Flow Shop Scheduling

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CÁLCULO DA INVERSA DA BASE Prof. M.Sc. FÁBIO
FRANCISCO DA COSTA FONTES Setembro - 2009
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Cálculo da inversa da base
O método simplex revisado não computa a inversa
B-1 da base diretamente. A primeira base
considerada é sempre uma matriz identidade B
I B-1 I A partir dessa base, as demais são
calculadas por um procedimento computacional, que
será mostrado a seguir.
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Cálculo da inversa da base

• Seja uma matriz identidade representada por
• Im (e1, e2 , ... , em)
• Onde ei são vetores identidade, com o elemento 1
  na linha i.
• Sejam xe a variável que entra na base e xs a
  variável que sai. A próxima inversa da base pode
  ser calculada, a partir da inversa atual,
  fazendo-se a seguinte operação

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Cálculo da inversa da base

• B-1nova E . B-1
• Onde a matriz E é dada por
• E (e1 , e2 , ... , es-1 , d , es1 , ... , em)
• e o vetor d é formado da seguinte
• forma

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Cálculo da inversa da base
- a1e/ ase - a2e/ ase
d 1/ ase
- ame/ ase Onde aie
são os coeficientes atualizados na iteração K da
variável que está entrando na base, ou seja, da
variável xe, e ase é o pivô.
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Cálculo da inversa da base

• Assim, a matriz E é uma matriz identidade onde
• a coluna s foi substituída pelo vetor calculado
• acima.
• Através deste procedimento, as inversas das
• bases serão calculadas sucessivamente de uma
• forma computacionalmente simples.

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SIMPLEX

• Exemplo para explicação do algoritmo do método
  simplex revisado
• Max x1 x2 Max x1 x2
• s.a 2x1 x2 2 s.a 2x1x2 x32
• x1 3x2 3 x13x2x43
• x10 e x20 x1,x2,x3,x40

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simplex

• x1 x2 x3 x4 b
• x3 2 1 1 0 2 ½ 0 0
• x4 1 3 0 1 3 E -½ 1 0
• 1 1 0 0 0 -½ 0 1
• x1 1 ½ ½ 0 1 1 -1/5 0
• x4 0 5/2 -½ 1 2 0 2/5 0
• 0 ½ -½ 1 -1 0 -1/5 1

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simplex

• x1 1 0 3/5 -1/5 3/5
• x2 0 1 -1/5 2/5 4/5
• 0 0 -2/5 -1/5 -7/5

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simplex

• O mesmo exemplo sendo resolvido de forma
  matricial temos

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SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO

• Passo1- solução básica inicial
• 2 1 1 0 IB3,4 INB1,2
• A cBT (0 0) xB
  x3
• 1 3 0 1 cNT (1 1)
  x4
• 
  xN x1
• N 2 1 BB-1 1 0 b 2 x2
• 1 3 0 1 3

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SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO

• Passo2
• cNT- cBTB-1N(1 1)-(0 0) 1 0 2 1 (1 1)
• 0 1 1 3
• Como existe cNi- cBTB-1Ni 0, então a solução
  ainda não é ótima.
• X1 entra na base

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SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO

• Passo3
• b B-1b 1 0 2 2
• 0 1 3 3
• Passo4
• N1 B-1N1 1 0 2 2
• 0 1 1 1
• minb1/N1¹, b2/N12min2/2, 3/11
• X3 sai da base

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SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
Passo5 Achar a nova solução Básica IB1,4
INB3,2 B 2 0 N 1 1 XB
x1 1 1 0 3
x4 xN
x3 cBT(1 0) cNT(0 1) x2
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• Como a troca foi de x1 com x3, então em B os
  coeficientes que estão entrando na base são
• Como B-1nova E . B-1
• B-1nova

O pivô
N1
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• Retornando ao Passo2.

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SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO

• cNT- cBTB-1N(0 1)-(1 0) ½ 0 1 1 (-½ ½)
• -½ 1 0 3
• x2 entra na base
• Passo3
• b B-1b ½ 0 2 1
• -½ 1 3 2

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SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO

• Passo4
• N² B-1N² ½ 0 1 ½
• -½ 1 3 5/2
• minb/N1², b/N2²
• min1/(½), 2/(5/2)0,8
• x4 sai da base

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SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO

• Passo5
• IB1,2 INB3,4
• B 2 1 N 1 0
• 1 3 0 1
• xB x1 xN x3
• x2 x4
• cBT(1 1) cNT(0 0)

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• Como a troca foi de x2 com x4, então em B os
  coeficientes que estão entrando na base são
• Como B-1nova E . B-1
• B-1nova

N2
O pivô
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• Retornando ao Passo2.

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SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO

• cNT- cBTB-1N(0 0)-(1 1) 3/5 -1/5 1 0
• -1/5 2/5 0
  1
• cNT- cBTB-1N (-2/5 -1/5)
• Como não existe cNi- cBTB-1Ni 0, então a
  solução é ótima.
• Calcular xB e Z

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SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO

• xB B-1b
• xB 3/5 -1/5 2 3/5
• -1/5 2/5 3 4/5
• ZcBTB-1b (1 1) 3/5 -1/5 2
• -1/5 2/5 3
• Z (2/5 1/5) 2 7/5
• 3

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exercício

• Max Z x1 x2
• S.a 2x1 x2 2
• 6x1 x2 3
• x1, x2 0

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Algoritmo Simplex Revisado

• Inicialização Determine uma partição para a
  matriz A dada por AB N e em conseqüência
  para cTcBT cNT e xTxBTxNT, B-1 B
• logica ? verdade
• Enquanto (logica) faça
• //teste de otimalidade//
• Se (cNT - cBTB-1Nj) lt 0
• logica?falso
• Senão
• b ? B-1b
• N j ? B-1Nj
• Se Nij lt 0 i1,...,m
• Escreva(Saida p/ ilimitação)
• halt
• Senão
• Minbi / Nij tal que Nij gt 0)
• Atualize A, cT e xT
• E ? (e1, e2, ...,er-1, d, er1,
  ..., em)
• B-1 ? E.B-1
• Fim se
• Fim se