Mcanique Statistique

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Mécanique Statistique

• Mirta B. Gordon
• Groupe Théorie / SPSMS
• Département de Recherche Fondamentale /
  CEA-Grenoble
• Équipe Apprentissage / Laboratoire Leibniz
• IMAG-Grenoble

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plan

• introduction
• principe du maximum d'entropie
• distribution microcanonique
• distribution canonique
• fluctuations et limite thermodynamique
• évolution vers l'équilibre
• simulations numériques

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systèmes physiques

• le comportement d'un système physique composé de
  N particules i (1 i N )
• découle des positions ri(t) et les vitesses vi(t)
  des particules
• déterminés à tout instant t gt t0 par
• les les conditions initiales ri(t0) et vi(t0) "
  i
• et les forces Fi agissant sur les particules
• suivant les lois de la mécanique (Newton)
• ri(t) positions,
• point représentatif dans l'espace des phases x(t)
  vi(t) vitesses,
• si(t) orientation des spins
• à chaque condition initiale du système correspond
  une trajectoire x(t) unique dans l'espace des
  phases

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systèmes macroscopiques

• pour connaître l'état du système il n'y a qu'à
  calculer les trajectoires ri(t), vi(t)
• en intégrant les équations de Newton mais ...
• système physique N 1023 atomes /gramme Þ
  grand nombre de degrés de liberté
• calcul des trajectoires impossible
• stockage ( 6 x 10 23 bytes nécessaires pour
  chaque point)
• conditions initiales temps pour écrire 10 23
  nombres à 1 GHz ?
• ( à 109 nombres par sec 3 000 000 d'années
  !!!!!! )
• peu de variables "macroscopiques" ( pression,
  température, volume, aimantation )
• la trajectoire microscopique évolue avec le temps
• mais
• les grandeurs macroscopiques ne varient pas
• états stationnaires description
  probabiliste indépendante du temps

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mécanique statistique

• au cours de son évolution temporelle, le système
  visite tous les états microscopiques compatibles
  avec les contraintes macroscopiques
• on considère un ensemble de systèmes identiques,
  distribués dans l'espace des phases avec une
  densité de probabilités compatible avec les
  contraintes
• ê
• au lieu de calculer les propriétés moyennes
• sur la trajectoire des phases, on calcule les
  moyennes (statistiques, instantanées) sur un
  ensemble de points représentatifs du système

• la plupart des évolutions temporelles
  (microscopiques) présentent les mêmes propriétés
  macroscopiques
• dans la limite des très grands systèmes, les
  trajectoires atypiques représentent une fraction
  négligeable des trajectoires possibles
• ê
• au lieu de calculer les propriétés moyennes sur
  une trajectoire particulière, on calcule les
  moyennes (statistiques) sur toutes les conditions
  initiales possibles, correspondant à autant de
  trajectoires possibles

hypothèse ergodique les moyennes temporelles
le long de la trajectoire dans l'espace des
phases sont égales aux moyennes d'ensemble dans
l'espace des phases Question quelle P(x)
adopter pour l'ensemble statistique ?
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paradigme le modèle d'Ising
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spins d'Ising (1)

• magnétisme
• les particules (électrons, neutrons, molécules)
  possèdent un moment magnétique (spin) qui
  s'oriente suivant le champ magnétique
• orientation préférentielle (qui minimise
  l'énergie) spin parallèle au champ
• aimantation (observable) orientation moyenne
  des spins du système
• modèle d'Ising proposé pour décrire les
  propriétés magnétiques des solides
• moment magnétique élémentaire (spin) seulement
  deux orientations possibles
• ( s1) ou (s-1)
• dans un champ magnétique h, les spins s'orientent
  parallèlement à h
• sisigne(h) ou si h gt 0
• énergie -si h
• énergie
• N spins
• aimantation

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modèle d'Ising (2)

• spins en interaction
• les spins sk produisent un champ sur le spin si
  (qui se rajoute au champ externe) donné par
• où les Jik sont les constantes d'interaction
• énergie du système de N spins en interaction
• remarque

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modèle d'Ising (3)

• cas simples modèle de cristal paramagnétique
  Jik0
• modèle de système ferromagnétique JikJ gt 0
  
• unidimensionnel chaîne de spins
• bidimensionnel réseau carré
• interactions à portée infinie (champ moyen)
• modèle de système désordonné Jik aléatoires
  

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applications à d'autres domaines (4)

• modèle d'ordre-désordre dans les alliages
• si1 le site i est occupé par un atome de type
  A
• si-1 le site i est occupé par un atome de type
  B
• JikJAA, JAB ou JBB (Jikgt0 si attraction, Jiklt0
  si répulsion)
• modèle de Hopfield de mémoire associative
• si1 le neurone i est actif
• si-1 le neurone i est inactif
• Jik efficacité de la synapse entre les neurones
• modèles de "consensus"
• si1 opinion favorable
• si-1 opinion défavorable
• Jik influence de l'individu k sur l'individu i
• ... voir la suite de cette École !

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THE ENDprésentation du modèle d'Ising
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probabilités, information et entropie

• x variable décrivant l'état du système
• probabilité que l'état du système soit x
• normalisation
• quantité d'information associée à l'état x
• information manquante avant d'apprendre que
  l'état est x
• information acquise si l'on "apprend" que l'état
  du système est x
• plus P(x) est petit et plus l'information si x
  se produit est grande
• si P(x)1 ð s(x)0
• entropie associée à la distribution de
  probabilité P(x)
• manque d'information moyenne
• ignorance moyenne sur une variable x de
  probabilité P(x)

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exemples pile ou face

• si
• information manquante
• entropie
• ð si l'on prend le log en base 2, on choisit le
  bit comme unité de mesure
• bit binary information unit
• ð il suffit d'un seul bit pour exprimer
  l'information manquante
• si
• information manquante
• entropie
• ð moins d'entropie que la distribution
  équiprobable

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spins d'Ising
description probabiliste "naïve"

• en absence de champ magnétique
• entropie par spin
• aimantation par spin

• en présence d'un champ magnétique
• (énergie minimale)
• si h gt 0
• entropie 0
• aimantation par spin

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principe du maximum d'entropie

• comment attribuer des probabilités P(x) aux
  différents états x possibles ?
• principe du maximum d'entropie (Jaynes)
• "la distribution de probabilités est celle qui
  maximise l'entropie,
• en respectant les contraintes macroscopiques"
• (lois de conservation, connaissances a priori,
  données empiriques, etc)
• on n'introduit aucune information arbitraire
• seules les informations connues introduisent des
  contraintes sur P(x)

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équiprobabilité

• distribution de probabilités P(x) en absence
  d'informations
• maximiser sous la contrainte
• donne
• où W est le nombre de réalisations possibles de
  la variable x
• si la seule contrainte est la normalisation
  ,
• MaxEnt Þ tous les états sont équiprobables

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ensemble microcanonique
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système isolé contraintes

• l'énergie E(x)E0
• physique Þ conservation de
• le nombre de particules NN0
• contraintes sur P(x)
• MaxEnt tous les états de N0 particules et
  d'énergie E0 sont équiprobables
• soit W(E0) le nombre de micro-états x de N0
  particules et d'énergie E0
• Þ
• vérifie

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ensemble microcanonique

• entropie
• remarque

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température

• définition
• la température T du système est définie par
• situation "normale" W(E0) augmente avec E0
• ð généralement la température est positive
• (pas vrai si l'énergie est bornée)

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modèle d'Ising paramagnétique (1)

• N0 spins sans interactions, dans un champ
  magnétique h
• énergie aimantation
• description microcanonique micro-état x
  s1,s2, ..., sN N,N-
• fraction de spins -1
• nombre d'états accessibles formule de
  Stirling
• entropie

l'aimantation est imposée par E0
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paramagnétique (2)

• l'entropie et l'énergie sont extensives EN0
  SN0
• température
• si N_ 0 Þ T 0
• si N_ N0/2 Þ T
• si N_ N0 Þ T 0-

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contact thermique

• deux sous-systèmes en contact thermique
• NN1 N2 , énergie E0 E1 E2 Eint avec E1
  et E2 imposées
• interactions à courte portée Eint0
• ð énergie additive E0 E1 E2
• ð états possibles
• ð entropie additive ST S(E1) S(E2) S(E0)

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évolution vers l'équilibre

• l'entropie change (augmente) au cours du temps
• si 0 lt T1 lt T2
• dE1/dt gt 0 E1 augmente (E2 décroît)
• si T1 lt T2 lt 0
• ð l'énergie circule des parties à haute
  température vers celles à basse température
• (du plus "chaud" vers le plus "froid") jusqu'à ce
  que
• T1T2 et ST S(E0)
• si T1 lt 0 lt T2 dE1/dt lt 0 E1 décroît (E2
  augmente)
• ð les températures négatives sont plus
  "chaudes" que les positives !

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ensemble canonique
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distribution canonique

• le nombre de particules est fixe N (N0 gtgt N)
• l'énergie peut fluctuer autour d'une moyenne áEñ
  gtgt E0
• distribution de probabilités
• maximiser sous les contraintes
• donne la distribution canonique
• ou de Gibbs

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fonctions thermodynamiques

• distribution canonique
• énergie moyenne
• entropie
• s'expriment en termes de l'énergie libre
• car

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température

• interprétation du paramètre b
• si le système est en contact thermique avec un
  autre système (réservoir)
• et (système réservoir) isolés Þ
  température système température réservoir
• probabilité du micro-état x du système
• E(x) ltlt E0
• par comparaison avec la distribution canonique

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ising paramagnétique revisité

• énergie
• la fonction de partition se factorise
• énergie libre
• aimantation
• les spins peuvent fluctuer le comportement de M
  dépend du rapport bhh/T

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énergie libre

• on a imposé áEñ cela a introduit un
  multiplicateur b (paramètre de Lagrange)
• b b(áEñ) detérminé (en principe) en inversant
• dépend de chaque problème à travers de E(x)
• il est convenable de considérer b comme un
  paramètre imposé par le réservoir
• la quantité fondamentale est l'énergie libre
• où est la fonction de partition
• à l'équilibre Fb doit être minimale, car

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fluctuations et limite thermodynamique
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probabilité de E

• Probabilité que l'énergie du systèm soit E
• où

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énergie la plus probable

• EM énergie la plus probable
• correspond à celle qu'aurait un système isolé à
  T1/b (température du réservoir)
• elle est non nulle effet de w(E), qui augmente
  rapidement avec E et compense la décroissance de
  l'exponentielle.
• EM vérifie la condition de maximum

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fluctuations de l'énergie

• distribution d'énergies au voisinage de EM
• fluctuations

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ordres de grandeur

• énergie extensive
• Þ entropie extensive
• système de N0 particules Þ
• variance de E
• la fluctuation relative de E est normale
• même résultat pour toute quantité extensive qui
  peut fluctuer
• N.B. la température est intensive

limite thermodynamique
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limite thermodynamique

• la limite s'appelle limite thermodynamique
  
• les fluctuations s'annulent
• une seule valeur de l'énergie avec probabilité 1
  
• Þ comportement typique
• dans cette limite
• valeur la plus probable valeur moyenne
• prédictions microcanoniques prédictions
  canoniques
• pratique on calcule les propriétés à N0 fini,
  et on passe à la limite
• Þ prédiction du comportement typique (se
  vérifie avec probabilité 1)
• phrases équivalentes fluctuations négligeables,
  EEM avec probabilité 1, DE0, comportement
  typique

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systèmes hors d'équilibre
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évolution vers l'équilibre

• système isolé hors d'équilibre
• équation maîtresse
• équilibre
  indep. du temps
• bilan

probabilités de transition entre l'état x et
l'état x'
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principe du bilan détaillé

• si le bilan se vérifie au niveau de chaque état
  (bilan détaillé)
• Þ on peut déduire des propriétés des
  probabilités de transition
• système isolé ( EE0, NN0 )
• à l'équilibre distribution microcanonique
• bilan détaillé
• système en contact avec un réservoir ( T1/b,
  NN0 )
• à l'équilibre distribution canonique
• bilan détaillé

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théorème H

• avec les relations de bilan détaillé on démontre
  explicitement que
• un système isolé hors d'équilibre évolue de façon
  à augmenter son entropie
• un système en contact avec un thermostat évolue
  de façon à diminuer son énergie libre

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simulations numériques

• Algorithme de Metropolis
• on fixe la température T 1/b
• on part d'un état initial x, tiré au hasard, on
  calcule son énergie E(x)
• on réitère les pas 1 à 3
• 1. on tire au hasard un nouvel état x'
• 2. on calcule l'énergie E(x')
• 3. on calcule le rapport
• si rgt1, E(x')lt E(x) on accepte le nouvel état
  x'
• si rlt1, E(x')gt E(x) on l'accepte avec
  probabilité r
• évolution vers des états de probabilité
  canonique, car le bilan détaillé est satisfait

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recuit simulé

• on initialise l'état des composants (p. ex.
  spins) du système au hasard ( b 0 )
• on repète le procédé suivant
• on applique l'algorithme de Metropolis pendant un
  certain nombre d'itérations ( recuit )
• ensuite on augmente b (on diminue T )
• jusqu'à la température finale
• permet d'obtenir l'état de plus basse énergie

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THE END