Folie 1

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Public Key Kryptographie mit dem RSA Schema
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Gliederung

1. Historischer Hintergrund
2. Public Key Kryptographie
3. Beispielszenario
4. Einweg-Funktion
5. RSA Verfahren
6. Algorithmus
7. Beispiel
8. Signieren von Nachrichten
9. Schwächen des RSA
10. Angriffe auf den RSA
11. Einsatzgebiete
12. Zusammenfassung
13. Quellen

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Historischer Hintergrund

• Bis in die 70er symmetrische Verfahren
• ? Problem der Schlüsselverteilung
• 1976 Theorie über asymmetrische Verschlüsselung
• 1977 RSA am MIT (Rivest, Shamir, Adleman)
• 1980 durch RSA Data Security Inc. patentiert
• 1991 implemetiert in PGP durch Phil Zimmermann
• 2000 US-Patent läuft aus
• ? RSA weltweit einsetzbar

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Public Key Kryptographie

• Theorie von W. Diffie und M. Hellman, 1976
• Asymmetrisches Verfahren
• zwei verschiedene Schlüssel
• Kodierung einer Nachricht
• Dekodierung einer Nachricht
• Kodierungsschlüssel soll keine Schlüsse auf den
  Dekodierungsschlüssel zulassen

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Public Key Kryptographie

• Public Key-Prinzip
• (wichtige) asymmetrischen Variante
• Kodierungsschlüssel öffentlich (public key)
• Dekodierungsschlüssel geheim (private key)

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Public Key Kryptographie

• Public Key-Prinzip
• jeder Teilnehmer T hat folgende Schlüssel
• Public Key E ET (Encryption)
• Private Key D DT (Decryption)
• Eigenschaften der Schlüssel
• für jede Nachricht m gilt D(E(m)) m und
  E(D(m)) m
• privater Schlüssel D (praktisch) nicht aus
  Schlüssel E zu erschließen.

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Beispielszenario

• Vorbereitungen
• Kommunikationsgruppe
• Jeder Teilnehmer T bekommt Schlüsselpaar (ET, DT)
• Schlüsselpaare der Teilnehmer sind verschieden
• Schlüssel E wird verteilt (Publikationsorgan/Zerti
  fizierungsstelle)
• Schlüssel D bleibt geheim

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Beispielszenario

• Senden und Empfang
• A will B die Nachricht m Schicken
• A sucht Schlüssel EB von B heraus
• A verschlüsselt m mittels EB
• A verschickt EB(m) an B
• B entschlüsselt mit DB(m)
• DB(EB(m)) m

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Beispielszenario

• Sicherheit
• Kein anderer Teilnehmer kann EB(m) entschlüsseln,
  weil ihm DB von B fehlt
• Analogie Briefkasten
• jeder kann Post in den Briefkasten einwerfen
• nur Briefkastenbesitzer kann sie herausholen
• Public Key E ? Namensschild
• Private Key D ? Briefkastenschlüssel

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Einweg-Funktionen

• Kodierungsschlüssel soll keine Schlüsse auf den
  Dekodierungsschlüssel zulassen
• ?
• Suche eine bijektive Funktion f(x) y, die
  folgende Anforderungen erfüllt
• einfache Berechnung von y bei bekanntem x
• schwere Berechnung von x bei bekanntem y
• ?
• Einweg-Funktionen (Trapdoor-functions)

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Einweg-Funktionen

• Def Eine umkehrbar eindeutige ("bijektive")
  Funktion
• f A ? B mit x ? y f (x)
• heißt Einweg-Funktion, wenn der Funktionswert y
  relativ leicht aus dem Argument x berechnet
  werden kann, wenn es aber andererseits bei
  Kenntnis von y nur mit sehr großem Aufwand
  möglich ist, das Argument x zu ermitteln, das zum
  Funktionswert y gehört.

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Einweg-Funktionen

• Analogie Telefonbuch (einer großen Stadt)
• Funktion f ermittelt Telefonnummer x aus Namen y
• ? Nachschlagen (TB ist alphabetisch sortiert)
• Umkehrfunktion f -1 nur sehr aufwendig
• (ermittele Name y zur Telefonnummer x)
• ? nach Nummern sortiertes TB?

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Einweg-Funktionen

• Einige Einwegfunktionen
• Faktorisierung
• y x1 x2
• Diskreter Logarithmus
• y bx mod n
• Diskrete Wurzel
• y xa mod n (n nicht prim)

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RSA-Verfahren

• 1977 entdeckt von Rivest, Shamir und Adleman
• Verfahren zum Erzeugen von Einweg-Funktionen
• basiert insbesondere auf
• Euklidischer Algorithmus
• (kleinen) Satz von Fermat
• kein Algorithmus zur schnellen Primfaktorzerlegung
  bekannt

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RSA-Verfahren
Euklidischer Algorithmus
While (agt0) And (bgt0) If a gt b Then a a Mod
b Else b b Mod a End If Wend ggT a b
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RSA-Verfahren
Erweiterter Euklidischer Algorithmus Satz Zu
je zwei natürlichen Zahlen a und b (b ? 0)
gibt es ganze Zahlen x und y mit der
Eigenschaft GGT(a, b) a x b y. D.h. für
teilerfremde a,b (GGT(a,b)1) a x 1 - b y
bzw. a x 1 (mod b) ? x ist das Inverse zu
a mod b
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RSA-Verfahren

• Beispiel Erweiterter Euklidischer Algorithmus
• Zwei teilerfremde Zahlen a 14, b 51
  (GGT(14, 51)1)
• mögliche Werte x 11, y -3
• ?
• 11 ist das Inverse zu 14 mod 51

a x - b y 1 (a x) mod b 1
14 11 - 51 -3 1 (14 11) mod 51 1
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RSA-Verfahren

• Satz von Fermat
• Satz Ist p eine Primzahl und a eine zu p
  teilerfremde natürliche Zahl, so ist ap-1 1
  (mod p).
• Findet man auch als ap a (mod p)

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RSA-Verfahren
Satz von Fermat
2 2mod7 3 3mod7 5 5mod7
0 1 1 1 1 1 1
1 2 2 3 3 5 5
2 4 4 9 2 25 4
3 8 1 27 6 125 6
4 2 2 81 4 625 2
5 4 4 243 5 3125 3
6 8 1 729 1 15625 1
7 2 2 2187 3 78125 5
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RSA-Verfahren

• Beweis Satz von Fermat
• Sind a, b inkongruent modulo einer festen Zahl n
  , dann sind auch x a und x b inkongruent (mod
  n) f.a. x gt 0 mit GGT(x,n )1
• ?
• 1 2 (p-1) (1 a) (2 a)
  ((p-1) a) (mod p)
• ?
• W W ap-1 (mod p)
• ?
• 1 ap-1 (mod p)
• qed.

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RSA-Verfahren

• Anwendungen des Satzes
• Primzahlerzeugung?
• Wenn p Primzahl, dann gilt
• ap a (mod p)
• Gilt auch
• Wenn ap a (mod p), dann ist p Primzahl?
• Nein ? Fermatsche Pseudoprimzahlen

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RSA-Verfahren

• Anwendungen des Satzes
• Primzahltest?
• Fermatscher Primzahltest
• Berechne b an-1 (mod n)
• Prüfe b 1, bei erfolg b Primzahlkandidat
• Langsam und Aufwendig

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Algorithmus Kodierung

• Wähle Zufällig zwei Primzahlen p und q, welche
  nahe beieinander liegen.
• Bestimmt deren Produkt N.
• Ermittle .
• Bestimme ein e , s. d. e gt 1 und teilerfremd zu
  .
• Berechne aus den geheimen Schlüssel d.
• Somit ist der öffentliche Schlüssel N, e
• und der geheime Schlüssel d
• Die Kodierung erfolgt mit

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Beispiel Schlüsselerstellung

• Primzahlen p 463 und q 467

• öffentliche Schlüssel N 216221 und e 277
• geheimer Schlüssel d 17099

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Beispiel Verschlüsselung

• gerechnet mit modularer Exponentiation
• Quad b, Halb e, Erg 1
• while Halb gt 0
• if Halb mod 2 gt 0 then Erg (Erg Quad) mod
  m
• Quad (Quad Quad) mod m
• Halb Halb div 2
• end while
• return Erg

• Geheimtext C 206690

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Beispiel Dekodierung

• Dekodierung mit .

• gerechnet mit modularer Exponentiation
• Klartext K 174

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Signieren von Nachrichten

• Idee Dokumente mit einer digitalen
  Unterschrift versehen.
• 1. Vorteil Integrität, d. h. es wird die
  Unversehrtheit der übermittelten Nachricht
  sichergestellt
• 2. Vorteil Authentizität, d. h. die Nachricht
  wurde vom richtigen Absender versandt

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Signieren von Nachrichten

• Absender besitzt eigenen Schlüsselsatz.
• Absender kodiert seine Nachricht mit d,
• sprich
• Absender versendet signierte und unsignierte
  Nachricht an Empfänger.
• Empfänger dekodiert die Nachricht mit e,
• sprich
• Empfänger vergleicht unsignierte und dekodierte
  Nachricht miteinander und prüft auf Gleichheit.

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Schwächen des RSA

• asymmetrisches Verfahren, welches für das Ver-
  und Entschlüsseln große K viel Zeit benötigt
• Wahl der Primzahlen kann nicht einfach zufällig
  erfolgen
• Sicherheit beruht auf der Annahme das die
  Zerlegung von N in seine Primfaktoren in
  polynomieller Zeit nicht gelingen kann.
• Beweis steht aus
• Shor-Algorithmus löst das Problem auf
  Quantencomputern in P

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Angriffe auf den RSA

• Verfahren substituiert Klartext zu Geheimtext,
  weshalb Angriffe mit der Known-Plaintext-Angriffe
  und Wahrscheinlichkeitsanalyse möglich sind.
• Bei schlecht gewählten Primzahlen, kann aus N auf
  wenige mögliche Paare geschlossen werden.
• Zerlegung in Primfaktoren ist bedingt schon
  gelungen RSA-567 mit 174 Ziffern
• Mersenne-Zahl mit 228 Ziffern
• Timing Attacks

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Timing Attacks auf den RSA

• Idee Geheimtexte mit dem öffentlichen Schlüssel
  so erstellen, das die Dechiffrierung lange
  benötigt, um fehl zu schlagen.
• Vorgehen
• Festlegen eines großen Startwertes
• Schleife
• Messen der Laufzeit der einzelnen Anfragen wird
  gemessen.
• Aus auffälligen Messwerten wird auf Werte
  geschlossen, welche ausprobiert werden.
• Ausgabe des geheimen Schlüssels

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Einsatzgebiet

• Internet- u. Telefonie-Infrastruktur
  X.509-Zertifikate
• Übertragungs-Protokolle IPSec
• SSL
• TLS
• SSH
• WASTE
• E-Mail-Verschlüsselung PGP
• S/MIME
• Authentifizierung französischer Telefonkarten

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Zusammenfassung RSA

• asymmetrisches Verschlüsselungsverfahren
• benutzt öffentliche und geheime Schlüssel
• Nachrichten können nur von einem Empfänger
  gelesen, aber vielen Absendern versandt werden
• Algorithmus beruht auf der scheinbaren
  Unmöglichkeit der Zerlegung von großen Produkten
  in Primfaktoren
• Verschlüsselung und Entschlüsselung erfolgt nach
  einfachen Formeln

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Quellen

• Handbook of Applied Cryptography
• A. Menezes, P. C. van Oorschot, S. A. Vanstone
• Remote Timing Attacks are Practical
• D. Brumley, D. Boneh
• Pulic Key Cryptographie
• J. Ziegenbalg
• http//de.wikipedia.org/wiki/RSA-Kryptosystem
• http//www.heise.de/newsticker/meldung/42719