Cours 1 Introduction

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Cours 1Introduction
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Deux types de descriptions des plasmas

• Description fluide
• quelques paramètres macroscopiques  n, u, p, q,
  
• Description microscopique
• fonctions de distribution   fs(v) (distinguer
  les espèces, e ou i)

• Lien entre les deux descriptions  moments
  (centrés)

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Signification des premiers moments
n surface sous la courbe u valeur moyenne Vth
largeur de la courbe autour de sa moyenne (p
nVth2) q dissymétrie de la courbe autour de sa
moyenne etc...
NB. Ces définitions très générales sont
indépendantes de la collisionnalité. Dans ce
cadre, on ne peut pas utiliser la notion
thermodynamique de température (limitée au
collisionnel). Ici, quand on parle de T, cest
juste le paramètre Tp/n
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Interaction vent solaire/ champ magnétique
terrestre
Peut se raconter en termes des seuls moments
Mais est-ce modélisable sans connaître le f(v)
qui se cache derrière?
Au choc, n ?, p ?, v ? et tourne, B ? et tourne,
etc...
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Modèles fluides et cinétiques

• L'évolution des fs(v) est régie par une équation
  connue (Vlasov si pas de collisions)
• ? si on connaît les fs(v) initiaux complètement,
  on sait exactement comment elles évoluent (et les
  moments aussi, évidemment). Mais luxe de détails
  lourd et cher (surtout en 3-D et pour les grandes
  échelles)
• ? codes Vlasov, PIC, hybrides, etc...

• En général, connaître l'évolution de n, u, p est
  suffisant, mais
• Si on connaît n, u, p initialement, leur
  évolution ultérieure n'est a priori pas unique
• codes fluides (MHD, bi fluides, etc...)
  demandent des hypothèses pas universelles, ne pas
  utiliser sans précaution dans un plasma sans
  collisions

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En pratique, dans les milieux sans collisions

• Les codes fluides (en particulier MHD) sont
  généralement utilisés pour décrire les grands
  échelles (Lgtrayons de Larmor, longueurs
  d'inertie, longueur résistive, ), éventuellement
  en 3-D modélisation globale d'une
  magnétosphère, expansion du vent solaire, ...
• Les codes cinétiques sont plutôt employés pour
  étudier des "détails" de petites dimensions et
  souvent en 1-D ou 2-D pour des raisons d'économie
  étude locale et fine d'une couche frontière
  comme la magnétopause, voisinage des points de
  reconnexion, ...
• Ces choix ne sont que partiellement justifiables.
  Un code fluide ne donne pas toujours des
  résultats satisfaisants, même à grande échelle.
  Un code cinétique n'est pas forcément
  indispensable, même à petite échelle.

• L'objet de la semaine est de manipuler les deux
  sortes de codes sur quelques exemples simples
  pour faire réfléchir et aider à se faire une idée
  concrète des limites et des applications
  possibles de chaque type.
• Quelques exemples de physique spatiale seront
  également présentés rapidement en cours pour
  illustrer comment ce problème se pose aux
  chercheurs

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Description fluide (moments)ne veut pas
diremouvements moyens identiques pour toutes les
particules
Collisionnel
Non collisionnel

• Mais équations de moments (conservation du nombre
  de particules, de l'impulsion, de l'énergie, ...)
  toujours vérifiées dans tous les cas, avec ou
  sans collisions

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Comportement collectif et comportement fluide

• Intuitivement, on devine qu'un comportement
  "fluide" (à définir) ne peut exister que si
  chaque particule est suffisamment en interaction
  avec les autres pour que sa trajectoire partage
  avec celles-ci quelque chose de commun, un
  comportement un minimum "collectif". Si chaque
  particule va simplement en ligne droite, toute
  perturbation de densité, par exemple, va
  rapidement se diluer et disparaître pas de
  possibilité de propagation d'onde par exemple.
• On verra que cette idée n'est pas fausse et qu'un
  tel comportement "collectif" peut se produire
  essentiellement pour trois raisons
• - Collisions les particules se poussent les
  unes les autres ? même vitesse moyenne, dans
  toutes les directions
• - Champ magnétique les particules ont toutes
  quasiment la même vitesse moyenne
  perpendiculairement à B v ExB/B2
• - Champ électrique il impose une force commune
  sur toutes les particules chargées cause
  possible de comportement collectif (parallèlement
  à B si champ magnétique). Dépend de la valeur de
  E (? température électronique)

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Cas collisionnel(pour mémoire)

• Quand les collisions sont suffisamment
  nombreuses,
• la forme de f(v) est déterminée de façon unique
  (via des développements rigoureux et bien
  établis)
• Tout état uniforme stationnaire est Maxwellien et
  isotrope (équilibre thermodynamique)
• Tous les gradients macroscopiques correspondent à
  une petite déformation de f(v) calculable et
  unique (équilibre thermodynamique local) ?
  possibilité d'un modèle fluide "exact" , avec des
  "coefficients de transport " linéaires

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Plasmas "sans collisions"

• Pas de distribution d'équilibre universelle
• tout f(v) uniforme est aussi stationnaire, quelle
  que soit sa forme
• Attention quand même certaines distributions
  sont des équilibres instables (instabilités
  cinétiques). Dans ces cas, f(v) évolue donc
  spontanément et irréversiblement vers des
  fonctions plus stables
• L'évolution des moments, à partir dun f(v)
  donné, n'obéit pas a priori à un modèle universel
  
• néanmoins, cette évolution reste souvent peu
  dépendante -au moins qualitativement- de la forme
  exacte de f(v)
• ? puissance reconnue de la MHD et autres codes
  fluides

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Exemple le vent solaire

• Modèle fluide très simple de Parker , 1958
  (isotherme, B radial)
• ? allure très raisonnable de l'expansion du vent
  solaire. Erreur numerique facteur 2 sur la
  valeur de la vitesse à 1UA.
• Possible de faire mieux par des modèles
  cinétiques (récent), mais très difficile et
  incomplet aussi (rôle des ondes?)

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Distributions dans le vent solaire
Protons
Electrons

• Pas vraiment Maxwelliennes!
• Peut être pas si important pour comprendre
  qualitativement les grandes échelles de
  l'expansion (?)

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Les modèles fluides

• Equations fluides suite infinie d'équations
  différentielles exactes
• Obtenues par intégrations de Vlasov
• ? toujours vérifiées, dans la nature ou dans
  n'importe quel modèle, cinétique ou fluide

• Mais modèle fluide (prédictif) système d'un
  petit nombre d'équations reliant les seuls 1ers
  moments
• (par exemple n, u, p)
• ? nécessité de tronquer le système par une
  équation "de fermeture" approximative, pas
  toujours évidente à trouver ou à justifier sans
  collisions (parfois impossible)
• Modèle fluide N-1 équations exactes 1 équation
  approximative
• ( équations de Maxwell et autres équations de
  forces extérieures sil y en a)

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Phénomènes "cinétiques"

• déformations de f(v) qui ne sont pas
  directement dus à des variations des paramètres
  macroscopiques
• L'espace des vitesses peut avoir une dynamique
  propre (a priori inaccessible aux calculs
  fluides). Principal exemple les instabilités
  cinétiques, dues à la forme de f(v), même en
  milieu homogène.
• Particules résonnantes ? phénomènes irréversibles
  de diffusion dans l'espace des vitesses ? induit
  des termes de "viscosité" dans l'espace de
  configuration, et de la dissipation

v
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Modélisation fluide d'un plasma sans
collisionsPuissance et limites

• 5 ou 6 idées à retenir des expériences numériques
  de la semaine
• Quand elle est justifiée, l'approche fluide est
  beaucoup plus rapide, plus souple et plus
  efficace
• Un milieu est toujours descriptible par ses
  moments, quels que soient les phénomènes en jeu
  (prévisibles ou non par des modèles fluides)
• L'évolution de ces moments est généralement
  "raisonnable" , même lorsqu'aucun mécanisme ne
  cause de comportement collectif .Ceci rend
  souvent possible l'existence d'une fermeture
  adaptée (mais non universelle). Une telle
  fermeture repose sur des hypothèses concernant la
  forme de la fonction de distribution sous-jacente

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Modélisation fluide d'un plasma sans
collisionsPuissance et limites

• 5 ou 6 idées à retenir des expériences numériques
  de la semaine
• Dans une description mono-fluide, le rôle des
  électrons et des ions est très différent. Les
  électrons sont capables de créer un comportement
  collectif, via le champ électrique.
• Le rôle des "effets cinétiques" (instabilités et
  résonances), s'il y en a, est particulièrement
  difficile à prendre en compte dans une fermeture
  fluide (? termes dissipatifs)
• Dans un plasma magnétisé, la direction
  perpendiculaire à B a un comportement
  naturellement collectif, indépendamment des
  électrons

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Du cinétique au fluide (1-D)

• Toutes les équations fluides sobtiennent en
  intégrant léquation cinétique (Vlasov) sur les
  vitesses. Ce sont des équations de conservation
  (? pas de dissipation)
• Chacune relie la dérivée temporelle du moment
  dordre n à la dérivée spatiale du moment dordre
  n1 ? système infini

à 1-D
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Autre forme des équations fluides
Attention on ne donne ici que les équations sous
leur forme 1-D En 3-D, les dérivées par rapport à
x deviennent des nablas, la pression devient
tensorielle et la 3ième équation (énergie) fait
intervenir n5/3 au lieu de n3.
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Equations de fermeture

• Le plus souvent à lordre 3
• Fermeture la plus simple fermeture adiabatique
  q0 (symétrie)
• ?

Tous les phénomènes ne respectent évidemment pas
q0. Le choix dune bonne équation de fermeture
est la difficulté principale des méthodes
fluides. Une fermeture usuelle est de garder la
même forme (polytrope) et de remplacer la
puissance 3 par un g bien choisi. De façon
générale, toutes les formes q q(p,n)
correspondent à des fermetures non
dissipatives Les formes avec dérivées q
q(p,n,p,n) sont des fermetures dissipatives.
Voir terme de conduction q kT (loi de Fourier
dans les milieux collisionnels)
Code fluide (MHD) utilisé en TP fermeture q
kT ? adapté a priori aux milieux collisionnels.
Intéressant de voir ce qu'il prévoit de correct
ou non pour un milieu sans collisions
(comparaison résultat hybride). Et de réfléchir à
d'autres fermetures meilleures pour décrire ce
qui est mal décrit avec ce code.
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Ondes sonores linéaires(rappel de méca flu
élémentaire, utile pour le TP)
?
?
?
?
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Ondes sonores linéaires en plasma (acoustiques
ioniques)Rôle des électrons et de E
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Ondes sonores linéaires en plasma (acoustiques
ioniques)Rôle des électrons et de E
Si électrons froids et pas de collisions Ions
simplement balistiques. Rien de collectif. La
fermeture choisie a peu de chances d'être
valable. Résultat de l'expérience numérique?
Ondes propagatives? Amortissement? Si électrons
chauds ions dans le même champ collectif E ?
plus de chance d'avoir un comportement collectif.
Réaliste?