Analyse de la signifiance de diverses procdures dagrgation multicritre PAM partir de la thorie du me

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Analyse de la signifiance de diverses procédures
dagrégation multicritère (PAM) à partir de la
théorie du mesurage

• Bernard ROYJean-Marc MARTEL
• Meltem Öztürk

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Plan de la présentation

• Théorie du mesurage
• Typologie des échelles de mesure
• Notion de signifiance
• Illustration à partir de la somme pondérée
• TOPSIS (PAMC de type critère unique de synthèse)
• Présentation de la méthode TOPSIS
• Illustration du concept de signifiance
• Application Problématique du choix du lieu de
  location dune office bancaire

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Théorie du mesurage

• Campbell (1938) The assignement of numerals to
  represent proporties of material systems other
  than number, in virtue of the laws governing
  these proporties.
• Russel (1938) Measurement of magnitude is, in
  its most general sense, any method by which a
  unique and reciprocal correspondance is
  established between all or some of the magnetudes
  of a kind and all or some the numbers, integral,
  rational, or real as the case may be.
• Stevens(1951) Measurement is the assignement of
  the numerals to objects of events according to
  rules.

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Exemple Masse

• a plus lourd que b ?f(a) gt f(b)
• concaténation f(a?b)f(a)f(b)
• M1 (A, ?, ? )? M2 (R, , gt)

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Questions?????

• Système relationnel numérique représente-t-il
  bien le système relationnel empirique?
• Cette représentation est-elle unique?
• Traitements numériques autorisés?
• Les énoncés issus de ces traitements restent-ils
  les mêmes sils sont effectués avec une autre
  représentation numérique admissible?

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Krantz, Luce, Suppes, TverskyFoundations of
measurement (1958)volume 1 Additive and
polynomial represantions
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• ReprésentationAxiomes et Théorèmes
  (Roberts 1979)
• exAide à la décision
• -Transitivité
• -Asymétrie
• -Transitivité négative
• (aPb) et non (bPc) ? non (aPc)
• ou
• Théorème de Cantor

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• Unicité (Barzilai 1998)
• Si fhomomorphisme de M1 vers M2 alors tout
  homomorphisme h de M1 à M2 peut sécrire sous
  forme
• h? (f)
• Échelle régulière (Roberts 1979,1994)
• Sil existe 2 homomorphismes f et h alors il
  existe une transformation admissible ? tel que
  h? (f)
• f(a)f(b) ? h(a)h(b)

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• Echelles
• Ensemble de nombres susceptibles pour coder une
  information relative aux objets de A
• Un mesurage appliquant A dans cet ensemble de
  nombres
• Caractéristiques
• Caractéristique dordre
• Caractéristique de distance
• Caractéristique dorigine

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(No Transcript)
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Signifiance

• Exemple 
•  A a, b,c ,d f(a) card(y ? A / a P y)
•  
• a b f( a )3 f( b )1
• f( c )0 f( d )1
• c d
• f( a )-f( b ) 2( f( d )-f( c ))
•  le degré de préférence de a par rapport à b
  est deux fois plus grand que le degré de
  préférence de d par rapport à c
•  
• h( a )10 h( b )8 h( c )0 h( d )8
•  Proposition pas signifiante

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Définitions

•  une proposition fondée sur un calcule utilisant
  les échelons dune échelle est signifiante si sa
  véracité ou sa fausseté demeure inchangée
  lorsquon remplace une échelle par une autre
  représentant toutes les deux la même
  information  Roberts (1979)
•  A numerical statement is meaningful if and only
  if its truth or falsity is constant under
  admissible scale transformation of any of its
  numerical assignment, that is, any of its
  numerical function expressing the results of
  measurement 
• Suppes Zinnes (1963)

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Signifiance Somme Pondérée

• a P b ? ? pi gi(a) gt ? pi gi(b) ()
• a action potentielle
• gi échelle de mesure
• pi poids de point de vue i
• But Etudier les conditions dans les quelles la
  proposition () est vraie lorsquon substitue aux
  échelles gi des échelles équivalentes
• Remarque si une procédure nest pas signifiante
  pour un niveau de mesure donné, elle ne le sera
  pas pour un niveau de mesure plus bas.

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• Echelle Absolue () est signifiante
• Echelle Ratio
• ??pi gi(a) gt?pi gi(b) ??pi ?i gi(a)gt? pi ?i
  gi(b)
• exemple
• g1 g2 g3
• a 4 2 5 ? pi gi(a) 19
• b 1 4 3 ? pi gi(b) 17
• pi 2 3 1 ? pi ?i gi(a) 25
• ?i 1 2 1 ? pi ?i gi(b) 29
• ?i -2 -1 3

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• Remarque
• Coefficients de pondération dépendent des
• échelles de mesure associées aux critères
• exemple 2 critères, coût et délai,coût en
  millier de francs, en millions de francs etc..
• La somme pondérée est signifiante sous réserve
  de transformation des coefficients de pondération
  de manière appropriée
• pi ? pi/?i

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• Echelle dIntervalle
• ?(pi/?i) (?i gi(a)?i)gt ?(pi/?i) (?i gi(b)?i)
• ?pi gi(a) (pi ?i/?i )gt ?pi gi(b) (pi ?i/?i
  )
• ?pi gi(a)gt ?pi gi(b)
• Exemple
• ?(pi/?i) (?i gi(a)?i)33
• ?(pi/?i) (?i gi(b)?i)29

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Echelle ordinale La proposition () nest pas
signifiante

• Exemple
• g1 g2 g3
• a 4 2 5
• b 1 4 3
• pi 2 3 1
• pi gi(a) 19
• ? pi gi(b) 17

• g1 g2 g3
• a 3 1 4
• b 2 5 2
• pi 2 3 1
• pi gi(a) 13
• ? pi gi(b) 21

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Remarque si à la place des performances,on
utilise les relations que ces performances
expriment relativement à chaque critère sur
lensemble des actions on peut avoir la
signifianceVi(a,b)1 si a Pi b et Vi(a,b)0 si
non(a Pi b)? pi Vi(a) gt? pi Vi(b)

• g1 g2 g3
• a 3 1 4
• b 2 5 2
• Va 1 0 1
• Vb 0 1 0
• pi 2 3 1
• ? pi Vi(a) 3
• ? pi Vi(b) 3

• g1 g2 g3
• a 4 2 5
• b 1 4 3
• Va 1 0 1
• Vb 0 1 0
• pi 2 3 1
• ? pi Vi(a) 3
• ? pi Vi(b) 3

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TOPSISPaul Yoon Ching-Lai Hwang(1981)

• Technique for Order Preference by Similarity to
  Ideal Solution
• (multiple attribute decision making)

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Idée Principale de TOPSIS

• Choisir laction ayant
• la plus petite distance à laction dite 
   idéale 
• (positive-ideal solution)
• la plus grande distance à laction
• dite  anti-idéale 
• (negative-ideal solution 

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Idéale et Anti-Idéale Solutions

• Idéale Solution
• A g1, , gj,, gn
• avec gj la meilleure valeur pour le jèmecritère
• parmis toutes les actions
• Anti-Idéale Solution
• A g1, , gj, , gn
• avec gj la plus mauvaise valeur pour le
  jèmecritère
• parmis toutes les actions

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Algorithme de TOPSIS

• PAS 1 Calcule des préférences normalisés
• (normalized ratings)
• i 1,, m j 1,, n

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Algorithme de TOPSIS

• PAS 2 Calcule des préférences normalisés
• avec des poids associés aux critères
• (weighted normalized ratings)
• Vj(xi) wj rj(xi) i 1,, m j 1,, n

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Algorithme de TOPSIS

• PAS 3 Identification des solutions idéales et
  anti-idéales
• A v1, , vj,, vn
• ( maxi vj(xi)/ j?J1), (mini vj(xi)/ j?J2)
• A v1, , vj, , vn
• ( mini vj(xi)/ j?J1), (maxi vj(xi)/ j?J2)
• J1 ensemble des critères de bénéfice
• J2 ensemble des critères de coût

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Algorithme de TOPSIS

• PAS 4 Calcule des distances
• (Separation measures)

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Algorithme de TOPSIS

• PAS 5 Calcule de lindex de similarité à la
  solution idéale
• c(xi) d(xi)/ (d(xi)d(xi))
• PAS 6 Ordre de preference
• Choisir laction ayant le plus grand index de
  similarité (problématique de choix)
• Ranger les action par ordre décroissant des index
  de similarité (problématique de rangement)

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Calcul des distances
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Attention!!!

• d et d font intervenir toutes les
  performances des actions selon le critère Cj
• ?? une variation quelconque de la performance
  dune action selon ce critère Cj modifie la
  valeur de d et d par suite la valeur finale
  c(xj)
• Solution ? Une variation concomitante (dans les
  mêmes proposition) des coefficients wj peut
  annuler cet impact

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Exemple 1 variation de performance

• C1 avec w1 3
• xi a b c d
• g1(xi) 1 3 5 7 ?g1(xi)2 84
• W12/ ?g1(xi)2 32/84
• C1 avec w1 ?
• xi a b c d
• g1(xi) 1 3 8 7 ?g1(xi)2 123
• W1 2/ ?g1(xi)2 W1 2/123 32/84
• ? W1 2 (9123)/84 3,63

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Attention !!!

• Si la modification de performance entraîne une
  modification de A et/ou A
• ? modification de d et/ou d pour toutes les
  actions
• ? Problème grave de robustesse
• Solution ?
• Solutions idéales et anti-idéales solutions
  fictives

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Signifiance / Echelles de ratiogi(x)?? gi(x)
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Exemple 2 signifiance échelle de ratio

• C1 avec w1 3
• xi a b c d
• g1(xi) 1 3 5 7 ?g1(xi)2 84
• d(b) (32/84) (7-3)21/2 1, 310 d(b)
  (32/84) (3-1)21/2 0,655
• c(b) d(b)/ (d(b)d(b)) 0,333
• C1 avec w1 3 ? 2
• xi a b c d
• g1(xi) 2 6 10 14 ? ?g1(xi)2 336
• d(b) (32/336) (14-6)21/2 1, 310 d(b)
  (32/336) (6-2)21/2 0,655
• c(b) d(b)/ (d(b)d(b)) 0,333

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Signifiance / Echelles dintervallegi(x)???
gi(x)
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Exemple 3 signifiance échelle dintervalle

• C1 avec w1 3
• xi a b c d
• g1(xi) 1 3 5 7 ?g1(xi)2 84
• d(b) (32/84) (7-3)21/2 1, 310 d(b)
  (32/84) (3-1)21/2 0,655
• c(b) d(b)/ (d(b)d(b)) 0,333
• C1 avec w1 3
• xi a b c d
• g1(xi) 5 11 17 23 ?g1(xi)2 964
• d(b) (32/964) (11-23)21/2 1,159 d(b)
  (32/964) (11-5)21/2 0,580
• c(b) d(b)/ (d(b)d(b)) 0,333

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Exemple 3 signifiance échelle dintervalle

• C1 avec w1 3 C1 avec w1 ?
• 32/84 w2.32/964
• ?w12 3,388

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Critiques

• Simple compréhension de lidée et lalgorithme de
  la méthode
• Application assez facile
• Semi-compensatoire
• Pas de veto
• Problèmes dus à la normalisation
• Differents mesure dunité, et des fonctions de
  performance (distance entre 2 performances sur
  une échelle nest pas la même sur une autre)
• une variation quelconque de la performance dune
  action selon un critère Cj modifie la valeur de
  d et d par suite la valeur finale c(xj)
• Si la modification de performance entraîne une
  modification de A et/ou A ?
  modification de det/ou d pour toutes les
  actions
• ? Problème grave de robustesse

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Application location dun établissement
bancaire

• Actions 10 villes de la Turquie
• Critères
• 4 Critères
• 1.      Les critères démographiques
• 2.      Les critères macroéconomiques
• 3.      Le potentiel de commerce et de
  lindustrie
• 4.      Les dépenses de localisation
• des sous-critères associés
• (tableaux de capacités et tableaux de capacités
  normalisées)

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Application location dun établissement
bancaire

• Poids flous des critères et des sous-critères
  associés
• Matrice floue de performance
• Maximum flou et minimum flou
• Matrice de performance floue singleton

39
Application location dun établissement
bancaire

• Ul(i)
• Uh(i)

40
Application location dun établissement
bancaire

• Solutions idéales et anti-idéales
• A (0.8585, 0.5640, 0.6655, 0.7810)
• A (0.7360, 0.4710, 0.5205, 0.6925)
• Distances de Hamming
• Index de similarité