LA MATEMATICA SOTTO I PIEDI Geometria, arte e illusione

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LA MATEMATICA SOTTO I PIEDIGeometria, arte e
illusione
A cura di Ornella Sebellin I.S.A.Russoli
PISA
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• Quando visitiamo la Certosa di Calci, siamo così
  colpiti dalla ricchezza degli ambienti che
  rischiamo di trascurare quello che calpestiamo
  le splendide pavimentazioni settecentesche.
  Questa mostra, realizzata dai ragazzi e dai
  docenti dellI.S.A. Russoli di Pisa, vuol
  suggerire una lettura diversa del complesso
  monumentale, ponendo lattenzione sia sul lato
  artistico sia sulla ricchezza di contenuti
  matematici che si possono scoprire osservando
  dove mettiamo i piedi.

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• I lavori presentati nella mostra sono stati
  realizzati, nel corso degli anni, dai ragazzi
  delle prime classi dell I.S.A. Russoli di
  Pisa, in un progetto di lavoro
  interdisciplinare che ha visto coinvolti
  docenti di più discipline.
• I contenuti matematici afferiscono al teorema di
  Pitagora, ai poligoni, alle isometrie e alle
  tassellazioni

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Il progetto didattico

• In questo lavoro si è partiti dal
  rilievo fotografico dei pavimenti delle
  cappelle e della Chiesa Conventuale. Poi è stato
  fatto
• il rilievo grafico e lo studio geometrico delle
  singole pavimentazioni. Con lausilio del
  computer, si è lavorato sulle simmetrie
  interne delle figure e sui possibili
  ricoprimenti del piano.

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Il progetto didattico

• Tutte le pavimentazioni sono state riprodotte
  come tavole geometriche e poi come tarsie
  lignee nel laboratorio di modellistica e tarsie
  su vetro o specchio in quello di vetrata.
• Alcune sono state realizzate tramite un
  gioco di specchi. Gli artifici ottici e
  geometrici, che si rifanno agli antichi modelli
  romani, diventano loccasione per ritrovare
  regole e costruire oggetti matematici, e,
  giocando con le figure geometriche, per
  riflettere in modo semplice su concetti anche
  molto complessi.

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• Da una particolare pavimentazione si è
  sviluppato un percorso didattico centrato sulla
  figura dellottagono che ha visto il
  coinvolgimento di varie discipline storia,
  matematica, storia dellarte, laboratorio di
  modellistica,educazione visiva.
• Lo studio geometrico ha portato poi a
  sollevare nello spazio le rappresentazioni
  modulari e a realizzare alcuni effetti ottici.

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• Tra le pavimentazioni studiate, cè anche quella
  del refettorio dellattuale Convento di S.
  Giuseppe, in piazza S. Francesco a Pisa era
  questo lospizio dei monaci in città, altri erano
  a Livorno e Pontedera.
• Inoltre, è stata realizzato il volantino della
  mostra, che poi è stato tradotto in più lingue
  (francese, tedesco, russo, inglese) avvalendosi
  delle competenze di studenti della scuola.

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La Certosa di Calci
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La Certosa di Calci

• Fondata nel maggio del 1366 dall'Arcive- scovo
  di Pisa Francesco Moricotti, per adempiere
  alle volontà testamentarie del mercante pisano,
  di origine armena, Pietro di Mirante della
  Vergine, la Certosa sorge vicino a Pisa, in
  un luogo detto Valle graziosa.

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Le pavimentazioni della Certosa di Calci
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Le pavimentazioni della Certosa di Calci
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Le pavimentazioni della Certosa di Calci
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Le pavimentazioni della Certosa di Calci
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Il tipo di simmetria del mosaico è p3m1o p6m, a
seconda che si tenga presente il colore o le
forme geometriche
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Le pavimentazioni della Certosa di Calci
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Si tratta di uno schema di tipo p6m (se si ignora
la colorazione) ovvero p2 (se se ne tiene conto).
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Uguali ma diversi
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Le pavimentazioni della Certosa di Calci
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Il tipo di simmetria del mosaico è diverso a
seconda che si consideri il colore (p1) o la
geometria della figura (p31m).
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Le pavimentazioni della Certosa di Calci
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Le pavimentazioni della Certosa di Calci
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Le pavimentazioni della Certosa di Calci
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Le pavimentazioni della Certosa di Calci
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Le pavimentazioni della Certosa di Calci
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Le pavimentazioni della Certosa di Calci
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Le pavimentazioni della Certosa di Calci
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Il Convento di San Giuseppe a Pisa
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Convento di San Giuseppe a Pisa.
Refettorio del Convento. Il modulo di base è un
esagono al cui interno è disegnato un altro
esagono con lato dimezzato rispetto al primo
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La pavimentazione si presta a numerosi effetti
ottici
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Se si cambiano le dimensioni dellesagono
interno, come nei due disegni sottostanti,
potremmo dire che al tendere a zero del lato
dellesagono (o cubo?) interno, la
pavimentazione tende.a quella della Cappella
di San Bruno.
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• Oppure si può cambiare la disposizione dei colori
  in modo opportuno e si ottengono dei cubi
  sospesi alla tassellazione.

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Le otto tassellazioni semiregolari
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Lesposizione dei lavori
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Riproduzione delle pavimentazioni

• Tarsie lignee

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Riproduzione delle pavimentazioni
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Riproduzione delle pavimentazioni
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Riproduzione delle pavimentazioni
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Riproduzione delle pavimentazioni
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Riproduzione delle pavimentazioni

• su specchio

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Riproduzione delle pavimentazioni

• su vetro

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Costruzione geometrica
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Effetti tridimensionali
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Effetti tridimensionali
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Effetti tridimensionali
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Effetti tridimensionali
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Scatole di specchi
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Scatole di specchi
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Scatole di specchi
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Scatole di specchi
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Scatole di specchi
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Per trovare la forma dei moduli da inserire nelle
scatole di specchi, è sufficiente tracciare gli
assi di simmetria della pavimentazione e
individuare un quadrato o un triangolo.
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modulo quadrato
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Differenti tipi di moduli
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Da una pavimentazione a un problema di equivalenza
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Da una pavimentazione a un problema di equivalenza
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Un ottagono equivalente ad un quadrato
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Un ottagono equivalente ad un quadrato
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Un ottagono equivalente ad una stella
Dopo aver tracciato tutte le diagonali
dellottagono, si trovano le altezze dei
triangoli isosceli relative ad uno dei lati
uguali. Poi si seziona lottagono nei sei pezzi
della figura di destra.
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(No Transcript)
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Da due ottagoni a uno solo

• Il puzzle permette di ottenere un ottagono
  regolare a partire da due ottagoni uguali qual è
  la lunghezza del lato dei due ottagoni?

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(No Transcript)
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Da due ottagoni a uno solo
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Il teorema di Pitagora con lottagono

• Il puzzle dellottagono permette di verificare,
  in questo caso, come il Teorema di Pitagora sia
  valido anche se si considerano gli ottagoni e non
  solo i quadrati, costruiti sui lati di un
  triangolo rettangolo isoscele

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Il teorema di Pitagora con lottagono
Possiamo verificare che larea dellottagono
costruito sullipotenusa del triangolo rettangolo
è data dalla somma delle aree degli ottagoni
costruiti sui cateti. Può essere un punto di
partenza per motivare alla ricerca della
dimostrazione della validità del teorema per
qualunque figura costruita sullipotenusa
(purché).
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Frattale di Sierpinski ottenuto a partire da un
ottagono
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Lottagono nellarte
Ottagoni regolari in una decorazione di un
soffitto a cassettoni nella cella del grande
tempio a Palmira (circa 36 d.C.)
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MATHEMATIK UNTER UNSEREN FUESSEN

• Wenn wir die Kartause von Calci
  besuchen, sind wir erstmal von der reichen
  Ausschmückung der Räume so ueberwaeltigt, dass
  wir vielleicht nicht merken, worauf wir treten
  die wunderschoenen Fussboeden aus dem 18.
  Jahrhundert.
• Die Schule der Kunst F. Russoli aus Pisa
  laedt euch ein, den monumentalen Komplex auf eine
  andere Weise anzuschauen, die sowohl die
  künstlerischen Aspekte als auch die
  mathematischen Inhalte dessen, worauf wir
  treten, wahrnimmt.
• Die Kunstausstellung MATHEMATIK UNTER
  UNSEREN FUESSEN in der Kartause von Calci ist
  das Resultat der Zusammenarbeit von Lehrern
  unterschiedlicher Fächer. Die optischen und
  geometrischen Kunstwerke, die sich an den alten
  Römern orientieren, geben uns hier die
  Gelegenheit, mathematische Regeln wieder zu
  finden, Figuren zu bilden und, mit den Figuren
  spielend, auf einfache Weise komplexe Konzepte
  wiederzuspiegeln. So verwandeln hölzerne und
  gläserne Einlegearbeiten, Spiegelschachteln,
  verschieden zusammengesetzte Polyeder und
  achteckige Puzzles aus Glas und Pappkarton das
  Kunstwerk in künstlerische Mathematik.

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Riconoscere tassellazioni

• Notazione Cristallografica per i gruppi discreti
  di simmetria del piano
• come interpretare i simboli delle notazioni
• Primo simbolo la lettera p o c indica se la
  cella è primitiva o centrata, rispettivamente.
• Secondo simbolo il numero, che segue p o c, è
  lordine di rotazione più elevato, p. es. 6
  indica lesistenza di una rotazione di 1/6 di
  giro.
• Terzo simbolo m indica lesistenza di una
  riflessione di asse perpendicolare ad uno dei
  lati della cella
• g indica lesistenza di una glisso-riflessione di
  asse perpendicolare ad uno dei lati della cella
  in
• assenza di riflessioni del tipo precedente
• 1 significa che non vi è nessun asse di simmetria
  del tipo precedente
• Quarto simbolo m o g indica la presenza di un
  asse di simmetria non perpendicolare ad uno dei
  lati della cella
• 1 significa che non vi è nessun asse di tale tipo
• Secondo le indicazioni precedenti, la notazione
  completa per le abbreviazioni usate
  convenzionalmente (che usano meno di 4 simboli)
  risulta pertanto essere la seguente
• p1, p2, p3, p4, p6 pm pmm pg pgg pmg cm cmm p4m
  p4g p6m
• p111, p211, p311, p411, p611 p1m1 p2mm p1g1 p2gg
  p2mg c1m1 c2mm p4mm p4gm p6mm

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LA MATEMATICA SOTTO I PIEDI Fine della
presentazione
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Contenuti sviluppati Mappa concettuale
Tassellazioni
Teorema di Pitagora
Isometrie
Poligoni
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Isometrie nel piano euclideo
Simmetria assiale
Rotazione
Simmetria centrale
Simmetria assiale ripetuta
Traslazione
Il gruppo delle isometrie
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Equazioni delle isometrie nel piano cartesiano
Simmetria rispetto a ciascuno degli assi
cartesiani
Simmetria rispetto a rette parallele agli assi
Simmetria rispetto allorigine
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Riconoscere isometrie
Riconoscere tassellazioni
Individuare assi di simmetria
Tassellazioni semiregolari
Individuare il centro di simmetria
Tassellazioni regolari
Individuare il modulo di base
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Somma angoli interni
Poligoni regolari
Somma angoli esterni
Poligoni stellati
Poligoni equivalenti
Poligoni
Poligoni e arte
Tassellazioni
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Teorema di Pitagora
Per risolvere un triangolo
Per scomporre poligoni