EVALUATION STOCHASTIQUE de la PROVISION POUR SINISTRES

1
EVALUATION STOCHASTIQUEde laPROVISION POUR
SINISTRES

• Christian PARTRAT
• Conférence scientifique - Institut des Actuaires
• 
  20 janvier 2004

2
Le provisionnement plus un art quune science
3
Introduction (1)

• Finalité première
• Mesurer l'incertitude présente dans
• les triangles de
  liquidation
• et
• les résultats des
  méthodes déterministes

4
Introduction (2)

• Les méthodes stochastiques (modèles) permettent
  de
• expliciter les hypothèses utilisées dans le
  modèle.
• 2. valider, au moins partiellement, celles-ci
• 3. évaluer la variabilité de la provision
  "prévue" par le modèle.
• 4. obtenir des estimations et intervalles de
  confiance pour des paramètres dintérêt liés à la
  provision
• 5. simuler, à l'aide de méthodes Monte-Carlo, la
  sinistralité d'exercices futurs (Dynamic
  Financial Analysis, Gestion Actif-Passif,) .

5
Introduction (3)

• Par mise en oeuvre de techniques bootstrap
• estimation de la loi de probabilité de la
  provision
• et
• possibilité alternative d'estimer ses
  caractéristiques
• Moments
• Value-at-Risk (quantiles)
• Probabilité d'insuffisance
• etc

6
Introduction (4)

• Approche stochastique ? ? choix dun modèle
• risque d'erreur de spécification (modèle
  inexact)
• mais possibilité dutiliser un jeu de modèles
• (analyse de
  sensibilité)

7
Introduction (5)

• Benchmark incontournable chain ladder
  (standard)
• Lestimation de la provision donnée par une
  méthode stochastique doit être
• proche (Régression LogNormale, Kremer 1982, )
• exactement égale (modèle conditionnel Mack, 1993
  modèle Log-Poisson de Renshaw et Verrall, 1994 et
  1998)
• à lévaluation chain ladder

8
Introduction (6)

• Hors modèle de Mack sur triangle cumulé
• Modèles stochastiques, sur triangle non cumulé,
• basés sur le modèle linéaire
• 
  (i) Normal
• 
  (ii) Généralisé (GLM)
• Mise en œuvre pratique logiciels statistiques
  (SAS,)
• Rem Filtre de Kalman non présenté

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Exemple (1)
Dommages Auto Paiements non cumulés (Increments)
délai j délai j délai j délai j délai j délai j
exercice i exercice i 0 1 2 3 4 5
1988 0 3 209 1 163 39 17 7 211
1989 1 3 367 1 292 37 24 10
1990 2 3 871 1 474 53 22
1991 3 4 239 1 678 103
1992 4 4 929 1 865
1993 5 5 217
1 Intègre une évaluation des paiements
postérieurs au 31/12/93 pour les sinistres
survenus en 1988.
10
Exemple (2)
Dommages Auto Paiements cumulés (Cumulative)
délai j délai j délai j délai j délai j délai j
exercice i exercice i 0 1 2 3 4 5
1988 0 3 209 4372 4411 4428 4435 4440
1989 1 3 367 4659 4696 4720 4730
1990 2 3 871 5345 5398 5420
1991 3 4 239 5917 6020
1992 4 4 929 6794
1993 5 5 217
Provisions Chain ladder
0
22
36
66
153
2 150
2 427
11
Notations (1)

• Branche à déroulement sur années
  (n5)
• Pour
• v.a.r. montant non cumulé (exercice i
  délai j )
• v.a.r. montant cumulé
  (ex. i délai j )
• Triangle supérieur T des montants observé
• réalisation de

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Notations (2)

• Provision de lexercice i
• Provision globale (tous exercices confondus)
• Cash-flows annuels futurs, au titre de l
  exercice nk
• 
  

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Problématique (1)

• A.Estimation d'un paramètre
• (certain mais
  inconnu)
• lié à la loi de R ( fonct. répart. de R )
• 
  
• un indicateur de valeurs centrales de R
• moyenne, médiane,
  quantile dordre gt0.5,
• Best estimates de R
  

14
Problématique (2)

• la probabilité d'insuffisance d'une provision
  donnée a priori
• un indicateur de volatilité  variance,
  écart-type,
• un indicateur de queue la Value-at-Risk d'ordre
• la
  TailVaR
• une marge (Market Value Margin, IAS/IFRS)
• .

15
Problématique (3)

• estimateur de
• Propriétés (biais, )
• Mesures dincertitude destimation
• Mean Square Error
• Standard Error
  (asymptotique)
• estimées

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Problématique (4)

• Intervalle de confiance pour au
  niveau 0,95

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Problématique (5)

• B. prédiction de R
• Prédicteur de la v.a.r. R
• Mesure dincertitude de prédiction
• 
  
• 
  estimation de E(R)

18
Problématique (6)

• (1) p 0,4 m 10
  tirages avec remise
• (0) q 0,6 Obs
  X1 , X2 , , Xm
• 
  0 ,
  0 , 1 ,0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0
• Estimation de p
• 
  ( 0,3 )
• Prédiction de la v.a.r.
• 
  ( 0 )

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Modèle conditionnel de Mack (1)

• Chain ladder stochastique 1
• Mack, 1993 Mack,1999
• Utilise le triangle des montants cumulés sous
• H1 Indépendance des exercices d'origine
• Les v.a. et
  sont indépendants

,

20
Modèle conditionnel de Mack (2)

• H2 Pour , il existe un
  paramètre
• tel que
• ou
• 
  , indépendant de i
• Pour , facteur CL
  estimateur ss biais de

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Modèle conditionnel de Mack (3)

• H3 Pour , il existe un
  paramètre tel que
• Estimation des MSE et standard errors de
  et
• Hyp. 2 et 3 validées graphiquement

22
Modèle conditionnel de Mack (4)
Risques relatifs destimation des provisions
i 1 2 3 4 5
Risque Ri 6,4 8,1 8,0 22,8 3,6

Risque R 3,7
23
Remarque

• Colloque ASTIN 2003, Berlin
• G.Quarg Munich chain ladder
• Closing the gap between paid and
  incurred
• IBNR-estimates
• détermination de la provision par intégration de
• la charge sinistres
• les paiements

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Modèles à variables explicatives (1)

• Les variables intervenant dans la
  modélisation d'un triangle de liquidation
  correspondent aux trois directions "naturelles"
• 
  
• délai
  
• 0 0 j
  n
• année i
• n
  ij
• 
  année calendaire

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Modèles à variables explicatives (2)

• Les variables année (origine ou calendaire)
• qualitatives ordinales ??
  qualitatives
• param. ,
• 
  
• Pour un triangle déflaté
• 
  
• la variable délai, naturellement quantitative
  discrète à valeurs 0, 1, .prise en
• (i) qualitative
• (ii) quantitative

26
Exemple (3)

• j 0 1 2 3 4 5
• i
• 0 3 209 1 163 39 17 7 21
• 1 3 367 1 292 37 24 10
• 2 3 871 1 474 53 22
• 3 4 239 1 678 103
• 4 4 929 1 865
• 5 5 217
• 
  0 année, délai de référence

27
Modèles à variables explicatives (3)

• Hyp. les v.a.r. sont
  indépendantes
• Modèle
• Choix de la loi des , dépendant de
  (i,j)
• LogNormale
• Famille exponentielle (GLM)
• Binomiale, Poisson (surdispersé), Normale, Gamma,
  

28
Modèles à variables explicatives (4)

• un lien entre loi et variables explicatives
• Formes standards
• Additive
• Multiplicative
  ou
• Modèle LogNormale

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Modèles à variables explicatives (5)

• La loi des peut dépendre dun autre
  paramètre
• Loi de donc le paramètre
• est fonction du paramètre
• exemple

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Modèles à variables explicatives (6)
Etape 1 Estimation

• La méthode du maximum de vraisemblance, appliquée
  aux données du triangle supérieur, fournit les
• estimateurs m.v. de
• et de tout paramètre fonction de
• Exemple emv de
• 
  best est. de

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Exemple (4)
Emv Valeurs (Z) prévues
0 -0.9674 -4.2329 -5.0571 -5.9031 -4.9027
0 7.947 6.980 3.714 2.890 2.044 3.045
0.1604 8.108 2.205
0.2718 8.219 3.162
0.5904 8.538 4.305
0.5535 8.501 7.533
0.6126 8.560 3,657
32
Exemple (5)
Val.(X) prévues
Prov. 2462
i j 0 1 2 3 4 5
0 2849 3209 1083 1163 41 39 18 17 8 7 21 21
1 3345 3367 1271 1292 49 37 21 24 9 10 25
2 3739 3871 1421 1474 54 53 24 22 10 28
3 5142 4239 1954 1678 75 103 33 14 38
4 4956 4929 1884 1865 72 32 13 37
5 5258 5217 1997 76 34 14 39
33
Modèles à variables explicatives (7)

• Problème du biais
• estimateur biaisé
  (positivement) de
  
• asymptotiquement sans
  biais
• Verrall, 1991
  Doray, 1996

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Exemple (6)
Résidus (Z) Obs Val. prévues
i j 0 1 2 3 4 5
0 0.127 0.079 -0.051 -0.057 -0.098 0
1 0.014 0.024 -0.264 0.128 0.098
2 0.042 0.044 -0.016 -0.071
3 -0.185 -0.145 0.330
4 0.002 -0.002
5 0
35
Régression LogNormale (1)

• Etape 2 Diagnostic du modèle
• Détection des cellules atypiques
• Contrôle des hypothèses
• (indépendance,Normalité,homosc
  édasticité)
• par analyse des résidus

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Exemple (7)
Cellules atypiques
i j 0 1 2 3 4 5
0 0.127 0.079 -0.051 -0.057 -0.098 0
1 0.014 0.024 -0.264 0.128 0.098
2 0.042 0.044 -0.016 -0.071
3 -0.185 -0.145 0.330
4 0.002 -0.002
5 0
37
Exemple (8)
i j 0 1 2 3 4 5
0 2849 3209 1083 1163 41 39 18 17 8 7 21 21
1 3345 3367 1271 1292 49 37 21 24 9 10
2 3739 3871 1421 1474 54 53 24 22
3 5142 4239 1954 1678 75 103
4 4956 4929 1884 1865
5 5258 5217
38
Exemple ( 9)
39
(No Transcript)
40
(No Transcript)
41
Régression LogNormale (2)

• Détection des observations influentes sur
• (i) valeurs prévues
  (DFFITS)
• forte pour (1,2) très forte pour (3,2)
• (ii) estimation des
  param. (DFBETAS)
• forte pour (1,2) et (3,2)
• (iii) précision
  destimation (COVRATIO)
• précision par la présence des obs autres que
  (1,2) et (3,2)

42
Régression LogNormale (3)

• Etape 3 Risque destimation
• Calcul direct de et IdC pour
  difficiles
• Techniques alternatives
• Méthode Delta (asymptotique)
• 2. Méthode bootstrap

43
Régression LogNormale (4)

• Méthode Delta
• Emv
• Matrice Var-Cov

44
Exemple (10)
Mat. Var-Cov estimée
0,012 -0,006 -0,007 -0,012 0
-0,006 0,012 0,006 0,006 0
-0,007 0,006 0,015 0,007 0

-0,012 0,006 0,007 0,043 0
0 0 0 0 0,001
45
Régression LogNormale (5)

• E(R) fonction de , par
• Théorème
• où
  gradient de g
• Doù loi (asympt.) de , ,
  IdC pour E(R)

46
Régression LogNormale (6)

• Méthode Bootstrap
• Par rééchantillonnage B fois du triangle des
  résidus
• (B1000 2000 ..)
• B réplications bootstrap de lestimateur
  de
• Variance empirique, Vboot , estime
• IdC pour E(R), Est. de la loi de ,
  etc

47
Perspectives R D

• 
  loi
• Modèles à quasi-vraisemblance
• Joint modelling
• Régression non paramétrique (lissage), GAM
• Modèles bayesiens (Bornhuetter-Ferguson)
• Mack T. (2000) Astin Bull.
  Vol.30,333-348
• Increments lt0

48
Références (1)

• Christofides S. (1990) "Regression models based
  on Log incremental payments". Claims Reserving
  Manual Vol. 2, Institute of Actuaries
• Derrig R.A., Ostazewski K.M., Rempala G.A.(2000)
  "Applications of resampling methods in
  actuarial practice" Cas.Act.Soc.
• Doray L.G. (1996) "UMVUE of the IBNR reserve in
  a Log normal linear regression model" Ins. Math
  Econ. Vol. 18, 43-57
• England P.D., Verrall R. J. (1999) "Analytic
  and bootstrap estimates of prediction error in
  claims reserving" Ins. Math. Econ. Vol. 25,
  281-293
• England P.D., Verrall R. J. (2001) "A flexible
  framework for stochastic claims reserving" Cas.
  Act. Soc.
• England P.D., Verrall R. J. (2002) "Stochastic
  claims reserving in General Insurance" Institute
  of Actuaries.
• Hastie T.J.,Tibshirani R.J. (1990) "Generalized
  additive models". Chapman Hall

49
Références (2)

• Jal P. (2002) "Obtention dintervalles de
  confiance en réassurance IARD par la méthode du
  bootstrap". Soumis au Bull. Franç. dActuariat.
• Kaas R., Goovaerts M., Dhaene J., Denuit M.
  (2001) "Modern Actuarial Risk Theory" Kluwer
  Acad. Press
• Kremer E. (1982) "IBNR claims and the two way
  model of Anova" Scand. Act. J., 47-55
• Laboureau M., Brochard J. (1998) "Estimation du
  risque lié au calcul des réserves" Mémoire
  ENSAE/IAF
• Mack T. (1993) "Distribution free calculation
  of the standard error of Chain ladder reserve
  estimates" Astin Bull. Vol. 23, 213-225
• Mack T. (1994) "Which stochastic model is
  underlying the chain ladder model" Ins. Math.
  Econ. Vol. 15, 133-138
• Mack T., Venter G. (2000) "A comparison of
  stochastic models that reproduce chain ladder
  reserve estimates" Ins. Math. Econ. Vol. 26,
  101-107

50
Références (3)

• Mc Cullagh P., Nelder J. (1989) "Generalized
  Linear Models" 2e ed. Chapman Hall
• Nelder J., Wedderburn R. W. (1972) "Generalized
  Linear Models" J. Royal Stat. Soc. Vol. 135,
  370-384
• Pinheiro P., Andrade e Silva J., Centeno M.
  (2001) "Bootstrap methodology in claim
  reserving" Astin Colloq., Washington
• Raymond Marc (2001) Le calcul des provisions
  pour sinistres à payer-Approches stochastiques
  Mémoire CEA/IAF.
• Renshaw A. E., Verrall R. J. (1994) "A
  stochastic model underlying the chain ladder
  technique" Proceedings of XXV Astin Colloq.,
  Cannes
• Renshaw A. E., Verrall R. J. (1998) "A
  stochastic model underlying the chain ladder
  technique" British Act. J. Vol. 4, 903-923
• Schmidt K. D., Schrans A. (1996) "An extension
  of Mack's model for the chain ladder method"
  Astin Bull. Vol. 26, 247-262
• Shao J., Tu D. (1995)  "The Jackknife and
  bootstrap" Springer

51
Références (4)

• Séminaire ISFA-ISUP (1995) "Evaluation des
  provisions techniques en assurance non vie" ISFA,
  Université Claude Bernard Lyon 1
• Swiss Re (2000) "Late claims in reinsurance"
• Taylor G. (2000) "Loss reserving an actuarial
  perspective" Kluwer Acad. Press
• Verrall R. J. (1991) "On the estimation of
  reserves from Log linear models" Ins. Math.
  Econ. Vol. 10, 75-80
• Verrall R. J. (2000) " An investigation into
  stochastic claims reserving models and the chain
  ladder techniques" Ins. Math. Econ. Vol. 26,
  91-99
• Verrall R. J., England P.D., (2000) "Comments on
  a comparison of stochastic models that
  reproduce chain ladder reserve estimates, by Mack
  and Venter" Ins. Math. Econ. Vol. 26, 109-111
• Mémoires de lInstitut des Actuaires sur le
  provisionnement non vie

52
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Evaluation de la provision pour sinistres
Mesures dincertitude
Bootstrap
C. PARTRAT P. JAL
53
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Méthode Chain Ladder
54
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Triangle des paiements non cumulés
55
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Triangle des paiements cumulés
56
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Triangle des paiements cumulés
57
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Déroulement du triangle
58
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Calcul des provisions
59
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Modèle stochastique de Poisson (Chain ladder
stochastique 2)
60
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Modèle stochastique de Poisson
SAS
61
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Modèle stochastique de Poisson
62
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
63
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
Hypothèse modèle Poissonnien pour la
distribution des paiements
Or résultats du modèle de Poisson résultats de
Chain Ladder
64
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
1ère étape Chain Ladder  classique 
65
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
1ère étape calculer les valeurs prédites par le
modèle pour la partie supérieure du triangle
66
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
1ère étape calculer les valeurs prédites par le
modèle pour la partie supérieure du triangle
67
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
1ère étape calculer les valeurs prédites par le
modèle pour la partie supérieure du triangle
68
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
1ère étape calculer les valeurs prédites par le
modèle pour la partie supérieure du triangle
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Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
2ème étape en déduire les paiements annuels
prédits par le modèle
70
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
3ème étape calculer le triangle des résidus de
Pearson non standardisés
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Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
4ème étape appliquer le Bootstrap au triangle
des résidus de Pearson
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Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
5ème étape reconstituer pour chaque triangle de
résidus le triangle des paiements
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Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
6ème étape on reprend la méthode Chain Ladder
avec chaque triangle ainsi obtenu
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Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
6ème étape on reprend la méthode Chain Ladder
avec chaque triangle ainsi obtenu
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Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
6ème étape on reprend la méthode Chain Ladder
avec chaque triangle ainsi obtenu
76
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
En faisant ceci pour chaque triangle bootstrapé,
on obtient un 10000-échantillon de réalisations
de notre variable  provision 
77
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
En ajoutant une simple série de simulations
supplémentaires