Statistique, Chapitre 3 Tests dhypothses statistiques

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Statistique, Chapitre 3Tests dhypothèses
statistiques

• Principes
• Pratique pour populations normales
• Pratique pour proportions (à vous de lire)

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Exemple 1 Contrôle de réception -
58
65
63
59
61
60
67
63
58
57
68
66
64
62
Eh ben quoi faire?
60
58
56
54
52
50
3
3.1 Principes Hypothèses, Test, Erreurs, Risque

• Définition
• Le test d hypothèses statistique met en
  opposition deux hypothèses probabilistiques,
  lhypothèse de référence appelée hypothèse nulle
  (H0), et lhypothèse dintérêt, appelée
  alternative (H1).
• Pour arriver à la décision de
• rejeter H0 en faveur de H1 ou ne pas rejeter H0
  on utilise une statistique de test T et une
  région critique RC.
• Quand T tombe dans RC on rejette H0 sinon, on ne
  rejette pas.

n
?
4
Exemple suite Le modèle et les hypothèses

• Le fournisseur a la charge de preuve
• L hypothèse nulle (avocat du diable) est que le
  minerai ne contient pas assez de fer.
• Donc, tant que le test ne prouve pas que le taux
  de fer dépasse les 60 pourcent, l hypothèse
  nulle est maintenue et on ne lachete pas.
• Le client a la charge de preuve
• L hypothèse nulle sera que le minerai contient
  au moins 60 pourcent de fer.
• Donc, tant que le test ne prouve pas le
  contraire, on lachete.

?
n
5
Exemple suite (région critique)

• Cas Preuve par fournisseur
• H0 La charge a une teneur en fer de 60 au
  maximum.
• H1 La charge a une teneur en fer de plus de 60.
• Exemple dun seuil critique
• Rejeter H0 (acheter) si dix éprouvettes donnent
  une moyenne dau moins 60.
• Donc RC60,100
• Question Quelle est la  qualité  de cette
  règle?

?
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Erreurs et Risques

• Définition
• On appelle erreur de type I (ou erreur de
  première espèce) celle qui consiste à rejeter H0
  quand elle est vraie.
• On appelle erreur de type II (ou erreur de
  seconde espèce) celle qui consiste à ne pas
  rejeter H0 quand H1 est vraie.
• Le risque de commettre une erreur de type I
  sappelle a, le risque de commettre une erreur du
  type II sappelle b.

Test idéal a0, b0 Choix fréquent a5, b20
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Exemple suite (risques)

• Risque du type 1
• La charge contient moins de 60 de fer mais on
  lachete.

• Risque du type 2
• La charge contient plus que 60 de fer mais on
  ne l achete pas.
• Observations
• 1) risque dépend du paramètre
• 2) pour le calculer il faut connaîter ou estimer
  s.

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Exemple 2 Surveillance contre sur-remplissage de
bouteilles

• Arrêter si trop plein
• H0 m1500, H1 mgt1500.
• Donc, tant que le test ne prouve pas que la
  quantité dépasse significativement 1500ml la
  ligne continue.
• Erreur du type 1
• Fausse alerte.
• Erreur du type 2
• Sur-remplissage continue sans être détecté.
• Quels sont les risques?

?
n10
9
Exemple (suite) Courbe de puissance
H0
1.0
0.8
P(rejectq)1-b(q))
0.6
0.4
0.2
0.0
1500
1505
1510
1515
1520
q
10
Courbe de puissance Négotiation des risques
jouer avec n et tcrit
1.0
0.8
point du client
P(rejectq)1-b(q))
0.6
0.4
point du fournisseur
0.2
0.0
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Pratique

• Idée générale
• Trouver statistique T qui mesure une distance par
  rapport à H0.
• Dériver sa loi d échantillonnage sous H0.
• Décider sur base de la valeur observée tobs de la
  statistique.

• P-valeur
• construire la plus petite région critique qui
  contient tobs et tous les valeurs de T qui sont
  encore plus loin de H0.
• La P-valeur aP est la probabilité de cette région
  sous H0.

• Risque de type 1 prédéfini
• choisir a (exemple a5)
• chercher valeur critique tcrit à partir de
  laquelle on va rejeter et pour laquelle
  P(rejetH0)5.

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P-valeur (pour un seul paramètre)
Test unilatéral
Choix logique de la région critique
tobs
P-valeur
Test bilatéral
Choix logique de la région critique
tobs
-tobs
P-valeur
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3.2 Pratique pour populations normales
Rappel
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3.2.1 Test sur une moyenne
variance connue
variance inconnue
statistique
P-valeur
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3.2.2 Comparaison de deux moyennes, même variance
variance connue
variance inconnue
statistique
P-valeur
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3.2.3 Test sur variance (unilatéral)
une variance contre valeur fixe
comparaison de deux variances
statistique
P-valeur
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Exemple calcul de la P-valeur bilatérale pour
comparaison de deux moyennes
P(inférieur à t)
ddl ?
normal
1.645
1.960
2.326
2.807
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Calcul de la taille déchantillon pour tests sur
moyennes
exigeances
moyenne contre valeur fixe
deux moyennes, n égal
statistique
valeur critique
n