ?j(k) min ?i(k-1) wij

• xj ? X
• ?j (k) ? ?j (k-1)

FIN
NON
OUI
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Algorithme de Bellman-Kalaba
Chemin de poids maximal
Initialisation k 0 ?1(k) 0 ? j ? 1 ?j(k)
- 8

• k k 1
• ?1(k) 0 ? j ? 1 ?j(k) max ?i(k-1) wij

• xj ? X
• ?j (k) ? ?j (k-1)

FIN
NON
OUI
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Algorithme de Dijkstra

• détermine les plus courts chemins d'un sommet x1
  à tous les autres sommets d'un graphe G (X,U).
  Il suppose que les longueurs sur les arcs sont
  positives ou nulles. L'idée de cet algorithme est
  de partager les sommets en deux groupes ceux
  dont on connaît la distance la plus courte au
  sommet x1 (ensemble D) et ceux dont on ne connaît
  pas cette distance. On part avec x1 dans D et
  tous les autres sommets nappartenant pas à D.
  Tous les sommets ont une distance infinie
  (p(x)  oo) avec le point x1, excepté le point
  x1 lui-même qui a une distance nulle (p(x1)  0).
  A chaque itération, on choisit le sommet x qui a
  la plus petite distance au sommet x1 . Ce sommet
  est déplacé dans D. Ensuite, pour chaque
  successeur y de x, on regarde si la distance la
  plus courte connue jusque là entre x1 et y ne
  peut pas être améliorée en passant par x. Si
  c'est le cas, p(y) est modifiée. Ensuite, on
  recommence avec un autre sommet.

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Chemin de poids minimal
Algorithme de Dijkstra
Initialisation D x1 ?1 0 ? j ? 1 ?j
w1j
?k min ?j ? xj ? D D D ? xk ?j
min ?j , ?k wkj ? xj ? D
xn ? D
FIN
NON
OUI
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Chemin de poids minimal
Obtention du chemin à partir des poids minimaux
Initialisation xk xn C ( xn )
Chercher xj ? X ?k ?j wjk xk xj C (
xk , C )
xk x1
FIN
NON
OUI