GEOMETRIA EUCLIDEA

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GEOMETRIA EUCLIDEA
PROF. CASALINO MARIA
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UNITA 1

• CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI

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GEOMETRIA
Può essere
Può essere
INTUITIVA
RAZIONALE
4
INTUITIVA
Si basa su
OSSERVAZIONI PROVE TENTATIVI
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RAZIONALE
Parte da
Definiti mediante
CONCETTI PRIMITIVI
ASSIOMI
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CONCETTI PRIMITIVI
ASSIOMI
Da cui si deducono
Mediante dimostrazioni
Mediante definizioni
NUOVE PROPRIETA (TEOREMI)
NUOVI ENTI
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DALLA GEOMETRIA INTUITIVA
ALLA GEOMETRIA RAZIONALE
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Concetti o enti primitivi Enti che non definiamo
esplicitamente
Assiomi o postulati Proprietà che supponiamo
essere vere e che pertanto non dimostriamo
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Gli assiomi scelti soddisfano la condizione di
COMPATIBILITA (non devono contraddirsi luno
con laltro)
INDIPENDENZA (dalle proprietà affermate delluno
non si devono poter dedurre le proprietà
affermate dellaltro)
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ENTI GEOMETRICI PRIMITIVI
Gli enti primitivi della Geometria sono
PUNTI
RETTE
PIANI
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ALCUNE DEFINIZIONI
SEMIRETTA ciascuna delle parti in cui una retta
è divisa da un suo punto.
Il punto è detto origine delle semirette
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SEMIPIANO ciascuna delle due parti in cui un
piano è diviso da una sua retta, la retta è detta
origine del semipiano
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ANGOLI PARTICOLARI
Angolo PIATTO un lato è il prolungamento
dellaltro ( 180 )
Angolo GIRO i due lati sono sovrapposti (360)
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Angoli OPPOSTI AL VERTICE se i lati delluno
sono i prolungamenti dellaltro
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a
a lt b
b
Dati due segmenti se, sovrapponendo il primo
segmento al secondo facendo coincidere un
estremo, laltro estremo è interno al secondo
segmento allora il primo è minore del secondo se
è esterno è maggiore.
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Angolo acuto
Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo
retto
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• UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIAS.I.S.S.I.S. -
  Sezione di CataniaIndirizzo 1 Scienze naturali
  Classe A059A.A. 2006/2007 VIII Ciclo
• Disciplina Laboratorio didattico di matematica
• Docente Prof. Angelo Lizzio
  Specializzando Dott. Salvatore
  Gulizia
• Libro di testo assegnato
• Mario Mariscotti Matematica Oggi Petrini
  Editore
• Argomento ANGOLI E LORO MISURA

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• GLI ANGOLI E LA LORO MISURA
• La trattazione del concetto geometrico di angolo
  viene affrontata nella 1 classe della Scuola
  Media inferiore.
• Questo argomento, che può risultare alquanto
  ostico per i ragazzi, deve essere sviluppato con
  grande professionalità da parte del docente, in
  quanto è proprio nellapproccio offerto e nelle
  metodologie didattiche adoperate che si fonda la
  qualità di apprendimento degli alunni.
• Diversi autori di libri di testo trattano questi
  argomenti, affrontando, da un punto di vista
  didattico, problematiche legate al concetto di
  angolo, alle definizioni ed alla misura.
• Prima di esporre la trattazione dellargomento,
  è indispensabile fare un richiamo alle
  indicazioni ministeriali che riguardano, più o
  meno esplicitamente, il tema e i contenuti
  riferiti al tema in esame.

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• INDICAZIONI MINISTERIALI
• Scienze Matematiche, Chimiche, Fisiche e Naturali
• Programmi Ministeriali del 1979
• Suggerimenti metodologici
• Attività sperimentale.
• Il processo di avviamento al metodo scientifico
  proposto agli alunni dovrà rispettare i tempi e
  le modalità di apprendimento caratteristici della
  loro età dovrà quindi muovere da ciò che può
  stimolare la loro curiosità e la loro intuizione,
  da esperienze facilmente comprensibili, dalla
  operatività, e indirizzare alla sistematicità,
  grazie alla progressiva maturazione dei processi
  astrattivi. .
• Indicazioni per la matematica
• Obiettivi.
• Nellambito degli obiettivi enunciati nella
  premessa agli insegnamenti, linsegnamento della
  matematica si propone di
• suscitare un interesse che stimoli le capacità
  intuitive degli alunni
• sollecitare ad esprimersi e comunicare in un
  linguaggio che, pur conservando piena
  spontaneità, .
• Suggerimenti metodologici
• Per il conseguimento degli obiettivi predetti,
  si farà ricorso ad osservazioni, esperimenti,
  problemi tratti da situazioni concrete, così
  da motivare lattività matematica della
  classe, fondandola su una sicura base
  intuitiva.
• Verrà dato ampio spazio allattività di
  matematizzazione intesa come interpretazione
  matematica della realtà nei suoi vari
  aspetti (naturali, tecnologici, economici,
  linguistici) con la diretta partecipazione
  degli allievi. .
• _________________________________________________
  ________________________________
• TEMI
  CONTENUTI RIFERITI AI TEMI
• 1) La geometria prima rappresentazione
  a) dagli oggetti ai concetti
  geometrici

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• UNITA DIDATTICA
• TITOLO Angoli e loro misura
• ANNO 1
• TEMA La geometria prima rappresentazione del
  mondo fisico
• PREREQUISITI Conoscenza degli elementi
  fondamentali della geometria.
• OBIETTIVI
• Conoscenze
• - Esprimere le proprietà degli angoli.
• - Conoscere e classificare i vari tipi di
  angoli.
• Abilità
• - Riconoscere gli angoli e saperli confrontare.
• - Operare con gli angoli.
• CONTENUTI
• - Definizione di angolo.
• - Classificazione degli angoli e loro misura.
• - Operazione con gli angoli.

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• METODI
• Fase 1 Test iniziale. Sottoporre gli alunni ad
  un test per valutare il possesso dei
  prerequisiti richiesti
• Considerato che gli angoli e la loro misura
  fanno parte delle nozioni fondamentali della
  geometria da affrontare allinizio del 1 anno di
  scuola media, il docente, prima di trattare
  lunità di apprendimento, dovrà verificare il
  grado di conoscenza che gli alunni hanno dalla
  scuola primaria.
• Tale verifica, per esempio, viene fatta
  proponendo agli alunni appositi esercizi,
  attraverso una apposita scheda.

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(No Transcript)
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CONCETTO DI ANGOLO

• Langolo è uno dei concetti geometrici tra i più
  delicati e complessi, per gli aspetti diversi ad
  esso concorrenti ma discordanti che ne rendono
  problematico lapprendimento.
• Innanzitutto diamo la definizione di un angolo
  Langolo è ciascuna delle due parti in cui un
  piano risulta diviso da due semirette che hanno
  lorigine in comune.
• Le due semirette OA e OB si considerano
  appartenenti a ciascuno dei due angoli e si
  chiamano lati dellangolo la loro origine comune
  O si dice vertice dellangolo.
• Per indicare un angolo possiamo usare notazioni
  diverse
• AOB
  aOb O
• Prendiamo una semiretta e facciamole compiere una
  rotazione intorno alla sua origine O. Possiamo
  quindi dare una seconda definizione di angolo
  Langolo è la parte di piano
  generata da una semiretta che
  ruota intorno alla sua origine.
• Nel dare la seconda definizione di angolo si è
  fatto ricorso al concetto di rotazione. E
  opportuno segnalare agli alunni che ogni
  rotazione può avvenire in due versi fra loro
  opposti
• Verso orario è quello che avviene secondo il
  movimento delle lancette dellorologio.
• Verso antiorario è quello opposto al
  movimento delle lancette dellorologio

Lato
Vertice
Lato
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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• Solitamente in paesi come lItalia, in cui
  linsegnamento della geometria euclidea ha una
  tradizione consolidata, lapproccio della
  geometria avviene a partire dagli elementi
  fondamentali e sin dallinizio viene data la
  definizione di angolo come parte del piano
  delimitata da semirette aventi la stessa
  origine, di tipo statico, prescindendo dal
  considerare esperienze che possano giustificare
  agli occhi dellallievo lintroduzione di questo
  concetto matematico.
• Questa introduzione formale e il tipo di
  rappresentazioni cui si fa ricorso producono
  spesso nellallievo unacquisizione del concetto
  di angolo, e di altri ad esso relativi, poco
  chiara e distorta.

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• Invece, in paesi di area inglese, che promuovono
  una matematica realistica, ossia che punta alla
  matematizzazione del reale a partire
  dallosservazione di situazioni pratiche, si ha
  un approccio del concetto di angolo
  sullosservazione dei corpi in movimento
  rotatorio e sulla rappresentazione grafica di
  tali movimenti.
• Laspetto di tale concetto che prevale è di tipo
  dinamico ed allude a quello di angolo orientato.

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• Le due impostazioni, entrambe poggiate
  sullintuizione, riflettono due aspetti diversi
  del concetto di angolo, uno statico che prescinde
  dallorientamento nel piano, laltro dinamico che
  viceversa è legato ad esso.
• Nel 1 caso, proprio per la mancanza
  dellorientamento del piano, ci si scontra con la
  difficoltà, date due semirette concorrenti, di
  avere individuati nel piano due angoli e questo
  comporta limmediata definizione di angolo
  convesso o concavo.
• Nel 2 caso, invece, si determina un angolo che è
  unicamente individuato dal verso con cui si
  suppone che la retta ruoti.

2 caso Concetto di tipo dinamico
1 caso Concetto di tipo statico
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STUDI SULLINSEGNAMENTO-APPRENDIMENTO DEL
CONCETTO DI ANGOLO

• Recentemente da parte dei ricercatori si rileva
  una certa attenzione ai problemi di
  insegnamento-apprendimento che il concetto di
  angolo comporta ed è interessante osservare come
  tali ricerche siano correlate alla cultura
  geometrica del paese in cui sono realizzate. Per
  esempio
• Laustriaco Krainer (1991) sostiene che da un
  punto di vista intuitivo si rilevano diverse
  concezioni di angolo angolo come spazio,
  angolo come uninclinazione, angolo come una
  rotazione, concezioni che, egli sostiene, non
  possono essere incluse tutte in una definizione.
• Mitchelmore (1989), ricercatore di scuola
  tedesca, sottolinea lincapacità degli allievi di
  confrontare angoli in posizioni diverse nel piano
  e raccomanda sin dalla scuola elementare un
  approccio operativo agli angoli. Sostiene di
  prendere in considerazione figure con angoli non
  convessi e di introdurre rappresentazioni che
  suggeriscano lidea di angolo come regione piana
  illimitata. Inoltre, sottolinea la necessità di
  affrontare nello stesso tempo esperienze
  informali sulla rotazione e suggerisce luso di
  rappresentazioni di angoli di rotazione sul
  modello orologio.

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• Magina e Hoyles (1991), seguendo la tradizione
  inglese, studiano lo sviluppo del concetto di
  angolo nei bambini dai 6 ai 15 anni sulla base di
  un piano di lavoro che comprende sia laspetto
  dinamico che laspetto statico di esso attraverso
  una serie di situazioni centrate sulla
  navigazione e rotazione (aspetto dinamico) e
  confronto di angoli (aspetto statico).
• Difficoltà generalmente rilevate nelle suddette
  ricerche riguardano i seguenti aspetti
• La mancanza di riconoscimento di angoli retti se
  in posizioni obliqua
• La presunta dipendenza dellampiezza di un angolo
  dalla lunghezza dei segmenti di
• retta che lo rappresentano.

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LA TRATTAZIONE DEGLI ANGOLI NEI TESTI SCOLASTICI
ITALIANI
Da un esame di libri di testo italiani per la
scuola media si rileva il prevalere di testi in
cui il concetto di angolo è introdotto ex abrupto
attraverso definizione e presentato nellaspetto
statico parte di piano originato da semirette
aventi la stessa origine e successivamente come
regione piana descritta da una semiretta che
ruota intorno alla sua origine. Marginalmente,
in due o tre di essi, si trovano evidenziati
aspetti complementari, alcuni di approfondimento,
quale la caratterizzazione dellangolo come
intersezione o unione di semipiani, altri a
sfondo esperienziale per lapproccio al concetto.
Cè da osservare che generalmente nei testi non
sono presenti riflessioni tra laspetto statico e
laspetto dinamico dellangolo e comunque nelle
successive attività prevale pesantemente il primo
aspetto. Da un punto di vista didattico è
opportuno un approccio al concetto da diversi
punti di vista. E importante rilevare come vi
siano testi, anche se non tra i più recenti, in
cui si abbandona limpostazione tradizionale
inizialmente si esaminano solidi o figure piane,
si opera su/con gli angoli presupponendoli noti,
se pure a livello intuitivo, e solo in un secondo
momento si ritorna su di essi per chiarirne il
concetto solitamente non vi è una definizione
esplicita di angolo, ma si esaminano uno o più
aspetti di esso che implicitamente lo
caratterizzano.
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DEFINIZIONI DI ANGOLI PARTICOLARI
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(No Transcript)
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• Si osserva come nei testi scolastici, una volta
  introdotto il concetto di angolo, si danno le
  definizioni di angoli speciali (nullo, giro,
  piatto, retto) e di angoli concavi e convessi.
• Alcuni testi introducono contemporaneamente agli
  angoli la loro misura, concetto attraverso il
  quale vengono definiti gli angoli speciali.
• Desidero fare presente che questa scelta, anche
  se da un punto di vista didattico appare
  economica, in realtà è culturalmente scorretta,
  essendo tali concetti indipendenti dalla misura.
• Un aspetto che andrebbe curato, a livello
  didattico, riguarda il controllo metacognitivo di
  quanto si legge ed apprende per mettere in luce
  eventuali improprietà o elementi tacitamente
  assunti, ad esempio in un testo come definizione
  di angolo retto si legge
• Quando le due semirette sono perpendicolari
  formano un angolo retto, ma scorrendo il testo
  allindietro alla ricerca della definizione di
  rette perpendicolari si legge Due rette si
  dicono perpendicolari quando dividono il piano in
  quattro angoli retti.

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• Per quanto riguarda in particolare i concetti di
  angolo nullo e angolo giro occorre rilevare che
  se da un punto di vista statico possono ritenersi
  plausibili visti come caso limite, dal punto di
  vista dinamico non lo sono più tanto, se non si
  vuole sconfinare nel cosiddetto angolo
  generalizzato, ossia langolo che tiene conto e
  conserva memoria del movimento compiuto da una
  delle due semirette per sovrapporsi allaltra.
• Da un punto di vista matematico ciò che conta non
  è il movimento compiuto dalla semiretta che lo
  genera, ma le sue posizioni iniziale e finale e
  pertanto nei due casi ci si trova di fronte al
  medesimo angolo.
• Come già detto, le prime proprietà che si
  considerano in riferimento agli angoli sono la
  convessità e la concavità, e anche in tal caso si
  trovano sui testi definizioni diverse. In
  generale, si ritiene interessante per promuovere
  la riflessione negli allievi, lavorare sul
  confronto di definizioni diverse di una stessa
  cosa, analizzando su quali elementi si poggiano e
  le relative implicazioni.
• Cè da sottolineare inoltre che lo studio
  condotto nei testi e le rappresentazioni usate si
  riferiscono sempre ad angoli convessi e
  generalmente ciò è tacitamente assunto. Questa
  scelta, se pure limita le difficoltà
  dellallievo, di fatto produce un apprendimento
  parziale e poco consapevole dei casi generali.

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MISURA DEGLI ANGOLI

• Confronto di due angoli
• Confrontare due angoli significa stabilire se due
  angoli dati sono congruenti o, se non lo sono,
  determinare qualè il maggiore. Per esempio, si
  vogliono confrontare due angoli AOB e AOB. Si
  possono presentare 3 casi

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(No Transcript)
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Addizione di angoli
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Sottrazione di angoli
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Bisettrice di un angolo
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Angoli acuti e angoli ottusi
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Angoli complementari, supplementari ed
esplementari
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Angoli opposti al vertice
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Misura degli angoli

• Ogni angolo è caratterizzato da unampiezza che
  dipende dallapertura dei suoi lati.
• Lampiezza di un angolo è una grandezza e quindi
  misurabile.
• Per misurare un angolo dobbiamo scegliere
  ununità di misura e confrontarla con langolo
  dato. Lunità di misura è il grado, cioè langolo
  pari alla 360 parte dellangolo giro.
• Si dice grado langolo che è la
  trecentosessantesima parte dellangolo giro.
• Langolo nullo misura 0
• Langolo retto misura 90
• Langolo piatto misura 180
• Langolo giro misura 360

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(No Transcript)
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• Una delle questioni più importanti e spesso
  confusa nei testi riguarda il confronto e la
  congruenza (uguaglianza) di angoli, il concetto
  di ampiezza di un angolo e la relativa misura.
• Da un punto di vista didattico, a questo livello
  scolare, la strada che sembra più pertinente da
  percorrere sia quella di assumere come primitivo
  il concetto di ampiezza ed introdurre il concetto
  di angoli congruenti come angoli aventi la stessa
  ampiezza, dopo aver presentato il confronto di
  angoli ricorrendo alla sovrapponibilità (ideale)
  ottenuta per trasporto mediante movimento rigido
  solitamente nei testi si ricorre a
  rappresentazioni grafiche opportune e si
  suggeriscono concretizzazioni di ciò utilizzando
  angoli ottenuti per ritaglio di fogli di carta
  trasparente.

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• Nella maggioranza dei testi, che ricalcano
  linsegnamento tradizionale, si parla di somma di
  angoli sarebbe invece più opportuno parlare di
  somma delle ampiezze (così come sarebbe più
  opportuno parlare di somma di lunghezze e non di
  somma di segmenti).

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• La misura dellampiezza di un angolo è,
  ovviamente, legata alla misura della
  circonferenza losservanza dellinvarianza del
  rapporto tra la lunghezza di un arco di
  circonferenza rispetto al raggio porta ad
  assumere questo rapporto come misura dellangolo
  che insiste sullarco questo porta ad esprimere
  le misure degli angoli in termini di numeri reali
  dellintervallo (0,2?).
• Il rapporto fra la lunghezza della circonferenza
  qualsiasi e la lunghezza del suo diametro è
  costante C/d??
• Ricordando che langolo al centro di ampiezza
  360 corrisponde a tutta la circonferenza, si ha
  che Cl360?????????? (l360)C?

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• Comunemente tuttavia la misura degli angoli viene
  espressa in gradi, sistema di antichissima
  origine, nato dallosservazione del moto
  apparente del sole attorno alla terra.
• Da un punto di vista didattico è opportuno
  giustificare agli allievi la genesi di tale
  sistema di misure, ma è bene non soffermarsi
  tanto.
• Strumento di misura degli angoli rispetto al
  sistema decimale è il goniometro e di esso ne
  esistono varie versioni, le più economiche non
  vanno oltre langolo piatto e per lo più sono
  graduate da sinistra verso destra,
  sottintendendo, come riferimento, il verso orario
  di rotazione. Questo cozza con le usuali
  rappresentazioni degli angoli che sottintendono
  il verso antiorario di rotazione e non fa che
  aggiungere ostacoli al già difficile problema del
  controllo della giusta collocazione dello
  strumento.

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• CONCLUSIONI
• Per verificare il grado di assimilazione degli
  argomenti da parte degli allievi, sono necessari
  appositi esercizi da proporre agli alunni. Per
  esempio
• Esercizi di disegno geometrico con luso di riga
  e compasso
• Bisettrice di un angolo dato
• Divisione di un angolo retto in 3 parti

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SCHEDA- Ora che gli alunni
sappiano disegnare e riconoscere angoli acuti,
retti, ottusi, piatti e giro, cerchiamoli
guardando fuori dalla finestra, nei disegni e
nelle fotografie.- Il primo esercizio invita
gli alunni a segnare gli angoli presenti, non
tutti, ma solo 4 per tipo possiamo farli segnare
nel modo classico e cioè tracciando un arco che
collega i due lati dellangolo.- il secondo
esercizio, invece, chiede agli alunni di
osservare bene le figure disegnate e di scrivere
i tipi di angolo presenti allinterno della
figura il quadro ha tutti e quattro gli angoli
retti, un cartello di pericolo stradale li ha
tutti acuti, mentre laltro li ha ottusi.-
Questa scheda permette di iniziare a fare una
riflessione sui tipi di angolo maggiormente
presenti negli oggetti che ci circondano.
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(No Transcript)