Probabilit

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Probabilités au collège

• Versailles
• Mercredi 14 Janvier 2009

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Statistique et probabilités
Deux grands domaines en statistique Statistique
descriptive analyse des propriétés des données
observées Statistique inférentielle recherche
dun modèle théorique compatible avec les données
observées
Les probabilités ou la théorie mathématique de la
mesure de lincertitude La statistique ou la
théorie mathématique de la prise de décision face
à lincertitude
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Des séries statistiques aux probabilités la
progression dans les programmes du collège
6ème Organisation et représentation de données
(tableaux, repérage sur un axe,
diagrammes, graphiques) 5ème Représentation et
traitement de données (classes,
effectifs, fréquences, tableau de données,
représentations graphiques de
données) 4ème Traitement de données
(moyennes pondérées) 3ème Statistique
(caractéristiques de position ou de dispersion)
Notion de probabilité
programmes
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Probabilités
Connaissances Notion de probabilité
Programme en vigueur en 2008 - 2009

• Capacités
• Comprendre et utiliser des notions élémentaires
  de probabilité.
• Calculer des probabilités dans des contextes
  familiers.

Commentaires La notion de probabilité est
abordée à partir de situations familières (
pièces de monnaie, dés, roues de loterie, urnes).
Certaines de ces situations permettent de
rencontrer des cas pour lesquels les probabilités
ne sont pas définies à partir de considérations
intuitives de symétrie ou de comparaison mais
sont approximativement évaluées par les
fréquences observées expérimentalement (approche
fréquentiste des probabilités) La notion de
probabilité est utilisée pour traiter des
situations de la vie courante pouvant être
modélisées simplement à partir des situations
précédentes. Les situations étudiées concernent
les expériences aléatoires à une ou deux épreuves.
Dans le cadre du socle, aucune connaissance nest
exigible dans le cas des expériences à deux
épreuves.
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Programme en vigueur à la rentrée 2009
Connaissances Notion de probabilité

• Capacités
• Comprendre et utiliser des notions élémentaires
  de probabilité.
• Calculer des probabilités dans des contextes
  familiers.

Exemples dactivités, commentaires La notion de
probabilité est abordée à partir
dexpérimentations qui permettent dobserver les
fréquences des issues dans des situations
familières (pièces de monnaie, dés, roues de
loterie, urnes, etc. ). La notion de probabilité
est utilisée pour modéliser des situations
simples de la vie courante. Les situations
étudiées concernent les expériences aléatoires à
une ou deux épreuves.
Les connaissances relatives aux expériences
aléatoires à deux épreuves ne sont pas exigibles
dans le cadre du socle.
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Démarche

• Etude de situations familières
• (lancer de pièces, de dés,
• roue dune loterie, urne)

Institutionnalisation (définitions, propriétés)
Traitement de situations diverses (expériences
aléatoires à une ou deux épreuves)
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I. Premières situations dapprentissage

• 1. a) Probabilités définies à partir de
  considérations de symétrie ou de comparaison

Lancer une pièce équilibrée Tirage dans une urne Roue de loterie
Dans une expérience aléatoire, on ne peut pas
prévoir le résultat.

On admet quà chaque issue on peut faire
correspondre un nombre qui  caractérise  les
chances dobtenir cette issue. Ce nombre
sappelle la probabilité dobtenir cette issue.
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b) Approche expérimentale Lancer une pièce
Quand on répète N fois lexpérience aléatoire, on
observe que lorsque N devient de plus en plus
grand, la fréquence de réalisation dune des deux
issues tend à se stabiliser vers une valeur
proche de 1/2.
Réaliser des échantillons de grande
taille. Reproduire la même expérience aléatoire.
c) Simulation à laide de nombres
pseudo-aléatoires On admet que si la pièce est
bien équilibrée, les deux issues ont la même
probabilité. Le tableur ou la calculatrice
permettent de générer des nombres
pseudo- aléatoires pour simuler ce modèle
déquiprobabilité. Lancer dune pièce équilibrée
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I. Premières situations dapprentissage

Lorsquon répète N fois de suite une expérience
aléatoire, on observe que lorsque N devient de
plus en plus grand, la fréquence de réalisation
dune issue donnée tend à se stabiliser autour
dun nombre et on admet que ce nombre est la
probabilité dobtenir cette issue.

• 2. Approche fréquentiste de la probabilité
• lancer dune punaise

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Probabilités géométriques Franc Carreau
(document ressource) deux points sur un segment
On considère un segment OS de longueur égale à
1. On choisit au hasard deux points A et B sur ce
segment. On cherche à déterminer la probabilité
que la longueur de ce segment soit supérieure ou
égale à 0,5.
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II. Représentation et traitement

• Larbre de probabilité

Situation Arbre des possibles Arbre pondéré avec les probabilités
Tirage dune boule dans lurne
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II. Représentation et traitement
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III. Énoncés de définitions, de propriétés

• Définir
• Expérience aléatoire, issue, univers
• Des événements incompatibles, lévénement
  contraire dun événement, un événement certain,
  un événement impossible.
• La probabilité dun événement qui se produit
  nécessairement (événement certain) est égale à 1.
• Si deux événements sont incompatibles, la
  probabilité que lun ou lautre se réalise est
  égale à la somme de leurs probabilités.
• Plus généralement, on peut additionner les
  probabilités dévénements deux à deux
  incompatibles.
• Equiprobabilité

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III. Énoncés de définitions, de propriétés

• Propriétés
• La probabilité dun événement est comprise entre
  0 et 1.
• La somme des probabilités dun événement et de
  son contraire est égale à 1.
• La probabilité dun événement qui ne peut pas se
  produire (événement impossible) est égale à 0.

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Site Euler

• Une expérience est dite aléatoire lorsqu'on ne
  peut pas en prévoir avec certitude le résultat.
• On appelle issue d'une expérience aléatoire tout
  résultat de cette expérience.L'ensemble des
  issues est appelé univers.
• Tout ensemble d'issues est appelé événement.Un
  événement élémentaire contient une seule
  issue.L'événement certain contient toutes les
  issues.L'événement impossible ne contient aucune
  issue.

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Site Euler

• On considère une expérience aléatoire. À chaque
  événement élémentaire, on associe un nombre
  compris entre 0 et 1.Lorsque la somme de tous
  ces nombres est égale à 1, on dit que l'on a
  défini une probabilité.
• La probabilité d'un événement (autre que
  l'événement impossible) est égale à la somme des
  probabilités des événements élémentaires qui le
  composent.
• La probabilité de l'événement impossible est
  égale à 0.

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Attention aux énoncés proposés dans certains
manuels !

• Définition  Quand une expérience est répétée un
  grand nombre de fois, la fréquence relative de
  réalisation dun événement élémentaire se
  rapproche dune valeur particulière la
  probabilité de cet événement élémentaire 
• Définition    La probabilité dun événement est
  un nombre compris entre 0 et 1. 
• Propriété Lorsquon ne peut pas déterminer le
  nombre de cas possibles, on répète un grand
  nombre de fois lexpérience. On peut alors
  approcher la vraie valeur de la probabilité dun
  événement. On observe en effet que la fréquence
  dapparition de lévénement a tendance à se
  stabiliser lorsquon augmente le nombre
  dexpériences.
• La probabilité dobtenir  pile  lors du jet
  dune pièce est égale à 0,5.

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Introduire des notations
Les événements obtenir  Face , obtenir  une
boule rouge  peuvent être désignés par des
lettres, par exemple F ou R. La probabilité
dobtenir  Face  peut être notée p(obtenir
 Face ) ou plus simplement p(Face) ou p(F).
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IV. Des expériences à deux épreuves
On considère lexpérience suivante, qui se
déroule en deux étapes  dabord, on fait tourner
une roue de loterie (on obtient la couleur
 Rouge  avec une probabilité de 0,25 et la
couleur  Bleu  avec une probabilité de 0,75).
Ensuite, on fait tourner une deuxième roue de
loterie (on obtient le numéro 1 avec la
probabilité 1/6, le numéro 2 avec la probabilité
1/2 et le numéro 3 avec la probabilité 1/3).
Arbre des possibles
Dresser la liste des issues, définir lunivers
U (R,1) (R, 2) (R, 3) (B, 1) (B, 2)
(B, 3)
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IV. Des expériences à deux épreuves
Arbre pondéré
Pour 120 000 répétitions de lexpérience
Environ 30 000 fois R dont environ 5 000 fois
 1 , environ 15 000 fois  2  et environ 10
000 fois  3 , Cest à dire environ 1/4 1/6
120 000 fois (R,1).
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Modélisation et représentation Reconnaissances
des issues Tableaux, arbres, ... Fréquences et
probabilités
Raisonner de façon certaine sur lincertain une
fois le modèle choisi, les raisonnements quon
fait ne souffrent pas de contestation.
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Le diagramme en bâtons ci-dessous donne la
répartition des âges des jeunes adhérents dun
club de théâtre. 1. Quelle est la
population étudiée ? Quel est le caractère étudié
? 2. Y a-t-il un mode ? 3. Donner une valeur
médiane. Donner sa signification. 4. On tire au
sort un des jeunes adhérents de ce club de
théâtre. Quelle est la probabilité que le jeune
choisi ait 12 ans ?
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Une enquête sur le temps dappel de 100
collégiens à laide de leur téléphone portable,
au cours dune journée a donné les résultats
représentés par polygone des effectifs cumulés
croissants suivant. 1) Présenter un tableau
donnant les classes et les fréquences. 2)
Construire un histogramme de la série. Graphique
temps d'appel.xls 3) On choisit au hasard un des
collégens concernés par lenquête. Quelle est la
probabilité que le temps dappel de ce lycéen
soit a) compris entre 10 et 15 mn ? b) supérieur
ou égal à 5 mn ?
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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