GEOGF211 Principes de cartographie topographique et projections

1
GEOG-F-211Principes de cartographie
topographique et projections
Dimitri Leemans
BA2 et BA3 en Géographie Licence en Géographie
2
V. Quelques projections cartographiques en détails

• Projections cylindriques
• Projections coniques
• Projections azimutales perspectives
• Projections équivalentes pour la Terre entière

3
V.1 Projections cylindriques
C
y
P
D
(f)
k
K (f,l)
m
c
d
O
x
E
E
(l)
D
C
4
V.1 Projections cylindriques

• Projection cylindrique centrale
• Il sagit du développement, sur un plan, dune
  perspective opérée sur le cylindre tangent le
  long de léquateur, à partir dun point de vue
  situé au centre de la sphère.

f30
f15
f
l1
l2
l3
5
V.1 Projections cylindriques cylindrique
centrale
Les méridiens sont des droites parallèles
équidistantes les parallèles sont des droites
perpendiculaires aux méridiens. Le planisphère
est un rectangle de largeur 2p(E-O) et de hauteur
infinie.
6
V.1 Projections cylindriques cylindrique
centrale
Propriétés La projection nest ni conforme ni
équivalente, ni équidistante.
7
V.1 Projections cylindriques cylindrique
centrale
Léchelle est maximale sur les méridiens m
longueur de la repr. Plane dun arc de
méridien compris entre léquateur et un point
de latitude f
8
V.1 Projections cylindriques cylindrique
centrale
Léchelle est minimale sur les parallèles Att
ention ce système na aucune utilisation,
simplement un intérêt didactique !!! Souvent
confondue avec celle de Mercator !
9
V.1 Projections cylindriques cylindrique
centrale
10
V.1 Projections cylindriques cylindrique
centrale
11
V.1 Projections cylindriques

• La plate carrée
• Le plus simple de tous les systèmes de
  projections cylindriques équidistant le long de
  léquateur et le long de chaque méridien.
• Lune des plus anciennes projections connues.
• A été étudié par Dicéarque et Erathostène (4è et
  3è siècle avant J.C.), peut-être même par
  Anaximandre (-550).

12
V.1 Projections cylindriques plate carrée
Un point (f,l) est représenté par des coordonnées
rectangulaires égales à Lordonnée est égale
à la longueur exacte de larc de méridien compris
entre léquateur et le point de latitude f.
13
V.1 Projections cylindriques plate carrée
Propriétés La projection est équidistante le long
de léquateur et le long de chaque méridien mais
respectivement dans la seule direction de
léquateur et dans la seule direction du
méridien. Le planisphère est représenté par un
rectangle dont les dimensions sont 2p dOuest
en Est et p du Nord au Sud. Les bords N et S de
ce rectangle représentent les 2 pôles les bords
O et E représentent doublement lantiméridien.
14
V.1 Projections cylindriques plate carrée
15
V.1 Projections cylindriques plate carrée

• Calcul de léchelle de la projection
• Suivant le méridien
• Suivant le parallèle
• Cas de la sphère

16
V.1 Projections cylindriques plate carrée
Léchelle de la projection est donc maximale le
long des parallèles, le minimum (1) est obtenu
le long de léquateur et des méridiens. Ce sont
les demi-axes de lellipse de Tissot. Avec
lapproximation qui consiste à remplacer
lellipsoïde par une sphère, on obtient
17
V.1 Projections cylindriques plate carrée
La projection est à la fois conforme et
équidistante sur léquateur, mais uniquement sur
cette ligne. Depuis lemploi qui en a été fait
dans lantiquité, on peut citer la carte de la
Guinée dressée par dAnville en 1776. Cette
projection peut convenir à une bande équatoriale
assez étroite à la latitude de 15,léchelle ne
varie quentre 1 et 1,035. On lui préfère
généralement la projection de Mercator. Son
aspect transverse est la projection de Cassini.
18
V.1 Projections cylindriques plate carrée
19
V.1 Projections cylindriques plate carrée
Léchelle est maximale selon les parallèles et
minimale selon les méridiens. Léchelle de
superficie est égale à léchelle de la projection
suivant le parallèle.
20
V.1 Projections cylindriques

• Cartes plates rectangulaires
• Les méridiens sont représentés par des droites
  parallèles équidistantes, les parallèles aussi,
  mais lintervalle des méridiens est déterminé de
  façon à assurer le long des parallèles de
  latitude donnée davance f0 et -f0 la même
  échelle que sur les méridiens.

21
V.1 Projections cylindriques plates
rectangulaires
Avantages par rapport à la plate carrée
elle altère moins les régions tempérées et
subpolaires (au détriment des régions
équatoriales).
22
V.1 Projections cylindriques plates
rectangulaires

• La projection est équidistante le long des deux
  parallèles choisis et le long de chaque méridien.
• Calcul de léchelle de la projection au point
  (f,l)
• Suivant le méridien h1
• Suivant le parallèle (W1 si sphère)

23
V.1 Projections cylindriques
Projection cylindrique équivalente de
Lambert Développement cylindrique équivalent de
Lambert ou projection isocylinrique (Lambert
XVIIIè siècle) Sous la seule réserve dadmettre
lhypothèse simplificatrice consistant à
remplacer lellipsoïde par une sphère, ce système
de projection est un des rares qui soient
susceptibles dune définition géométrique directe.
24
V.1 Projections cylindriques Lambert équivalente
Expression des coordonnées Le
planisphère est représenté par un rectangle dont
les dimensions sont 2p (Ouest-Est) et 2
(Nord-Sud).
90
20
10
0
25
V.1 Projections cylindriques Lambert équivalente

• échelle de la projection
• Suivant un parallèle
• Suivant un méridien

26
V.1 Projections cylindriques Lambert équivalente
On déduit des deux relations kh1 gt Projection
équivalente dans le cas de la sphère.
27
V.1 Projections cylindriques Lambert équivalente
En cartographie à grande échelle, on ne la
trouve que dans les cartes de la Somalie
italienne. On rencontre son aspect transverse
dans certains Atlas.
28
V.1 Projections cylindriques Lambert équivalente
Faute dadmettre cette approximation, la
projection perdrait son caractère géométrique. On
obtiendrait
29
V.1 Projections cylindriques Lambert équivalente
Lexpression de la condition déquivalence apbm1
conduirait à poser une équation différentielle
dont lintégration donnerait pour m une fonction
compliquée de f.
30
V.1 Projections cylindriques Lambert équivalente
Table de la projection (cas de la sphère)
31
V.1 Projections cylindriques
Projection de Cassini ou Projection des cartes
plates carrées transverses Imaginée par Cassini
pour la carte de France (1745) (choix dun
méridien central POP passant par Paris) elle
constitue laspect transverse des plates carrées.
32
V.1 Projections cylindriques Cassini
Ayant fait le choix dun méridien central, POP,
on définit dabord la position dun point M
quelconque sur la sphère par rapport au méridien
central et au grand cercle EMHE qui lui est
perpendiculaire et qui passe par M. Les deux arcs
de grands cercles OHY et HMX définissent la
position de M (latitude et longitude transverses)
33
V.1 Projections cylindriques Cassini
P
En projection, on représente léquateur et le
méridien par deux droites perpendiculaires quon
prend comme axes des x et des y. -gt le point M
est représenté en projection par des coordonnées
x et y telles que
X
H
M
O
Y
E
E
D
O
C
P
34
V.1 Projections cylindriques Cassini
Etant donné que x et y sont liés aux coordonnées
géographiques f et l par les relations on a
35
V.1 Projections cylindriques Cassini
Si léchelle de la projection est 1 sur
léquateur, les dimensions du planisphère sont p
dOuest en Est et p du Nord au Sud. Les bords
Ouest et Est de ce rectangle représentent les
pôles (au sens géométrique du terme) du méridien
central, E et E les bords Nord et Sud
représentent doublement la moitié EOE de
léquateur.
36
V.1 Projections cylindriques Cassini
Propriétés Comme la plate carrée, ni conforme, ni
équivalente. Conserve léchelle le long de
léquateur et le long des grands cercles passant
par les pôles E et E du méridien central. Les
lignes dégale échelle maximale ou minimale sont
donc les droites parallèles au méridien central
il suffit pour les définir de remplacer dans la
table de la projection des plates carrées, f par
l, a par b et b par a.
37
V.1 Projections cylindriques Cassini
38
V.1 Projections cylindriques Cassini
Table de la projection (cas de la sphère)
La projection étant symétrique par rapport à ses
axes, on nen donne ici que a huitième partie
39
V.1 Projections cylindriques Cassini
Table de la projection (cas de la sphère)
La projection étant symétrique par rapport à ses
axes, on nen donne ici que a huitième partie
40
V.1 Projections cylindriques Cassini

• Utilisation
• Carte de France à léchelle du 86400ème
• Nombreux utilisateurs de Cassini au 18è et 19è
  siècle (Autriche, Hongrie, Lombardo-Vénétie,
  Emilie, Romagne, Toscane, Bavière, Würtemberg,
  Lettonie, etc.)
• A été en usage en Grande-Bretagne jusquen 1935
  pour les county-plans au 2500ème et pour les
  cartes dérivées à plus petite échelle
• Remarque chaque county-plan a son méridien
  central propre pour diminuer les altérations
  tout assemblage est donc impossible. Cest
  pourquoi lOrdonance Survey a remplacé Cassini
  par Mercator transverse (ou Gauss).

41
V.1 Projections cylindriques

• Projection conforme de Mercator
• Echelle de projection
• Les demi-axes de lellipse de Tissot sont dirigés
  
• Suivant la tangente au méridien
• A désigne le demi-grand arc de lellipse
  méridienne.

42
V.1 Projections cylindriques Mercator conforme

• Suivant la tangente au parallèle
• Condition nécessaire et suffisante pour que la
  projection soit conforme

43
V.1 Projections cylindriques Mercator conforme

• Définition dune équation différentielle qui
  permet le calcul de m en fonction de f.
• (Lellipse de Tissot est nécessairement un
  cercle par conséquent, il ny a aucune
  altération angulaire)

44
V.1 Projections cylindriques Mercator conforme
Calcul de la longueur de la représentation plane
m dun arc de méridien en fonction de la latitude
f.
45
V.1 Projections cylindriques Mercator conforme
46
V.1 Projections cylindriques Mercator conforme
formule fondamentale de la projection de
Mercator On pose
47
V.1 Projections cylindriques Mercator conforme
En exprimant m en fonction de f, la formule
fondamentale devient
48
V.1 Projections cylindriques Mercator conforme
Latitude isométrique ou variable de
Mercator Cette quantité est exactement égale
au facteur constant A près, au second membre de
la formule fondamentale.
49
V.1 Projections cylindriques Mercator conforme
Les coordonnées dun point arbitraire (f,l) sont
alors sur la carte gt La signification
physique de la latitude isométrique par référence
à la plate carrée où xRl et yRf
50
V.1 Projections cylindriques Mercator conforme
A condition de remplacer la latitude dun point
arbitraire par la latitude isométrique, on voit
que dans le système de projection de Mercator, la
portion de la Terre comprise entre deux méridiens
dont les longitudes diffèrent dune quantité
quelconque et entre deux parallèles dont les
latitudes isométriques diffèrent de la même
quantité, est représentée par un carré. Les
droites représentant les pôles sont projetées à
linfini.
51
V.1 Projections cylindriques Mercator conforme
Cas où lon remplace par approximation
lellipsoïde par une sphère
52
V.1 Projections cylindriques Mercator conforme
Altération des distances et des superficies En un
point arbitraire, laltération de distance est
constante dans toutes les directions. Par contre
cette altération croît très rapidement en
fonction de la latitude. Léchelle est donc
une fonction croissante de f.
53
V.1 Projections cylindriques Mercator conforme
Léchelle de superficie Cas de la sphère
54
V.1 Projections cylindriques Mercator conforme
Table de la projection (cas de la sphère)
55
V.1 Projections cylindriques Mercator conforme
56
V.1 Projections cylindriques Mercator conforme
Table des latitudes croissantes (en minutes darc
pour la sphère et lellipsoïde international de
Hayford)
57
V.1 Projections cylindriques Mercator conforme
Navigation maritime et aérienne Arc de
loxodromie courbe de la surface de la Terre qui
forme un angle constant avec tous les méridiens
(courbe dazimut constant). -gt commode pour un
navire ou un avion de parcourir une telle ligne
le cap (lecture au compas) doit rester
constant. Mais le chemin le plus court est donné
par la transformée de la géodésique orthodromie.
58
V.1 Projections cylindriques Mercator conforme

• Changer de cap constamment
• Solution de compromis on suit les éléments de
  loxodromie dont les sommets sont situés sur la
  route orthodromique.

Berlin-Tokyo Orthodromie 8940km Loxodromie
10273km Sydney-Lima (route maritime) Orthodromie
12887km Loxodromie 13831km
59
(No Transcript)
60
(No Transcript)
61
V.2 Projections coniques
T
r0
P
f0
T sommet du cône C(f0,l0) centre de
projection PP axe du cône Parallèle de
latitude f f0
C (f0,l0)
D
(rp)0
f0
O
N
P
Sur le cone, les méridiens sont représentés par
des génératrices le parallèle de C se
représente par une circonférence située à la
distance TC du sommet du cône.
62
V.2 Projections coniques
Dans le plan, les parallèles sont représentés par
des cercles concentriques de centre t.
t
r F(f), fonction choisie de sorte que le
système de projection satisfasse à des
exigences déterminées. qnl (n compris entre 0 et
1, fonction de f0 ou f1 et f2 imposés) On désigne
par l la différence de longitude entre un
méridien arbitraire et celui du centre de
projection considéré comme origine de longitude.
r
y
f0
q
r0
x
c
l
63
V.2 Projections coniques

• Projection conique simple
• (équidistante avec un parallèle déchelle
  conservé)
• (remonte à Ptolémée, 150 ans environ après J.C.)
• Les méridiens sont des droites rayonnantes
  formant entre elles des angles q proportionnels
  aux longitudes l.
• Le facteur de proportion n est déterminé par le
  fait que léchelle de la projection vaut 1
• le long des méridiens
• et le long du parallèle standard

64
V.2 Projections coniques conique simple

• On égale sur la sphère et dans le plan les
  valeurs dun arc de parallèle.
• (équation de condition à la latitude de f0).

65
V.2 Projections coniques conique simple
66
V.2 Projections coniques conique simple
Les parallèles sont des arcs de cercle
concentriques qui ont pour centre le point de
concours des méridiens. Pour que la condition que
lon se donne sur léchelle de la projection à la
latitude f0 soit réalisée, il faut que les rayons
des parallèles vérifient la relation
67
V.2 Projections coniques conique simple
Dans toutes les projections coniques, on a
68
V.2 Projections coniques conique simple
La projection est tronconique le pôle,
représentable, figure sous la forme dun arc de
cercle de rayon
69
V.2 Projections coniques conique simple
Propriétés Elle nest conforme que le long du
parallèle origine déchelle conservée et que le
long des méridiens. Léchelle variable en chaque
point a pour valeurs particulières
70
V.2 Projections coniques conique simple
71
V.2 Projections coniques conique simple
72
V.2 Projections coniques conique simple
Table donnant r et q pour la construction
géométrique simple (pour f030)
73
V.2 Projections coniques

• Projection de Delisle
• (ou conique équidistante avec deux parallèles
  déchelle conservés)
• Remarques
• déjà connue de Mercator qui lutilisa pour sa
  carte de lEurope (1554)
• Célèbre pour son application à la Russie

74
V.2 Projections coniques Delisle
Les méridiens ont la définition générale commune
à toutes les projections coniques Conditions
particulières au système de Delisle Léchelle sur
2 parallèles de latitude donnée et celle des
méridiens vaut 1.
75
V.2 Projections coniques Delisle
Parallèles arcs de cercle concentriques et
équidistants, ils devront avoir pour rayons
76
V.2 Projections coniques Delisle
77
V.2 Projections coniques Delisle

différence de rayons est égale à une
différence darcs de méridien étant donné la
condition déchelle sur tous les méridiens.
78
V.2 Projections coniques Delisle

79
V.2 Projections coniques Delisle

Si f0, on obtient la valeur du rayon de
léquateur rE
80
V.2 Projections coniques Delisle

Rayon des parallèles déchelle conservée
81
V.2 Projections coniques Delisle

Représentation du pôle (la projection est
tronconique)
82
V.2 Projections coniques Delisle

Si on place laxe des x tangent à
léquateur (en faisant abstraction de la
constante R)
83
V.2 Projections coniques Delisle

Propriétés Ni conforme ni équivalente
équidistante . Léchelle a des valeurs
particulières
84
(No Transcript)
85
V.2 Projections coniques Delisle

La projection de Delisle a été utilisée pour la
carte de lAllemagne au 200.000ème Les parallèles
déchelle conservée sont ceux de 50 et
53. Exercice calculer la variation déchelle en
supposant la carte calculée sur la sphère pour
des différences de latitude de 1 allant de 47 à
56
86
V.2 Projections coniques
Projection conforme Lambert belge Philippe
Lambot (IGN) viendra lexpliquer.
87
V.3 Projections azimutales
(aussi appelées projections perspectives) Ce
groupe de projections rassemble quelques
projections célèbres, connues depuis
lantiquité. Certaines projections azimutales
correspondent à de véritables perspectives
geométriques engendrant des propriétés
remarquables (situation différente des autres
systèmes de projection). On choisit un plan de
projection généralement tangent en un point de la
surface terrestre un pôle (aspect direct ou
polaire), un point de lequateur (aspect
transverse ou équatorial) ou un autre point
(aspect oblique)
88
V.3 Projections azimutales
Aspect direct Chaque méridien est représenté
par la droite dintersection de son plan avec le
plan de projection chaque parallèle est
représenté par une circonférence de centre P. La
figure représente schématiquement la projection
dun hémisphère. Si K appartient au
méridien-origine et si M désigne un point
arbitraire (f,l), on obtient en projection
89
V.3 Projections azimutales
La fonction est choisie de telle sorte que le
système satisfasse à des exigences bien
déterminées. Cest ainsi que lon peut définir un
système conforme (projection stéréographique),
équivalent (projection de Lambert), équidistant
le long des méridiens (projection de Guillaume
Postel), équidistant le long des parallèles
(projection orthographique).
90
V.3 Projections azimutales
Les projections azimutales conservent les azimuts
pour toutes les directions issues du pôle ou du
pivot. De plus, tous les grands cercles de la
sphère passant par le centre de projection sont
représentés sur la carte par des lignes
droites. Par conséquent, le chemin le plus court
entre le centre de projection et nimporte quel
autre point est illustré par une droite
(généralement non exempte daltération linéaire),
doù lusage de certaines projections azimutales
dans les applications de navigation.
91
V.3 Projections azimutales
Projections perspectives En aspect direct
(polaire), les méridiens sont toujours
représentés par des droites rayonnantes depuis le
pôle et faisant entre elles des angles égaux aux
différences de longitude. Les parallèles sont
représentés par des cercles concentriques ayant
le pôle pour centre. Les (seules) différences
entre les projections résident dans lespacement
entre les cercles déterminé par le choix de la
fonction F(f). Doù la facilité dutilisation du
système de coordonnées polaires.
92
V.3 Projections azimutales
Système de coordonnées polaires Toujours dans
laspect direct, les intersections du canevas
étant orthogonales, les directions principales de
lindicatrice de Tissot sont orientées selon les
images des méridiens et des parallèles.
93
V.3 Projections azimutales
Notation Soit ABCD le quadrilatère infiniment
petit sur la sphère ou lellipsoïde (défini par
les parallèles f et fdf et les méridients l et
ldl. Soit ABCD la figure infinitésimale
correspondante dans le plan de projection. On
déduit (Ncentre de proj.)
94
V.3 Projections azimutales
Echelle particulière le long dun méridien Le
signe négatif de dr indique que le rayon des
cercles diminue lorsque la latitude
augmente. Echelle particulière le long dun
parallèle
95
V.3 Projections azimutales
Altération de superficie Altération angulaire
maximale Où le numérateur est pris en module
puisque, selon les cas, h et k valent a ou b.
96
V.3 Projections azimutales
Cas particulier intéressant projections
perspectives En prenant le pôle Nord P comme
centre de projection, on choisit un plan
perspectif ou plan de projection T
perpendiculaire à PO (généralement le plan
tangent en P) et on prend comme point de vue un
point C situé sur PO. La projection dun point
arbitraire A de lellipsoïde est lintersection
de la droite CA avec le plan T.
97
V.3 Projections azimutales perspectives
Coordonnées rectangulaires Coordonnées
polaires sphériques ou ellipsoïdiques azimut Z
et distance D La position du point correspondant
est définie dans le plan de coordonnées polaires
98
V.3 Projections azimutales proj. stéréographique

• Projection perspective sur le plan tangent au
  pôle Nord.
• Les méridiens sont représentés par des droites
  concourantes en N, projection du pôle Nord N
  (qf)
• Les parallèles sont représentés par des cercles
  concentriques de centre N.

99
V.3 Projections azimutales proj. stéréographique
T
B
N

• Point M f,l avec g90-f
• Point B f,l90 se projette en B
• NB NS.tan g/2 2Rtan g/2
• Parallèle de latitude f cercle de rayon r
• NB 2R tan g/2 2R tan(45- f/2)
• Angle ANM l angle dièdre entre
• les plans méridiens NAS et NMS
• Coords rectangulaires de M, projection de M
• x KM r sin l 2Rtan g/2 sin l
• y -QM -r cos l -2Rtan g/2 cos l

B
M
A
g
O
l
g/2
S
y
Q
N
B
x
r
l
K
M
A
100
V.3 Projections azimutales proj. stéréographique
Propriété projection conforme Echelle
suivant le méridien
101
V.3 Projections azimutales proj. stéréographique
Echelle suivant le parallèle indépendante de
l
102
V.3 Projections azimutales proj. stéréographique

• a b (projection conforme)
• Rmq cest la seule projection perspective qui
  soit conforme dans les azimutales
• Echelle de superficie

103
V.3 Projections azimutales proj. stéréographique
Pour 80 ? f ? 90, la plus forte altération de
distance est de 0765, soit 7,65 mètres par
kilomètre. Ce système est adapté pour la
cartographie topographique des régions polaires
(régions inhabitées donc pas utile davoir une
grande précision)
104
V.3 Projections azimutales proj. stéréographique
105
(No Transcript)
106
V.3 Projection stéréographique méridienne
107
V.4 Projections équivalentes pour la Terre entière
Projection Sinusoïdale de Sanson ou de Flamsteed
ou de Mercator Projection équivalente apparue fin
du XVIè siècle dans certaines éditions de lAtlas
de Mercator, par Hondius notamment. Possible
quelle ait été conçue par Mercator. Mais ce sont
les cartographes Nicolas Sanson et John Flamsteed
qui lont le plus souvent utilisée.
108
V.4 Projections équivalentes pour la Terre entière
Cette projection nest pas autre chose que
laspect méridien de la projection de Bonne dans
laquelle on prend léquateur comme parallèle
standard. Le rayon des parallèles devenant infini
pour toute latitude, les parallèles sont
représentés par des droites (le cône tangent
devient un cylindre). Léquation des méridiens
devient cest-à-dire que les méridiens ont
pour images des sinusoïdes.
109
V.4 Projections équivalentes pour la Terre entière
Les coordonnées rectangulaires ont pour
expression Les parallèles sont équidistants
ils sont divisés en parties égales par les
méridiens successifs.
110
V.4 Projections équivalentes pour la Terre entière
Echelle de la projection Ce système a connu
de nombreuses applications il est en effet
intéressant pour la représentation dun fuseau
damplitude limitée.
111
V.4 Projections équivalentes pour la Terre entière
112
V.4 Projections équivalentes pour la Terre entière
Projection équivalente de Mollweide dite de
Babinet (appliquée seulement à la
sphère) Projection ovale établie par le
cartographe allemand Carl Mollweide en 1805 et
employée plus tard par le français Jacques
Babinet. La représentation globale de la Terre
sinscrit dans une ellipse dont le grand-axe est
double du petit-axe. Léquateur est divisé en
parties égales par les méridiens successifs qui
sont représentés par des demi-ellipses. Les
parallèles sont représentés par des droites
pa rallèles à léquateur dont lécartement est
déterminé pour assurer léquivalence
113
V.4 Projections équivalentes pour la Terre entière
Les coordonnées rectangulaires ont pour
expression f étant lié par la relation Les
lignes déchelle conservée sont deux parallèles
aux latitudes 4044N et S. Les deux seuls points
de la projection exempts daltérations sont
situés à lintersection de ces parallèles avec le
méridien central (droite verticale). Les
méridiens à 90E et W forment un cercle.
114
V.4 Projections équivalentes pour la Terre entière