Verso gli operatori Locali e globali

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Verso gli operatori Locali e globali
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• Gli operatori puntuali omogenei e non omogenei
  descritti, trasformano essenzialmente i livelli
  di grigio di una immagine per migliorarne la
  qualità visiva e per attenuare in alcuni casi il
  rumore introdotto dalle irregolarità dei sensori
• I valori di livello di grigio di ciascun pixel
  varia dal nero al bianco e viceversa sulla base
  delle strutture presenti nellimmagine
• Linformazione intrinseca presente nellimmagine
  può essere associata alle strutture di base
  presenti che possono produrre spazialmente basse
  o alte variabilità nei livelli di grigio
• Alte frequenze spaziali dominanti
• Basse frequenze spaziali dominanti

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• La presenza nellimmagine di alte frequenze
  spaziali presuppone lesistenza di piccole
  strutture con le dimensioni di uno o più pixel in
  cui si verificano alte variazioni di livelli di
  grigio, normalmente causati dalla presenza di
  bordi, spigoli (Edge)
• La ricerca della presenza di particolari
  strutture nellimmagine, non può essere
  realizzata con operatori puntuali, ma necessitano
  operatori locali o globali
• Elaborano limmagine di input per accentuare o
  rimuovere una banda di frequenze spaziali, così
  come per una particolare bassa o alta frequenza
  spaziale
• Bisogna quindi eseguire una trasformata delle
  frequenze spaziali nelle direzioni
• Orizontali,
• Verticali,
• Oblique,

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• Tale trasformata converte linformazione
  dellimmagine dal dominio spaziale dei livelli di
  grigio al dominio delle frequenze (espresse in
  termini di modulo e fase)
• La più diffusa è la trasformata di Fourier
  insieme ad altre (Hadamard, Haar, seno, coseno)
  di minore utilizzo per esempio la trasformata
  alle componenti pricipali -o di Karhunen Loeve
• Il vantaggio di tali trasformate consiste
• nel generare una nuova immagine che decompone e
  visualizza in modo significativo tutte le
  frequenze spaziali presenti nellimmagine di
  input
• Analisi nel dominio delle frequenze per capire le
  strutture geometriche presenti nellimmagine di
  origine

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• Le operazioni di elaborazione di immagini locali
  o globali che alterano il contenuto informativo
  di una immagine sono chiamate operatori di
  filtraggio numerico che possono essere
• spaziale se si manipolano le strutture di base
  nel dominio spaziale (operatori locali)
• nel dominio delle frequenze, se si manipolano
  direttamente nelle componenti delle trasformate
  (operatori globali)
• Le tecniche di filtraggio, possono essere usate
• per accentuare le caratteristiche presenti
  (estrazione di bordi, image sharpening)
  nellimmagine,
• per migliorare la qualità dellimmagine per
  esempio, livellando opportunamente (smoothing)
  forti variazioni locali dei valori di livello di
  grigio

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Filtraggio Numerico Spaziale I filtri spaziali
sono implementati attraverso il processo di
convoluzione spaziale che elabora il valore del
pixel sulla base dei valori dei pixel compresi in
un suo intorno Tale modello di elaborazione ha
i fondamenti matematici derivanti dalla teoria
dei sistemi lineari (operatori lineari) che
assumono una importanza rilevante per lanalisi
dei segnali ed immagini, e sono stati molto
utilizzati nel campo delle telecomunicazioni
Filtro e Operatore sono parole che nel seguito
sono usate in modo intercambiabile per indicare
una trasformazione di una immagine in unaltra
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Linearità Tale trasformazione può essere
modellata attraverso un sistema lineare
bidimensionale del tipo
dove loperatore O? trasforma limmagine di
input I nellimmagine di output I0 Gli
operatori lineari sono definiti con il principio
della sovrapposizione Se I1(i,j) e I2(i,j) sono
due immagini di dimensioni NxM pixel, Se a e b
sono due costanti arbitrarie, e O rappresenta un
operatore che trasforma una immagine in unaltra
con le stesse dimensioni, si dice che
loperatore O è lineare, se e solo se
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La proprietà della sovrapposizione può essere
estesa a n immagini e rende loperatore lineare
molto utile nei problemi reali Infatti è
possibile decomporre una immagine complessa in
più componenti derivando in tal modo i risultati
delloperatore e successivamente ricomporre i
risultati globali dai risultati delle singole
componenti Se I2(i,j)0 segue Oa?I1(i,j)a?O
I1(i,j) chiamata proprietà di omogeneità
delloperatore lineare O che ha il seguente
significato moltiplicando limmagine di input
I1 per una costante a il sistema lineare risponde
con il valore appropriato corrispondente
allinput moltiplicato per la stessa costante a
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Risposta Impulsiva e Funzione di
Trasferimento Con la proprietà di
sovrapposizione degli operatori lineari vediamo
se è possibile avere informazioni sulla natura
delloperatore applicato ad una immagine
osservando soltanto limmagine di output
ottenuta Per tale dimostrazione pensiamo
decomposta limmagine di input I(x,y) in
componenti elementari In questo modo possiamo
pensare I composta dalla somma di componenti di
base ossia ottenuta dalla definizione di funzione
impulsiva delta di Dirac
I(l,k) indica il fattore peso della funzione
impulsiva ? del pixel (l,k) dellimmagine
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Risposta Impulsiva e Funzione di Trasferimento
cont. Se loutput di un sistema lineare è
definito come
Poichè loperatore O è lineare, per la
sovrapposizione delle componenti di output,
possiamo scrivere
Inoltre I(l,k) è indipendente da i e j, dalla
proprietà di omogeneità segue
dove la funzione h(i,jl,k) è la risposta
impulsiva delloperatore lineare O In altre
parole possiamo affermare che h(i,jl,k) è la
risposta impulsiva delloperatore O in
corrispondenza del pixel di input (impulso di
input) alla posizione (l,k) dellimmagine di
input
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Risposta Impulsiva e Funzione di Trasferimento
cont. Nei sistemi ottici la risposta impulsiva
h(i,jl,k) è chiamata funzione di trasferimento
del sistema (PSF point spread function) Questo
risultato della teoria dei sistemi lineari è
fondamentale e suggerisce che se la risposta
delloperatore O ad un impulso è nota, può essere
calcolata la risposta a qualunque pixel I(l,k)
con la precedente equazione
Loperatore O è completamente caratterizzato
dalla risposta impulsiva
k
l
I(i,j)
j
i
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Invarianza Spaziale Loperatore lineare O? con
la relazione di input-output I0(i,j)
OI1(i,j) è chiamato spazialmente invariante
oppure invariante alla traslazione (shift
invariant) se la risposta delloperatore non
dipende esplicitamente dalla posizione
nellimmagine In altre parole, loperatore O è
invariante spazialmente se una traslazione in
input causa anche una appropriata traslazione in
output Dai risultati precedenti considerando
limpulso di input allorigine (l,k)0,
segue h(i,jl,k) O?(i-l,j-k)
hi-l,j-k0,0
h(i-l,j-k) dalla quale risulta che loperatore O
è spazialmente invariante se loperazione
eseguita sul pixel di input dipende solo dalle
due traslazioni (i-l) e da (j-k) e non dalla
posizione (i,j) Se lultima equazione non è
soddisfatta loperatore lineare è detto variante
spazialmente
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Invarianza Spaziale cont. Considerando valide
congiuntamente le due proprietà, invarianza
spaziale e sovrapposizione, si ha il seguente
operatore lineare
che risulta essere loperatore di convoluzione
nel dominio spaziale tra limmagine di input e la
funzione di risposta impulsiva I0(i,j)h(i,j)I(i
,j)
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Invarianza Spaziale cont. Pertanto il processo
di elaborazione digitale dellimmagine (operatore
di filtraggio) ed il processo di formazione
(processo fisico) sono entrambi descritti come
operazioni di convoluzione, ossia sono realizzati
da un processo fisico modellabile con un sistema
lineare spazialmente invariante
Nellelaborazione dellimmagine, è possibile
studiare la caratteristica di un operatore
lineare applicandolo ad una immagine campione di
cui si conosce a priori la sua struttura, e
successivamente è analizzato se limmagine di
output presenta i risultati desiderati con quel
particolare operatore

• Le applicazioni reali, nel campo delle immagini,
  dei sistemi lineari, sono limitati a
• Flitraggio passa-alto,
• Flitraggio passa-basso,
• Flitraggio passa-banda

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Convoluzione Spaziale Vediamo ora come il
processo di convoluzione può essere
realizzato Primo aspetto, come combinare i
valori dei livelli di grigio dei pixel vicini al
pixel in elaborazione Secondo aspetto, quanto
deve essere grande larea dei pixel di vicinanza
interessati dalloperatore. Tale area è chiamata
con uno dei seguenti nomi finestra, kernel,
maschera del filtro, maschera di
convoluzione Normalmente viene scelta una
maschera di forma quadrata rappresentata in forma
matriciale con dimensioni variabili, per esempio
33, 5 5, ecc., ed il pixel in elaborazione che
riceve il risultato della convoluzione si trova
posizionato al centro della finestra, di
dimensioni dispari Loperatore di convoluzione
nel discreto opera come un processo lineare in
quanto esegue la somma di elementi moltiplicati
da valori costanti (somma pesata) Gli elementi
sono i valori del livello di grigio in
corrispondenza della maschera ed i valori
costanti sono i pesi ossia i coefficienti di
convoluzione meno remoti nella maschera
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Convoluzione Spaziale monodimensionale Per un
sistema lineare invariante spazialmente,
caratterizzato con risposta impulsiva h(i), in
corrispondenza di un segnale di input
monodimensionale f(i),
il segnale di output g(i) é dato dalla
convoluzione
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Convoluzione Spaziale monodimensionale Loperazio
ne di convoluzione é ripetuta analogamente per
altri punti i per ottenere dal sistema lineare il
segnale di output completo Ogni valore g(i) del
segnale di output, dipende dal grado di
sovrapposizione tra il segnale di input e la
funzione caratteristica del sistema lineare che
viene traslata per ogni valore di i Come
evidenziato nel grafico, il risultato della
convoluzione g(i) rappresenta larea di
sovrapposizione tra la funzione di input e la
risposta impulsiva
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Convoluzione Spaziale bidimensionale La
convoluzione tra funzioni bidimensionali é
ottenuta in modo analogo. Per convenienza
l'immagine di input e di output sono scelte con
identiche dimensioni, mentre la risposta
impulsiva bidimensionale normalmente ha
dimensioni limitate, a partire da finestre 3x3, e
con valori dispari Sempre per convenienza, il
risultato della convoluzione nell'immagine di
output g(i,j), si fa corrispondere con il pixel
centrale della finestra quadrata in cui è
definita la risposta impulsiva h localizzata nel
pixel (i,j) Il valore della convoluzione in
corrispondenza del pixel (i,j) nell'immagine di
output é ottenuta dalla somma dei prodotti pixel
per pixel tra la funzione di input f(l,k) e la
risposta impulsiva h(i-l,j-k), derivata da h(l,k)
eseguendo prima una rotazione di 180 rispetto
all'origine ottenendo h(0-l,0-k) e
successivamente una traslazione dall'origine alla
posizione (i,j)
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Convoluzione Spaziale bidimensionale
considerando l'immagine di input f(i,j) e
l'immagine di output g(i,j) di dimensioni NN,
mentre la risposta impulsiva h é sempre definita
con una finestra quadrata di dimensioni limitate
L L
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Convoluzione Spaziale bidimensionale Nelle zone
di non sovrapposizione tra le funzioni f ed h, la
sommatoria dell'operatore di convoluzione ha
componenti nulle (prodotto fg é zero) Il
dominio di interesse é definito dalle dimensioni
della risposta impulsiva h Per la proprietà
commutativa dell'operatore di convoluzione,
l'equazione precedente può essere espressa come
segue Queste ultime due equazioni,
dell'operatore di convoluzione, suggeriscono che,
prima del prodotto pixel per pixel, una delle
due, limmagine di input oppure la risposta
impulsiva, puo essere ruotata di 180 e traslata
indifferentemente
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Convoluzione Spaziale bidimensionale Per ragioni
implementative è conveniente utilizzare operatori
di convoluzione con equazioni della forma
con la finestra relativa alla risposta
impulsiva h(l,k) Indici l e k riferiti rispetto
al pixel centrale h(0,0). Le dimensioni LxL
della finestra hanno valore dispari e con r
(L-1)/2
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Convoluzione Spaziale bidimensionale Per
semplicità consideriamo un esempio di
convoluzione spaziale dove la risposta impulsiva
é rappresentata da una finestra 3x3 con i pixel
contenenti valori discreti di una funzione
Gaussiana In questo caso il pixel centrale
h(0,0) coincide con il picco della gaussiana che
essendo simmetrica rispetto all'origine
l'eventuale rotazione della funzione di input non
avrebbe nessun effetto
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Convoluzione Spaziale bidimensionale Il valore
della convoluzione g(i,j), applicata al pixel
(i,j) è ottenuta posizionando il pixel centrale
della maschera di convoluzione in (i,j), e la
seguente espressione viene eseguita g(i,j)
A?f(i-1,j-1) B?f(i-1,j) C?f(i-1,j1)
D?f(i,j-1) E?f(i,j) F?f(i,j1)
G?f(i1,j-1) N?f(i1,j)
I?f(i1,j1) dove f(i,j) è limmagine di input,
le costanti da A ad I indicano i coefficienti
della convoluzione ossia i valori discreti
risultati dal campionamento della risposta
impulsiva h(i,j) delloperatore stesso, e g(i,j)
è limmagine ottenuta applicando il processo di
convoluzione
Loperatore di convoluzione per lintera immagine
risulta
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Convoluzione Spaziale bidimensionale

-2 h5 h4 h3 h4 h5
-1 h4 h2 h1 h2 h4
0 h3 h1 h0 h1 h3
1 h4 h2 h1 h2 h4
2 h5 h4 h3 h4 h5
-2 -1 0 1 2
h01 h10.78 h20.61 h30.37 h40.28 h50.13
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Convoluzione Spaziale bidimensionale Applicare
un filtro ad una immagine significa calcolare i
coefficienti h(i,j) che rappresentano una buona
approssimazione della funzione di trasferimento e
quindi delloperatore che si vuole applicare La
convoluzione è unoperazione invariante perchè i
coefficienti della convoluzione (pesi del filtro)
non cambiano da pixel a pixel durante il processo
di convoluzione Loperatore di convoluzione per
una maschera 3x3 e per una immagine di 512x512
richiederebbe 226.400x9 ? 2.037.000
moltiplicazioni e 2.037.000 addizioni Vediamo
alcuni aspetti implementativi della convoluzione
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• Convoluzione Spaziale bidimensionale
• Quando loperatore di convoluzione è applicato ai
  bordi dellimmagine, la maschera di convoluzione
  non si sovrappone con i pixel dellimmagine, date
  le dimensioni finite della stessa
• Un modo per risolvere il problema, quando si
  arriva ad elaborare pixel del bordo sinistro
  dellimmagine, è quello di pensare che limmagine
  si replica in modo ciclico
• Operando nello spazio di Fourier questa
  assunzione deve essere fatta se si vuole ridurre
  la convoluzione a semplice moltiplicazione
• Nel dominio spaziale linconveniente dei bordi è
  risolto in modo libero adottando alcune
  soluzioni
• Considerare a zero o uguale ad un valore costante
  tutti i pixel mancanti dellimmagine.
• Considerare i pixel adiacenti dellimmagine come
  pixel mancati.
• Applicare la convoluzione solo per i pixel
  dellimmagine che non creano il problema della
  mancanza di pixel

27
(No Transcript)
28
Convoluzione Spaziale bidimensionale Nella
equazione di convoluzione, i pixel g(i,j) già
elaborati non sono coinvolti durante il processo
di convoluzione Questo implica che la
convoluzione produce come risultato una nuova
immagine g(i,j) che dovrà essere salvata in
unarea di memoria separata dallimmagine di
input f Nellipotesi che si operi su calcolatore
sequenziale potrebbe comunque essere ottimizzata
la memoria necessaria, salvando i pixel elaborati
di r linee al di sopra della i-ma linea in
elaborazione
Un approccio alternativo consiste nel salvare
temporaneamente in un buffer, (r1) linee
dellimmagine di input in elaborazione, mentre il
pixel in esame (i,j) è salvato nella stessa
posizione dellimmagine di input
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Convoluzione Spaziale bidimensionale Sono stati
progettati filtri che durante il processo di
convoluzione sono coinvolti pixel già elaborati
dal convolutore stesso Questo ha il vantaggio di
ridurre i tempi di calcolo ma non sono facilmente
realizzabili Tali filtri sono chiamati filtri
ricorsivi e sono molto complicati da trattare in
genere nel caso bidimensionale come necessita per
le immagine digitali I filtri basati sulla
convoluzione spaziale che non utilizzano pixel
già convoluti corrispondenti a filtri non
ricorsivi, sono chiamati FIR Finite Inpulse
Response I filtri ricorsivi, sono chiamati IIR
Infinite Inpulse Response
30
Filtri nel Dominio delle Frequenze In precedenza
abbiamo introdotto lutilità di studiare le
componenti spaziali di una immagine nel dominio
delle frequenze che descrivono in modo più
efficace le strutture periodiche presenti
nellimmagine stessa Per passare dal dominio
spaziale al dominio delle frequenze, sono
disponibili diversi operatori chiamati
normalmente operatori di trasformazione o
semplicemente trasformate Tali trasformate,
quella di Fourier è la più nota, quando applicata
alle immagini, la decompongono dalle strutture di
livello di grigio del dominio spaziale alle
componenti in frequenze fondamentali nel dominio
delle frequenze Ciascuna componente in frequenza
è espressa attraverso un valore di fase e modulo
La trasformata inversa di frequenze, converte
una immagine strutturata con frequenze,
ricostruendo allindietro le strutture spaziali
31
Trasformata di Fourier La trasformata generale
di una immagine NM è data da
Questi coefficienti ci indicano quantitativamente
il grado di similarità dellimmagine rispetto
alle basi B. Il processo di trasformazione
quantifica la decomposizione dellimmagine di
input I(k,l) nella somma pesata delle immagini
base, in cui i coefficienti F(u,v) sono appunto i
pesi I valori delle frequenze vicino allorigine
del sistema (u,v) sono chiamate basse frequenze
mentre quelle più lontane dallorigine sono dette
alte frequenze Limmagine di input I(k,l) può
essere ricostruita attraverso i coefficienti
della trasformata F(u,v) con lequazione della
trasformata inversa
32
Trasformata di Fourier
Le basi della trasformata sono rappresentate da
funzioni seno e coseno, e la trasformata
dellimmagine I(k,l) è data da
Lampiezza spettrale è definita da
che specifica quanto dellimmagine base è
presente nellimmagine di input, Linformazione
circa lorientazione delloggetto è definita
dalla fase
33
Trasformata di Fourier
Dal momento che
possiamo riscrivere la trasformata
Per una migliore visualizzazione dello spettro,
conviene visualizzare il logaritmo, ossia
dove c serve a scalare lintervallo di
variabilità di (u,v) tra 0 e 255
34
Trasformata di Fourier
Modulo
Log del modulo
Fase
35
(No Transcript)
36
Teorema di Convoluzione
Dal punto di vista teorico, il processo di
convoluzione nel dominio spaziale è ottenuto tra
immagine di input e la funzione di trasferimento,
Mentre nel dominio delle frequenze è ottenuto
con loperazione di moltiplicazione tra immagine
trasformata F(u,v) e la maschera delle
frequenze Il filtraggio, nel dominio delle
frequenze, risulta essere molto selettivo
consentendo di rimuovere specifiche componenti di
frequenze o bande di componenti in frequenza
Questo è realizzato ponendo zero nella maschera
in corrispondenza della frequenza che si vuole
eliminare, ponendo valore 1 altrimenti
37
Teorema di Convoluzione
Il filtraggio nel dominio delle frequenze risulta
essere vantaggioso rispetto a quello spaziale
soprattutto nei casi di immagini con rumore
additivo di natura periodico (non casuale)
facilmente descrivibile nel dominio delle
frequenze Ricordando il processo di
convoluzione spaziale, considerando inalterati i
simboli delle varie immagini, si
ha g(m,n)f(m,n)h(m,n) nel dominio delle
frequenze la convoluzione risulta G(u,v)F(u,v)?
H(u,v) considerando G, F ed H le trasformate di
Fourier delle immagini spaziali g ed f, e della
funzione di trasferimento h
38
Teorema di Convoluzione
Con quale criterio decidere se usare un filtro
spaziale oppure un filtro nel dominio delle
frequenze? Tendenzialmente la convoluzione
spaziale è computazionalmente costosa
specialmente se la maschera di convoluzione è
grande In questo caso luso dell FFT e IFFT su
hardware specializzato può essere una soluzione
efficiente per lelaborazione delle
immagini Nella visione artificiale diversi
processi non sono riconducibili ad operatori
lineari ed invarianti spazialmente Questo limita
molto luso della FFT e IFFT Quando un processo
di elaborazione dellimmagine può essere
modellato o approssimato ad un sistema lineare e
invariante spazialmente le maschere di filtraggio
sono normalmente piccole (3x3) oppure (5x5) e
conseguentemente la convoluzione spaziale risulta
conveniente in alternativa alluso della
FFT Questa è la ragione delluso diffuso dei
filtri lineari.
39
Teorema di Convoluzione
Ricordiamo infine le limitazioni sulluso della
FFT per gli errori di arrotondamento dovuti al
calcolo numerico, stabilità del filtro inverso,
molteplicità delle soluzioni ottenute,
limitazioni del dominio dei valori di grigio
40
OPERATORI LOCALI SMOOTHING Tali operatori hanno
lo scopo di eliminare e attenuare il rumore
additivo presente nei valori di grigio
dellimmagine Questo è realizzato attraverso
operatori locali lineari e non lineari che
essenzialmente tentano di smussare (livellare) le
irregolarità presenti nella immagine senza
alterare le strutture significative dellimmagine
stessa I filtri lineari di smoothing possono
essere definiti nel dominio spaziale o nel
dominio delle frequenze Per i filtri spaziali,
nella maschera di convoluzione sono
opportunamente definiti i pesi che caratterizzano
la particolarità del filtro Per i filtri nel
dominio delle frequenze analoghi effetti
sullimmagine si ottengono rimuovendo le alte
frequenze
41
MEDIA ARITMETICA Se sono disponibili n immagini
di una stessa scena è possibile ipotizzare un
modello di rumore stocastico con valore V in
ciascun pixel V rappresenta la variabile casuale
indipendente con media zero e dev. standard
?. Loperatore di smoothing in questo caso
risulta dalla media aritmetica dei valori pixel
per pixel per n immagini I1........In con
corrispondente rumore V1..........Vn La seguente
espressione
indica col primo termine limmagine mediata
Il secondo termine risulta essere il rumore
dellimmagine dopo loperazione di media
aritmetica che ha sempre media zero e deviazione
standard con valore e pertanto il rumore
risulta ridotto di un fattore
42
FILTRO MEDIA Quando è disponibile una sola
immagine, loperatore di media aritmetica può
essere usato, in cui ciascun pixel dellimmagine
è riposto con il valore medio dei pixel vicini
dove Wi,j indica linsieme dei pixel nelle
vicinanze del pixel (i,j) compreso lo stesso
pixel (i,j), interessato al calcolo della media
locale, ed M è il numero totale di pixel compresi
nella finestra Wi,j. Se la finestra considerata
è di 33 pixel si ha
.
in questo caso, loperatore di media risulta
essere un caso particolare delloperatore di
convoluzione spaziale, che ha come maschera di
convoluzione
43
FILTRO MEDIA Con una maschera di piccole
dimensioni, per esempio 33, leffetto del filtro
media è quello di attenuare il rumore (segnale
uniforme) presente nellimmagine ed introdurre
uno sfocamento accettabile sullimmagine Con
maschere di maggiori dimensioni, per esempio 55,
77, ecc., leffetto dello sfocamento e la
perdita di alcuni dettagli diventa sempre più
evidente È richiesto un compromesso tra
attenuazione del rumore e la perdita dei
dettagli. Un approfondimento degli effetti del
filtro sono evidenziati come segue
44
FILTRO MEDIA
Regione senza strutture
Immagine a valore costante il filtro non produce
nessun effetto e limmagine è lasciata
intatta Questo è dipendente al fatto che in
quella regione limmagine non presenta nessuna
struttura (nessun cambiamento di livelli di
grigio) ossia la frequenza spaziale è zero.
Questo è tipico di un filtro spaziale
passa-basso che lascia intatte le componenti di
frequenza spaziale basse
45
FILTRO MEDIA
Regione con strutture
In questo caso, vi sono variazioni di livello di
grigio dal bianco al nero e viceversa e leffetto
del filtro media attenua queste variazioni In
altre parole le transizioni bianco/nero che
rappresentano le componenti di alte frequenze
dellimmagine di input sono attenuate a
transizioni con minime variazioni di livello di
grigio Lattenuazione delle alte frequenze
spaziali è quello desiderato da un filtro
passa-basso Quando si progetta un filtro di
smoothing, come criterio generale, conviene
scegliere i pesi della maschera di convoluzione
con valore alto quelli più vicini al pixel in
esame mentre con valori sempre più bassi quelli
più lontani
46
FILTRO MEDIA Questo porta ad avere un unico
picco nella maschera, disposti anche seguendo una
certa simmetria spaziale. Per esempio, una tipica
maschera di convoluzione di un filtro di
smoothing è la seguente
Con tale maschera si attenuano i problemi dello
sfocamento evidenziato in precedenza Gli effetti
introdotti dalloperazione di filtraggio su una
immagine possono essere valutati qualitativamente
osservando in modo soggettivo limmagine
filtrata Una stima quantitativa può essere
ottenuta utilizzando una immagine campione di cui
sono note alcune strutture geometriche (un
esempio immagini con anelli concentrici a
profilo sinusoidale con lunghezza donda
crescente a partire dal centro dellimmagine)
47
FILTRO MEDIA Il filtro media 7x7 e 9x9 introduce
forti variazioni in alcune regioni dellimmagine.
Questo mette in evidenza i limiti del filtro
media utilizzato come filtro di smoothing
passa-basso
48
FILTRI NON LINEARI Eseguono loperazione di
smoothing, essenzialmente per ridurre il rumore,
livellando limmagine solo nelle regioni con
livelli di grigio omogenei, alterando le zone in
cui si verificano forti variazioni di livelli di
grigio Da ciò consegue che i coefficienti della
maschera di convoluzione devono variare in modo
appropriato da regione a regione. In
particolare nelle zone dove le transizioni sono
accentuate, si assume che i pixel appartengono a
regioni diverse pertanto i coefficienti della
convoluzione devono essere scelti piccoli
49
FILTRI NON LINEARI Filtri non lineari basati sul
valore assoluto
1.
dove T è un valore di soglia definito
sperimentalmente
2.
con c costante di normalizzazione definito come
ed h(l,k)gt0 per ogni valore di l e k
3.
4.
in questo caso le forti transizioni non vengono
sempre livellate
50
FILTRO MEDIANO Il filtro mediano è non
lineare A differenza di filtri basati sulla
media, il filtro mediano attenua la perdita di
nitidezza dellimmagine e del livello di
sfocamento Il filtro ripone ogni pixel con il
valore del pixel mediano ottenuto dopo che i
pixel dellintorno sono stati ordinati in modo
crescente Il pixel mediano ha il valore più alto
di metà dei pixel dellintorno e valore più basso
dellaltra metà di pixel rimanenti Per esempio,
utilizzando finestre 3x3 il filtro opera come
segue
51
FILTRO MEDIANO
52
FILTRAGGIO PASSA-BASSO NEL DOMINIO DI
FOURIER Abbiamo già evidenziato come la presenza
nellimmagine di ripetute transizioni di livello
di grigio (dovute anche al rumore) costituiscono
le componenti delle alte frequenze spaziali e
conseguentemente inducono componenti di alte
frequenze nel dominio di Fourier Un filtro di
smoothing può essere progettato operando nello
spazio di Fourier, attenuando uno specificato
intervallo delle componenti di alte frequenze La
relazione tra le immagini trasformate è
riscritta G(u,v)F(u,v)?H(u,v) dove F(u,v) è
limmagine di input trasformata e H(u,v) è la
maschera del filtro da progettare Lobiettivo è
quello di progettare il filtro H(u,v) che attenua
le componenti di alta frequenza di F(u,v) allo
scopo di ottenere il risultato G La trasformata
inversa di G produrrà il risultato di smoothing
voluto g
53
FILTRAGGIO PASSA-BASSO NEL DOMINIO DI FOURIER Un
profilo dellimmagine dello spettro l(u,v)
rappresenta la distribuzione dellenergia data
dalla relazione Sono stati ideati diversi
filtri passa-basso nel dominio delle frequenze.
Sono diversi tra loro, e per tutti, leffetto, è
quello di ridurre il rumore, distribuito sulle
alte frequenze Tali filtri operano sia sulla
parte reale che immaginaria della trasformata di
Fourier e non alterano il valore della fase (zero
fase).
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FILTRO IDEALE PASSA-BASS0
dove l0 rappresenta la frequenza di taglio
Viene chiamato filtro ideale perchè tutte le
frequenze comprese nellintervallo tra 0 e la
soglia l0, passano intatte mentre sono
completamente eliminate quelle con valore
superiore alla soglia Il filtro è a simmetria
circolare nellipotesi che la trasformata è stata
centrata nellimmagine quadrata dello spettro I
risultati del filtro dipendono dal valore della
soglia scelta che può attenuare il rumore, ma
accentuare lo sfocamento dellimmagine.
55
FILTRO IDEALE PASSA-BASS0
Un modo efficace per verificare le prestazione
dei vari filtri è quello di considerare il valore
dello spettro di potenza dato da In
corrispondenza di una frequenza di taglio l0 si
definisce una quantità Pl che è lo spettro di
potenza per tutti i valori u e v compresi dalla
circonferenza di raggio l0 nel dominio delle
frequenze (u,v) È utile considerare come in
corrispondenza delle varie frequenze di taglio si
hanno le percentuali dello spettro di potenza che
varia da zero sino ad un massimo del 100
al variare di l0
56
FILTRO DI BUTTERWORTH La funzione di
trasferimento di questo filtro dordine n e con
frequenza di taglio l0 è data da
dove l(u,v) rappresenta lo spettro definito in
precedenza
57
FILTRO DI BUTTERWORTH Leffetto del filtro è
sostanzialmente controllato ancora dal valore
della frequenza di taglio l0 dal quale dipende la
quantità di energia che viene conservata e quindi
il livello di sfocamento introdotto
nellimmagine A differenza del filtro ideale
comunque non si verifica una brusca discontinuità
tra le frequenze filtrate e quelle passanti Per
un filtro di smoothing è importante definire una
frequenza di taglio l0 tale che il valore della
funzione H raggiunga un valore non superiore ad
una frazione del suo massimo valore Dallequazion
e precedente, per H(u,v).5 (50 del massimo
valore) segue che l(u,v)l0 Unaltra frazione
usata è del valore massimo di H In
questo caso, nelle condizioni che l(u,v)l0, la
funzione di trasferimento diventa
58
FILTRO DI BUTTERWORTH
l0 1/3 .
l0 1/2 .
Immagine originale
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FILTRO ESPONENZIALE La funzione di trasferimento
di tale filtro è la seguente
Anche per questo filtro è conveniente scegliere
una percentuale p del valore massimo di H per
ottenere un valore l0 della frequenza di taglio.
In questo caso la funzione di
trasferimento si modifica con
60
FILTRO TRAPEZOIDALE Questo filtro produce un
effetto intermedio tra il filtro ideale ed i
filtri considerati in precedenza (esponenziale e
butterworth). La funzione di trasferimento è la
seguente
In questo filtro l0 rappresenta la frequenza di
taglio ed l0,l1 rappresenta un intervallo della
frequenza con variazione lineare di H, utile ad
evitare le brusche variazioni tipiche del filtro
ideale