Diapositiva 1

1
Intersección de objetos geométricos
2
Teorema 2.1 Toda línea poligonal cerrada C
divide el plano en dos regiones, una acotada y la
otra no. Además, se puede determinar si un punto
p está en la región acotada contando el número de
veces que cualquier semirrecta que comienza en p
atraviesa a C p estará en dicha región si y sólo
si dicho número es impar.                         
           
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Teorema 2.1 Toda línea poligonal cerrada C
divide el plano en dos regiones, una acotada y la
otra no. Además, se puede determinar si un punto
p está en la región acotada contando el número de
veces que cualquier semirrecta que comienza en p
atraviesa a C p estará en dicha región si y sólo
si dicho número es impar.                         
           
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Teorema La intersección de n semiplanos puede
calcularse en tiempo O(n log n)
Lema El núcleo de un polígono puede calcularse
en tiempo O(n log n)
5
Cómo calcular la región de Voronoi de un punto?
Los puntos del plano pertenecientes a h(pi,pj)
son aquellos que están más próximos a pi que a
pj.
Lema La intersección de los semiplanos h(p1,pj)
es Vor(p1).
Corolario Vor(p1) es un convexo.
6

• Intersección de
• Segmentos
• Semiplanos
• Convexos

7

• Intersección de
• Segmentos
• Semiplanos
• Convexos

8
Es posible resolver la intersección de segmentos
(decir cuales son los segmentos que se cortan y
donde) en tiempo cuadrático... A veces es
necesario el tiempo cuadrático
9
Es posible resolver la intersección de segmentos
(decir cuales son los segmentos que se cortan y
donde) en tiempo cuadrático... A veces es
necesario el tiempo cuadrático Pero en muchos
ejemplos cada segmento corta a pocos de los otros
10
(No Transcript)
11
La línea de barrido va determinando los segmentos
que intersecta de izquierda a derecha.

• Nos tenemos que parar en todos los puntos en los
  que se modifique dicha lista
• Los extremos de los segmentos.
• Los puntos de intersección.

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1
4
3
2 1 3 4
2 1 5
2 5 1
Sólo se puede producir una intersección entre dos
segmentos si estos segmentos son consecutivos en
algún momento en el barrido inmediatamente
anterior a que se produzca la intersección
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
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1
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5
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Inicialmente Pi1,i2,i4,i3,f3,f4,i5,f1,f5,f2
i1
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Inicialmente Pi1,i2,i4,i3,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S?
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi1,i2,i4,i3,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S?
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi1,i2,i4,i3,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S?
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi1,i2,i4,i3,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi2,i4,i3,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi2,i4,i3,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi2,i4,i3,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,2
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi2,i4,i3,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,2
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi2,i4,i3,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,2
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi2,i4,i3,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,2
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi4,i3,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,2
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi4,i3,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,2
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi4,i3,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,4,2
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi4,i3,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,4,2
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi4,i3,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,4,2
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi4,i3,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,4,2
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi4,j24,i3,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,4,2
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En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi4,j24,i3,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,4,2
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pj24,i3,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,4,2
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pj24,i3,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,4,2
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pj24,i3,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,2,4
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi3,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,2,4
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi3,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S3,1,2,4
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En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi3,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S3,1,2,4
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi3,j13,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S3,1,2,4
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j12
f3
f4
i5
f1
5
f5
f2
40
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pj13,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S3,1,2,4
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j12
f3
f4
i5
f1
5
f5
f2
41
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pj13,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,3,2,4
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j12
f3
f4
i5
f1
5
f5
f2
42
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pj13,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,3,2,4
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
f1
5
f5
f2
43
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pj13,j23,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,3,2,4
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
f1
5
f5
f2
44
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pj23,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,3,2,4
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
f1
5
f5
f2
45
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pj23,j12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,2,3,4
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
f1
5
f5
f2
46
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pj12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S1,2,3,4
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
f1
5
f5
f2
47
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pj12,f3,f4,i5,f1,f5,f2 S2,1,3,4
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
f1
5
f5
f2
48
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pf3,f4,i5,f1,f5,f2 S2,1,3,4
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
f1
5
f5
f2
49
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pf3,f4,i5,f1,f5,f2 S2,1,4
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
f1
5
f5
f2
50
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pf4,i5,f1,f5,f2 S2,1,4
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
f1
5
f5
f2
51
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pf4,i5,f1,f5,f2 S2,1
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
f1
5
f5
f2
52
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi5,f1,f5,f2 S2,1
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
f1
5
f5
f2
53
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi5,f1,f5,f2 S2,1,5
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
f1
5
f5
f2
54
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi5,f1,f5,f2 S2,1,5
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
j15
f1
5
f5
f2
55
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pi5,j15,f1,f5,f2 S2,1,5
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
j15
f1
5
f5
f2
56
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pj15,f1,f5,f2 S2,1,5
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
j15
f1
5
f5
f2
57
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pj15,f1,f5,f2 S2,5,1
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
j15
f1
5
f5
f2
58
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pf1,f5,f2 S2,5,1
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
j15
f1
5
f5
f2
59
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pf1,f5,f2 S2,5
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
j15
f1
5
f5
f2
60
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pf5,f2 S2,5
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
j15
f1
5
f5
f2
61
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pf5,f2 S2
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
j15
f1
5
f5
f2
62
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pf5,f2 S2 Interseccionesj24,j13,j23,j12,j1
5
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
j15
f1
5
f5
f2
63
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pf5,f2 S2 Interseccionesj24,j13,j23,j12,j1
5
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
O(log S)
j15
f1
5
f5
f2
64
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Pf5,f2 S2 Interseccionesj24,j13,j23,j12,j1
5
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
O(log S)
j15
f1
O(log P)
5
f5
f2
65
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (extremos de segmentos y puntos de
intersección) Sorden en el que nos encontramos
los segmentos
Teorema 6.1 Es posible calcular las I
intersecciones de n segmentos en tiempo O(n log n
I log n).
Pf5,f2 S2 Interseccionesj24,j13,j23,j12,j1
5
i1
En cada momento me voy al primer elemento e de la
lista P y actualizo ambas listas siguiendo las
instrucciones1-Si e es un punto inicial añado
el segmento correspondiente a la lista S.2-Si e
es un punto final elimino el segmento
correspondiente de la lista S.3-Si e es un punto
de intersección intercambio los segmentos
correspondientes en la lista S4-Se comprueba si
los nuevos segmentos consecutivos en S tienen
intersección. En caso de tenerla actualizo P.5-
elimino e de P
i2
2
1
i4
j24
i3
j13
4
3
j23
j12
f3
f4
i5
O(log S)
j15
f1
O(log P)
5
f5
f2
66

• Intersección de
• Segmentos
• Semiplanos
• Convexos

67
(No Transcript)
68
(No Transcript)
69
Divide y vencerás Dado H una colección de
semiplanos 1.- Dividimos H en dos subconjuntos
H1 y H2 del mismo tamaño. 2.- Calculamos
recursivamente ?H1 e ?H2. 3.- A partir de 2
calculamos ?H (?H1) ? (?H2)
70
(No Transcript)
71
(No Transcript)
72
(No Transcript)
73
(No Transcript)
74
Divide y vencerás Dado H una colección de
semiplanos 1.- Dividimos H en dos subconjuntos
H1 y H2 del mismo tamaño. 2.- Calculamos
recursivamente ?H1 e ?H2. 3.- A partir de 2
calculamos ?H (?H1) ? (?H2)
convexos
75
Divide y vencerás Dado H una colección de
semiplanos 1.- Dividimos H en dos subconjuntos
H1 y H2 del mismo tamaño. 2.- Calculamos
recursivamente ?H1 e ?H2. 3.- A partir de 2
calculamos ?H (?H1) ? (?H2)
convexos
76

• Intersección de
• Segmentos
• Semiplanos
• Convexos

77
C2
C1
78
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (vértices de los polígonos) Slista de
cuatro elementos con el orden en el que nos
encontramos los polígonos
C2
C1
79
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (vértices de los polígonos) Slista de
cuatro elementos con el orden en el que nos
encontramos los polígonos
C2
SC2,C1,C1,C2
C1
80
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (vértices de los polígonos) Slista de
cuatro elementos con el orden en el que nos
encontramos los polígonos
C2
SC1,C2,C1,C2
C1
81
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (vértices de los polígonos) Slista de
cuatro elementos con el orden en el que nos
encontramos los polígonos
SC1,C1,C2,C2
SC1,C2,C1,C2
C2
C1
82
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (vértices de los polígonos) Slista de
cuatro elementos con el orden en el que nos
encontramos los polígonos
SC1,C1,C2,C2
SC1,C2,C1,C2
C2
C1
83
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (vértices de los polígonos) Slista de
cuatro elementos con el orden en el que nos
encontramos los polígonos
SC1,C1,C2,C2
SC1,C2,C1,C2
C2
C1
84
Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (vértices de los polígonos) Slista de
cuatro elementos con el orden en el que nos
encontramos los polígonos
SC1,C2,C1,C2
SC1,C2,C1,C2
C2
C1
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (vértices de los polígonos) Slista de
cuatro elementos con el orden en el que nos
encontramos los polígonos
SC1,C2,C1,C2
C2
SC2,C1,C1,C2
C1
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (vértices de los polígonos) Slista de
cuatro elementos con el orden en el que nos
encontramos los polígonos
SC1,C2,C1,C2
C2
SC2,C1,C1,C2
C1
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (vértices de los polígonos) Slista de
cuatro elementos con el orden en el que nos
encontramos los polígonos
SC1,C2,C1,C2
C2
SC2,C1,C1,C2
C1
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Mantendremos dos listas ordenadas Ppuntos de
parada (vértices de los polígonos) Slista de