Arbres binaires complets

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Arbres binaires complets

• Arbre binaire plein Chaque nœud possède 0 ou 2
  enfants.
• Arbre binaire complet Si la hauteur de larbre
  est d, alors les d-1 premiers niveaux sont
  complets. Les nœuds du dernier niveau sont tous
  à gauche.

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Théorème des arbres pleins (1)

• Theorème Le nombre de feuilles dans un arbre
  binaire plein est un de plus que le nombre de
  nœuds internes.
• Preuve (par induction mathématique)
• Base Avec un seul nœud interne, on a deux
  feuilles.
• Hypothèse dinduction Supposons que tous les
  arbres binaires pleins avec n-1 nœuds internes
  possèdent n feuilles.

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Théorème des arbres pleins (2)

• Pas dinduction Étant donné un arbre binaire
  plein avec n nœuds internes, on choisit un nœud
  interne I avec 2 enfants. On enlève les enfants
  de I pour obtenir un arbre T.
• Par hypothèse dinduction, T est un arbre
  binaire plein avec n feuilles.
• Si on replace les deux enfants de I, le nombre de
  nœuds internes augmente de 1 et le nombre de
  feuilles augmente de 1.

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Arbre binaire complets (1)
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Arbre binaire complets(2)

• Parent (r) ?(r-1)/2? si r?0
• Leftchild(r) 2r1 si 2r1 lt n
• Rightchild(r) 2r2 si 2r2 lt n
• Leftsibling(r) r-1 si rgt0 est pair
• Rightsibling(r) r1 si r?n est impair

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Monceau (heap)

• Monceau (ou tas) Arbre binaire complet possédant
  la propriété suivante
• Monceau-min La valeur dun nœud est plus petite
  que la valeur de ses enfants.
• Monceau-max La valeur dun nœud est plus grande
  que la valeur de ses enfants.
• Les valeurs sont partiellement ordonnées.
• ReprésentationTableau.

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Monceau TDA

• templateltclass Elemgt class maxheap
• private
• Elem Heap
• int size
• int n
• void siftdown(int)
• public
• maxheap(Elem h, int num, int max)
• int heapsize() const
• bool isLeaf(int pos) const
• int leftchild(int pos) const
• int rightchild(int pos) const
• int parent(int pos) const
• bool insert(const Elem)
• bool removemax(Elem)
• bool remove(int, Elem)
• void buildHeap()

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Insérer un élémement
template ltclass Elemgt bool maxheapltElemgtinsert(c
onst Elem val) if (n gt size) return
false int curr n Heapcurr val
while ( (curr!0)
(Heapcurr gt Heapparent(curr) )
swap(Heap, curr, parent(curr)) curr
parent(curr) return true
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Enlever la valeur maximum

• template ltclass Elemgt
• bool maxheapltElemgtremovemax(Elem it)
• if (n 0) return false
• swap(Heap, 0, --n)
• if (n ! 0) siftdown(0)
• it Heapn
• return true

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Siftdown (1)

• template ltclass Elemgt
• void maxheapltElemgtsiftdown(int pos)
• while (!isLeaf(pos))
• int j leftchild(pos)
• int rc rightchild(pos)
• if ((rcltn) (Heapj?Heaprc))
• j rc
• if (Heappos?Heapj) return
• swap(Heap, pos, j)
• pos j

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Construire le monceau

• (a) (4-2) (4-1) (2-1) (5-2) (5-4) (6-3) (6-5)
  (7-5) (7-6)
• (b) (5-2), (7-3), (7-1), (6-1)

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Siftdown (2)
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Coût pour construire un monceau

• Pour construire le monceau rapidement
• On commence au bas de larbre.
• On appelle siftdown pour chaque noeud.
• Inutile dappeler siftdown pour les feuilles.
• log n
• ? (i - 1) n/2i ?(n).
• i1
• car

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Tri par monceau (1)

• template ltclass Elemgt
• void heapsort(Elem A, int n)
• Elem mval
• maxheapltElemgt H(A, n, n)
• for (int i0 iltn i)
• H.removemax(mval)

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Tri par monceau (2)

• template ltclass Elemgt
• void sort(Elem array, int n)
• heapsortltElemgt(array, n)
• Temps ?(n log n)