TRIGONOMETRIJA PRAVOKUTNOG TROKUTA

1
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
Ivana Grgic, Ljerka Košak, Sanja Miler, Sonja
Karlovcec, Tanja Liber
2
Slicnost trokuta

• Za likove koji imaju isti oblik ali se razlikuju
  po velicini, kaže se da su slicni.

3
Slicnost trokuta

• Nacrtajmo dva trokuta razlicitih velicina koji
  imaju unutarnje kutove jednake 30, 60 i 90.

• Unutrašnji kutovi trokuta A2B2C2 sukladni su
  unutrašnjim kutovima trokuta A1B1C1

4
Slicnost trokuta

• Usporedimo li duljine onih dviju stranica
  nacrtanih trokuta koje su nasuprot sukladnim
  kutovima, dobivamo

5
Slicnost trokuta

• Omjeri duljina stranica koje su nasuprot
  sukladnim kutovima nacrtanih trokuta isti su i
  jednaki 2. Tada možemo pisati ovako

• Trokuti na slici ocito su slicni (istog oblika)
  pa cemo na isti nacin i opcenito odrediti slicne
  trokute.

6
Slicnost trokuta

• Dva su trokuta slicna ako su kutovi jednog
  trokuta sukladni s kutovima drugog trokuta i

ako su im omjeri odgovarajucih stranica trokuta
jednaki.

• Da su trokuti slicni krace pišemo
• A2B2C2 A1B1C1

7
Kutevi
Kut je ureden par (p,q) dviju zraka koje imaju
isti pocetak V.
p
V
q
Mjera kuta pVq je neki broj iz skupa ? k
360, k ? Z
8
Radijani
Radijanska mjera kuta odreduje se kao omjer
duljine luka prema polumjeru luka.
Pretvaranje radijana u stupnjeve
9
Brojevna kružnica
Svakom broju t brojevnog pravca pridružena je
tocka T na brojevnoj kružnici.
E(t) T
To pridruživanje nazivamo eksponencijalno
preslikavanje!
10
TRIGONOMETRIJA PRAVOKUTNOG TROKUTA

• Grcki trigonon trokut
• metrein mjera

11
Trigonometrijske funkcije šiljastog trokuta
B'
B
ß
ß
a
A
C'
C
12
Pravokutni trokut

• Prema položaju stranica a i b u odnosu na kut a,
  stranicu a nazivamo NASUPROTNA KATETA, a stranicu
  b PRILEŽECA KATETA.

13
Omjeri kateta i hipotenuze u pravokutnom trokutu

14
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija

• Za svaki šiljasti kut a uvijek vrijedi
• 0 lt sin a lt 1 0 lt cos a lt 1
• jer su u pravokutnom trokutu katete manje od
  hipotenuze.

• Vrijednosti funkcija tg a i ctg a mogu biti po
  volji odabrani pozitivni brojevi, jer takvi mogu
  biti omjeri kateta.

15
Sinus i kosinus
TE(t)(cost, sint)
x
sin(t)
y
t
O
P(cost, 0)
cos(t)
16
Sinus i kosinus po volji odabranog kuta

• Neka je t po volji odabran realni broj, T E(t)
  njemu odgovarajuca tocka na brojevnoj kružnici.
  Tada je
• T (cos t, sin t)
• Vrijednost funkcije kosinus (cos t) je apscisa, a
  vrijednost funkcije sinus (sin t) je ordinata
  tocke T E(t).

17
Temeljni identitet

• Za svaki realni broj t vrijedi

18
Tangens
T(1, tgt)
P
tg(t)
t
A(1, 0)
O

• Vrijednost funkcije tangens (tg t) je ordinata
  tocke u kojoj pravac OP sijece tangentu p.

p
19
Kotangens
ctg(t)
Q(ctgt, 1)
q
C(0, 1)
P

• Vrijednost funkcije kotangens (ctg t) je apscisa
  tocke u kojoj pravac OP sijece tangentu q.

O
20
Predznaci trigonometrijskih funkcija

• Koordinate tocaka na brojevnoj kružnici
  mijenjaju predznak pri prijelazu u novi kvadrant.
  
• Sinus i kosinus ce mijenjati svoj predznak kad
  tocka T obide brojevnu kružnicu.

(0,1)
21
Predznaci trigonometrijskih funkcija
Kako vrijedi
to ce tg i ctg biti pozitivni tamo gdje su
sinus i kosinus istog predznaka u I i III
kvadrantu.
22
Parnost i neparnost

• Funkcija f je parna ako za svaki t iz njene
  domene vrijedi f (-t) f (t).

• Ona je neparna ako za svaki t iz njene domene
  
• vrijedi f (-t) -f (t).

Jesu li trigonometrijske funkcije parne ili
neparne funkcije?
23
Parnost i neparnost

• Tocke E(t) i E(-t) simetricne su s obzirom na os
  Ox. Zato se njihove apscise podudaraju, a
  ordinate razlikuju u predznaku

24
Periodicne funkcije

• Za funkciju f kažemo da je periodicna ako postoji
  pozitivan realni broj P takav da za svaki t iz
  domene funkcije f vrijedi

• Broj P zove se period funkcije f. Najmanji
• takav pozitivni broj (ako postoji) zove se
• temeljni period funkcije f.

25
Periodicnost funkcija sinus i kosinus

• Brojevima t i t 2p odgovara ista tocka T na
  brojevnoj kružnici. Zato vrijedi za svaki realni
  broj t

sin (t2p) sin t , cos (t2p) cos t
Ovo se svojstvo naziva periodicnost funkcije
sinus, odnosno kosinus.
26
Periodicnost funkcija sinus i kosinus
Sinus i kosinus su periodicke funkcije s periodom
2p.

• sin (t2kp) sin t , cos (t2kp) cos t

Da bismo odredili vrijednosti trigonometrijskih
funkcija sinus i kosinus, dovoljno je poznavati
njihove vrijednosti unutar intervala 0,2p.
27
Periodicnost funkcija tangens i kotangens

• tg (tp) tg t , ctg (tp) ctg t
• tg (tkp) tg t , ctg (tkp) ctg t .

Tangens i kotangens su periodicke funkcije s
periodom p.
28
GRAFOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
29
Graf funkcije sinus
30
Graf funkcije sinus
31
Ponašanje funkcije sinus

• Funkcija f(x) sin(x) ima sljedeca svojstva

• Nultocke funkcije su brojevi kp, k?Z.
• Maksimum funkcije je 1, a poprima se za xp/2
  2kp, k?Z.
• 3. Minimum funkcije je -1, a poprima se za x3p/2
  2kp, k?Z.
• 4. Na intervalu 0,2p tijek funkcije je

5. Funkcija je periodicna s periodom 2p.
32
Graf funkcije kosinus
33
Graf funkcije kosinus
34
Ponašanje funkcije kosinus
Funkcija f(x) cos (x) ima sljedeca svojstva
1. Nultocke funkcije su brojevi p/2kp, k?Z. 2.
Maksimum funkcije je 1, a poprima se za x2kp,
k?Z. 3. Minimum funkcije je -1, a poprima se za
x(2k1)p, k?Z. 4. Na intervalu 0,2p tijek
funkcije je

• 5. Funkcija je periodicna s periodom 2p

35
Graf funkcije sinus i kosinus
36
Graf funkcije tangens
37
Graf funkcije tangens
38
Ponašanje funkcije tangens
Funkcija f(x) tg (x) ima sljedeca svojstva
1. Nultocke funkcije su kp, k?Z. 2 Vertikalne
asimptote funkcije su pravci x p/2 kp,
k?Z. 3. Na intervalu 0,p tijek funkcije je

• 4. Funkcija je periodicna s periodom p.

39
Graf funkcije kotangens
40
Graf funkcije kotangens
41
Ponašanje funkcije kotangens
Funkcija f(x) ctg (x) ima sljedeca svojstva
1. Nultocke funkcije su p/2 kp, k?Z. 2
Vertikalne asimptote funkcije su pravci x kp,
k?Z. 3. Na intervalu 0,p tijek funkcije je

• 4. Funkcija je periodicna s periodom p.

42
(No Transcript)