Elektrik Devre Denklemlerinin Euler Lagrange ve Hamilton Form

1
Elektrik Devre Denklemlerinin Euler Lagrange ve
Hamilton Formülasyonlari

• Mustafa Kösem
• Özkan Karabacak

2
IÇERIK

• Çalisma grubumuz
• Neden farkli bir formülasyon?
• Euler-Langrange(EL) ve Hamilton(H) denklemleri
• Elektrik devrelerinin EL-H formülasyonlari-kisa
  tarihçe
• Ötesi

3
Neden farkli bir formülasyon?

• Elektromekanik sistemler
• Lineer olmayan sistemler
• Davranisi dogrudan görmek
• Kapilar tanimlayarak enerji temelli kontrol
  yapmak
• Ve diger teorileri elektrige tasimak

4
EL-H Denklemleri (Neden Newton yetmiyor?)

• Tek parçacik için Newtonun ikinci yasasi
• Kuvvet korunumlu ise
• V bir skaler fonksiyon adi potansiyel (enerji)

Stokes
theorem
5
EL-H Denklemleri (Neden Newton yetmiyor?)

• T bir skaler fonksiyon adi kinetik enerji
• H bir skaler fonksiyon adi enerji
• H korunur.

6
EL-H Denklemleri (Neden Newton yetmiyor?)

• N parçacik için Newtonun ikinci yasasi
• Kuvvetler korunumlu ise,
• ,
• H korunur.

7
EL-H Denklemleri (Neden Newton yetmiyor?)

• Çünkü sistemde etkisini bilip de kendisini
  bilemedigimiz kuvvetler olabilir. Yani KISIT
  KUVVETLERI

x2
?
genellestirilmis koordinat
x1
Kisit kuvveti (genelde issiz)
alisildik koordinatlar
F(e)
Kisit
8
EL-H Denklemleri (Kisit kuvvetlerinden bagimsiz
bir denklem DAlembert Prensibi)
statik
kisit kuvvetlerini ayirdik
statik
dinamik
dinamik
DAlembert Prensibi DAlembert Prensibi

9
EL-H Denklemleri (DAlembert Prensibi
genellestirilmis koordinatlara tasinmasi EL-H
denklemleri )

• Euler-Lagrange denklemleri
• L Lagrange fonksiyonu
• Korunumsuz kuvvetler var ise

10
EL-H Denklemleri (DAlembert Prensibi
genellestirilmis koordinatlara tasinmasi EL-H
denklemleri )

• Hamilton denklemleri
• H Hamilton fonksiyonu

11
BASIT SARKAÇ
Newton denklemleri kullanilarak
12
BASIT SARKAÇ
Euler-Lagrange denklemleri kullanilarak
Koordinat dönüsümü
Genellestirilmis koordinatlara geçis
13
UYARILMIS SARKAÇ
Euler-Lagrange denklemleri kullanilarak
14
Elektrik devrelerinin EL-H formülasyonlari

• Application of the Lagrangian equations to
  electrical circuits, D. A. Wells, 1938.
• A theory of nonlinear networks, R. K. Brayton, J.
  K. Moser, 1964.
• Explicit topological formulation of Lagrangian
  and Hamiltonian equations for nonlinear networks,
  L. 0. Chua and J. D. McPherson, 1974.
• A method for obtaining a canonical hamiltonian
  for nonlinear LC circuits, G. M. Bernstein and M.
  A. Lieberman, 1989.
• Ötesi

15
Brayton-Moser Denklemleri
Devre üzerine kisitlamalar Kondansatör
gerilimleri ve endüktans akimlari tam degiskenler
kümesi olustursun. Denge noktasi problemi
çözülebilir olsun.
P karisik potansiyel fonksiyonu (mixed potantial
function)
16
LC DEVRELERI
Devre topolojisi üzerine kisitlamalar Kondansatörl
er çevre, endüktanslar kesitleme olusturmuyor.
Eleman tanim bagintilari üzerine
kisitlamalar Dallar Kirisler
17
LAGRANGE FONKSIYONU
18
EULER-LAGRANGE DENKLEMLERI
Bu denklem saglanir.
19
L, C, J, R DEVRELERI
Dallar Kirisler
20
GENEL HALDE EULER-LAGRANGE DENKLEMLERI
21
ÖRNEK
Durum degiskenleri gösterimi
Euler-Lagrange gösterimi
22
HAMILTON DENKLEMLERI
Eleman tanim bagintilari üzerine kisitlamalar
23
BIR LC DEVRESININ KARMASIKLIGI
Devre topolojisi üzerine kisitlamalar Kondansatörl
er çevre, endüktanslar kesitleme olusturmuyor.
24
KANONIK YAPIDA HAMILTON DENKLEMLERI
25
Ötesi

• Kontrol
• - enerji sekillendirme (Power shaping)
• - pasiflik temelli kontrol (PBC)
• - baglanti ve sönüm atama yoluyla pasiflik
  temelli kontrol (IDA-PBC)
• Diferansiyel geometri
• - manifold üzerinde dinamik sistem
• - simetri