6 Sachrechnen

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6 Sachrechnen

• 6.1 Was heißt Sachrechnen heute?
• 6.2 Aufgaben zum Sachrechnen
• 6.3 Lösen von Sachaufgaben
• 6.4 Gestaltung des Sachrechenunterrichts

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Immer Ärger mit dem Sachrechnen!
Das Sachrechnen konnte ich nie leiden. Da sollte
ich berechnen, wann sich zwei Züge begegnen, wenn
der eine um ... losfährt und der andere um... Das
interessiert mich überhaupt nicht. Viel mehr
möchte ich wissen, wohin die Züge fahren, wer
mitfährt und warum die nach Leipzig, Berlin...
fahren. Ich möchte jetzt auch verreisen, Urlaub
machen, an der Nordsee spazieren gehen, in den
Alpen Ski fahren...
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Was heißt Sachrechnen?

• Sachrechnen ist der Teil der Angewandten
  Mathematik, der Schülern bis zur 10. Klasse
  zugänglich ist. (FRICKE 1987, S. 10)
• Das Sachrechnen verfolgt als Zielsetzung, die
  Fähigkeit, sich mit mathematischen Mitteln
  selbständig in bestimmten Sachsituationen helfen
  oder auch sein eigenes Wissen bereichern zu
  können. (WEISER 1975, S. 190)
• Sachrechnen
• Man versteht darunter bekanntlich das Lösen von
  Sachaufgaben des täglichen Lebens mit einfachen
  mathematischen Mitteln (Rechnen in und zwischen
  Größenbereichen). Dieses Sachrechnen wurde in der
  Volksschule stets als Krönung der rechnerischen
  Bemühungen empfunden, während das damit
  vergleichbare bürgerliche Rechnen am Gymnasium
  dort als zwar notwendiges, aber auf dem Wege zu
  wesentlicheren Einsichten bald überwindendes
  Kapitel erschien (SCHUPP 1994, S. 3)

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Was heißt Sachrechnen?

• Sachrechnen und Sachmathematik
• Beim herkömmlichen Sachrechnen werden im Grunde
  genommen oftmals verschiedene Sachsituationen
  herangezogen, um ein mathematisches Thema
  einzuleiten, zu erarbeiten, zu verdeutlichen oder
  zu üben.
• ...
• Die Arbeit an mathematischen Sachkomplexen
  hingegen greift eine meist authentische Situation
  auf, zu deren mathematischer Behandlung mehrere
  arithmetische und (oder) geometrische
  Vorstellungen und Verfahren benötigt werden. (IGL
  2000, S. 29)

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Bedeutung von Sachrechnen

• Rahmenplan, S. 148
• Rechnen ist nicht Selbstzweck, sondern dient der
  Entwicklung der geistigen Fähigkeiten der Kinder
  und der Bewältigung von Alltagsproblemen mit
  Hilfe von Zahlen, Formen und Maßen.
• Unter Sachrechnen wird zweierlei verstanden Zum
  einen dienen die Vorkenntnisse der Kinder und die
  leicht zugänglichen Situationen aus ihrer
  Umgebung als Ausgangspunkt und Material für die
  Entwicklung mathematischer Ideen, Modelle und
  Verfahren (Umwelt- und Erfahrungsbezug). Zum
  anderen werden die so entwickelten Kenntnisse,
  Fertigkeiten und Fähigkeiten angewandt zur Lösung
  von Alltagsproblemen und zur Erschließung der
  Welt mit mathematischen Mitteln
  (Anwendungsorientierung).

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Ziele des Sachrechnens

• Franke, S. 21 ff.
• Anwendung des Rechnens (traditionell)
• Entwicklung allgemeiner Problemlösefähigkeiten
• Umwelterschließung
• Diese Ziele sollten im Unterricht verzahnt werden
  und erst deren Wechselspiel ermöglicht
  erfolgreiches Lernen.

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Funktionen des Sachrechnens

• Funktionen des Sachrechnens nach Winter 1985
• Sachrechnen als Lernstoff
• Sachrechnen als Lernprinzip
• Sachrechnen als Lernziel

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Funktionen des Sachrechnens

• Sachrechnen als Lernstoff
• Beim Sachrechnen als Lernstoff geht es darum,
  Wissen über Größen und Fertigkeiten im Umgang mit
  Größen aufzubauen.
• Einbetten in die Zielvorstellung,
  sachrechnerische Fähigkeiten im Rahmen eines
  Beitrages zur Denkentwicklung der Schüler und zur
  Erschließung ihrer Umwelt anzustreben.
• (vgl. Winter Sachrechnen in der Grundschule, S.
  24)

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Funktionen des Sachrechnens

• Sachrechnen als Lernprinzip
• bedeutet, dass Bezüge zur Realität für das Lernen
  mathematischer Begriffe und Verfahren ausgenutzt
  werden, um
• die Schüler stärker am Lernen zu interessieren,
• ihr Verständnis zu fördern und
• ihre Kenntnisse und Fertigkeiten besser zu
  festigen
• (vgl. Winter Sachrechnen in der Grundschule, S.
  31)

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Funktionen des Sachrechnens

• Sachrechnen als Lernziel
• umfassendste Funktion des Sachrechnens
• in ihr sind die anderen beiden Funktionen
  aufgehoben
• wichtigste und unterrichtspraktisch am
  schwierigsten zu verwirklichende Funktion
• Entscheidend ist hier der Primat der Sache
  Sachsituationen sind hier nicht nur Mittel zur
  Anregung, Verkörperung oder Übung, sondern selbst
  der Stoff, den es zu bearbeiten gilt.
• Sachrechnen ist damit ein Stück Sachkunde.
• Die Schüler sollen befähigt werden, umweltliche
  Situationen durch mathematisches Modellieren
  klarer, bewußter und auch kritischer zu sehen.
• (vgl. Winter Sachrechnen in der Grundschule, S.
  31)

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Aufgaben zum Sachrechnen
authentische Aufgaben
Bildgeschichten
Knobelaufgaben
Problemaufgaben
Rollenspiel
Posteraufgaben
graphische Darstellungen
Kapitänsaufgaben
Rechengeschichten
Sachtexte
Lückentexte
Projekte
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Aufgaben zum Sachrechnen

• Traditionelle Einteilung
• (z. B. Fricke, Radatz /Schipper)
• Eingekleidete Aufgaben
• Textaufgaben
• Sachaufgaben

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Aufgaben zum Sachrechnen

• Eingekleidete Aufgaben
• Ziel dieser Aufgaben ist vorrangig des Anwenden
  von Rechenverfahren, das Festigen mathematischer
  Begriffe und das Erfassen von Zahlbeziehungen.
• Der Sachkontext an sich ist unwichtig, die Kinder
  bekommen keine neuen Informationen über die
  Sache. Es ist schon an der Formulierung
  erkennbar, wie gerechnet werden soll. Eigentlich
  kann der Sachkontext beliebig ausgetauscht
  werden.
• Beispiel
• (1) Verteile 20 Bonbons so an 4 Kinder, dass
  jeder gleich viele bekommt.

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Aufgaben zum Sachrechnen

• Textaufgaben
• Ziel dieser Aufgaben ist das Erfassen des
  Zusammenhanges zwischen den angegebenen Zahlen
  und erkennen einer mathematischen Zeichenreihe
  (Term oder Gleichung).
• Zu diesem Typ werden verbalisierte Zahlenaufgaben
  und Aufgaben in Textform, bei denen die Sache
  nebensächlich ist, gezählt. Die Vielfalt und
  Komplexität des Sachkontextes in der Realität
  wird nicht berücksichtigt.
• Beispiele
• (1) Subtrahiere von 348 das Sechsfache von 8.
• (2) Frau Schneider kauft für 88 Vorhangstoff.
  Der Preis für 1 m beträgt 8 .

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Aufgaben zum Sachrechnen

• Sachaufgaben/Sachrechenprobleme
• Ziel dieser Aufgaben ist ebenfalls das
  Mathematisieren der Sachbeziehungen in eine
  adäquate mathematische Operation. Nach dem
  Ermitteln der Lösung ist das Rechenergebnis auf
  die Situation zurückzubeziehen.
• Allerdings ist auch die Sachsituation wichtig
  Sie stellt einen Bezug zur Realität, zu den
  Alltagserfahrungen der Kinder her. Die
  mathematische Bearbeitung soll das Verständnis
  für die Sache unterstützen, die Mathematik dient
  als Hilfsmittel tiefer in den Sachkontext
  eindringen zu können.

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Aufgaben zum Sachrechnen

• Systematisierung von Aufgabenklassen beim
  Sachrechnen
• Wonach kann man klassifizieren?
• nach der beschriebenen Situation
• nach dem mathematischen Inhalt
• nach der Präsentationsform

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Aufgaben zum Sachrechnen

• Einteilung von Aufgaben nach der beschriebenen
  Situation
• Sachaufgaben zu realen Situationen aus dem Alltag
  der Kinder
• Sachaufgaben zu fiktiven Situationen

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Aufgaben zum Sachrechnen

• Sachaufgaben zu realen Situationen
• Einfache Sachaufgaben
• Sachprobleme
• Sachtexte
• Projekte

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Aufgaben zum Sachrechnen

• Sachaufgaben zu fiktiven Situationen
• Sachaufgaben mit Märchen- und Fantasiefiguren
• Denk- und Knobelaufgaben
• Scherz- und Kapitänsaufgaben
• Sachaufgaben in Kinderbüchern

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Sachaufgaben mit Märchen- und Fantasiefiguren

• Der Teufel sagte zu einem armen Manne Wenn du
  über diese Brücke gehst, will ich dein Geld
  verdoppeln, doch musst du jedes Mal, wenn du
  zurück kommst, 8 Taler für mich ins Wasser
  werfen. Als der Mann das dritte Mal zurückkehrte,
  hatte er keinen blanken Heller mehr. Wie viel
  hatte er anfangs?
• (vgl. Rasch, 1999, S. 29)

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Beispiel einer Rechengeschichte
Quelle Glaser /Neubert Grundschulunterricht H.
2/2006

• Der Zwerg Darwin wird in wenigen Tagen 125 Jahre
  alt.
• Seinen Geburtstag möchte er groß feiern. Dazu hat
  er seine Verwandten, die 7 Zwerge, und deren Gast
  Schneewittchen eingeladen. Jetzt überlegt Darwin,
  welche Zwergenkekse und vor allem wie viele er
  backen muss, damit für jeden 8 Kekse da sind.
• Wie viele Kekse muss er backen?

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Denk- und Knobelaufgaben

• Eine vierköpfige Familie möchte einen Fluss
  überqueren mit einem Ruderboot, das nur eine
  Tragfähigkeit von 80 kg besitzt. Der Vater wiegt
  75 kg, die Mutter 60 kg. Die beiden Kinder wiegen
  35 kg und 42 kg.
• Wie oft und auf welche Weise müssen die vier den
  Fluss überqueren, bis alle am anderen Ufer sind?
• Beide Kinder können schon rudern.
• (Die Matheprofis 3, S. 110)

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Scherz- und Kapitänsaufgaben

• Unter einer Kapitänsaufgabe versteht man eine
  unrealistische Aufgabe, bei der aus den gegebenen
  Daten die gefragten Informationen nicht berechnet
  werden können, weil
• (1) die Angaben unvollständig sind oder
• (2) die Angaben nichts mit der Frage zu tun haben
  oder
• (3) die mathematische Berechnung realitätsfremd
  ist

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Scherz- und Kapitänsaufgaben

• Auf einem Schiff befinden sich 26 Schafe und 10
  Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? (Baruk 1980)
• Kapitän Mario transportiert mit seinem Schiff
  Tiere von einer Insel zur anderen. Auf dem Schiff
  befinden sich 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt
  ist Kapitän Mario?
• Der Pilot Albert soll mit seinem Flugzeug
  kostbare Glaskugeln in ein fernes Land bringen.
  An Bord seines Flugzeuges hat er 36 Glaskugeln.
  Bei einem starken Sturm zerbrechen davon 6 Stück.
  Wie alt ist der Pilot Albert?
• Paul war zu Anfang des letzten Monats 1,23 m
  groß, zu Beginn diesen Monats 1,25 m groß. Wie
  groß wird er in 5 Jahren sein?

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Aufgaben zum Sachrechnen

• Einteilung von Aufgaben nach dem mathematischen
  Inhalt
• Sachaufgaben mit vorwiegend geometrischem Inhalt
• Sachaufgaben mit vorwiegend stochastischem Inhalt
• Sachaufgaben zum Aufbau von Größenvorstellungen
• Sachaufgaben mit vorwiegend arithmetischem Inhalt

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Sachaufgaben mit vorwiegend geometrischem Inhalt
Zahlenreise 4, S. 42
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Sachaufgaben mit vorwiegend stochastischem
Inhalt

• Kathrin und Sandra haben sich zu einem
  Spielenachmittag verabredet. Sie haben sich auf 3
  Spiele geeinigt Domino Mensch, ärgere Dich
  nicht Vier gewinnt. Sie wollen die drei Spiele
  nacheinander spielen.
• Wie viele Möglichkeiten gibt es, die drei Spiele
  in unterschiedlicher Reihenfolge zu spielen?
• Timo kauft sich jeden Tag nach der Schule eine
  Eistüte mit drei Bällchen! An dem Eisstand gibt
  es vier verschiedene Eissorten (Vanille,
  Schokolade, Erdbeere und Schlumpfeis). Timo
  möchte jeden Tag eine andere Eistüte essen.
• Wie viele verschiedene Eistüten kann sich Timo
  zusammenstellen?

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Xa-Lando 4, S. 125
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Sachaufgaben zum Aufbau von Größenvorstellungen
Die Matheprofis 3, S. 97
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Sachaufgaben mit vorwiegend arithmetischem Inhalt

• Bei diesen Aufgaben kann man unterscheiden nach
• der arithmetischen Struktur (Simplex Komplex)
• der semantischen Struktur
• der syntaktischen Struktur (Satzbau, Reihenfolge
  der Angaben )

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Aufgaben zum Sachrechnen

• Einteilung von Aufgaben nach der
  Präsentationsform
• Reale Phänomene
• Authentische Materialien und Imitationen
• Bildaufgaben
• Bild-Text-Aufgaben
• Textaufgaben (Sachaufgaben in Textform)
• Sachtexte
• Projekte

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Reale Phänomene

• Die reale Umgebung liefert zahlreiche Anregungen
  zur mathematischen Auseinandersetzung
• Lit.
• Glaser,B. / Neubert, B. Unsere Schule in Zahlen.
  In Sache - Wort Zahl H. 58/2003, S. 36 37
• Franke, M. Aufgaben, die das Leben schreibt.
  In Ruwisch / Peter-Koop (Hrsg.) Gute Aufgaben
  im Mathematikunterricht der Grundschule.
  Mildenberger, 2003, S. 75 - 88

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Authentische Materialien und Imitationen

• Im Unterricht sollte mit authentischen
  Materialien gearbeitet werden, um die
  persönlichen Erfahrungen der Schüler
  einzubeziehen.
• Beispiele Fahrplan, Speisekarten, Kalender,
  Werbeprospekte
• Durchführen von Rollenspielen mit diesen
  Materialien

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Bildaufgaben
Denken und Rechnen 1, S. 59
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Bildaufgaben
Denken und Rechnen 2, S. 22
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Bild-Text-Aufgaben
Denken und Rechnen 1, S. 92
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Bild-Text-Aufgaben
Denken und Rechnen 2, S. 104
Denken und Rechnen 2, S. 112
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Textaufgaben (Sachaufgaben in Textform)

• Die Präsentation von Textaufgaben kann mit oder
  auch ohne Frage erfolgen.
• Beispiel (Denken und Rechnen 4, S. 93)
• Lisa klebt 24 Urlaubsfotos ein, immer vier auf
  eine Seite. Für jedes Foto benutzt sie vier
  Fotoecken.
• Tim klebt 36 Fotos ein, immer sechs Fotos mit je
  drei Fotoecken auf eine Seite.
• Wer benötigt mehr Seiten im Fotoalbum?

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Sachtexte

• Sachtexte (Sachsituationen mit mathematischen
  Informationen) beschreiben Ausschnitte der
  Wirklichkeit.
• Sie bilden eine Brücke zwischen dem
  Mathematikunterricht und anderen Fächern

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Erichson, C. Von Lichtjahren, Pyramiden und
einem regen Wurm
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Projekte

• In Projekten hat die Mathematik Werkzeugfunktion
  beim Erreichen von Zielen.
• Das Ziel besteht nicht unbedingt in der
  mathematischen Lösung.
• Lit.
• Franke, M. Auch das ist Mathe! Vorschläge für
  projektorientiertes Unterrichten. Aulis Verlag
• Müller, Bettina / Neubert, Bernd Ein Klassenfest
  wird vorbereitet. - In Grundschulunterricht
  46(1999)9, S. 30 - 32

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Resümee

• Die Präsentationsform beeinflusst das
  Lösungsverhalten der Schüler (Zeit,
  Handlungsebene, mathematische Mittel, Lösungsweg,
  Motivation...)
• Das Bearbeiten von Projekten ist zwar ein
  Höhepunkt, kann aber nur selten eingesetzt
  werden.
• Mit authentischen Materialien kann Echtheit
  simuliert werden. Es kann zeitlich unabhängig von
  der Realität eingesetzt werden. Allerdings ist
  der Aufwand ebenfalls hoch.
• Sachtexte und Bild-Text-Aufgaben sind offene
  Aufgaben, die sich ebenfalls durch einen
  realistischen Umweltbezug auszeichnen können.
• Textaufgaben und Bildgeschichten sind zwar für
  den Unterricht aufbereitet, haben aber wegen des
  schnellen Zugriffs zum Üben weiterhin ihre
  Berechtigung im Unterricht.