Statistik Lektion 2

1
StatistikLektion 2

• Betinget sandsynlighed
• Bayes regel
• Diskrete stokastiske variable

2
Repetition

Stikprøve

Population

• Stikprøve
• Stikprøvestørrelse n
• Stikprøvemiddelværdi
• Stikprøvevarians s2

• Population
• Populationsstørrelse N
• Populationsmiddelværdi µ
• Populationsvarians s2

3
Repetition

• Udfaldsrum S
• Hændelse A ? S
• Simpel hændelse Oi
• Regler
• 0 P(A) 1
• P(A) S P(Oi)
• P(S) 1

• Regler
• P(Ø) 0
• P(A?B) P(A) P(B) - P(A?B)
• P(A) 1 - P(A)

4
Lov om Total Sandsynlighed

• Lov om total sandsynlighed
• Vha. B kan vi opdele A i to disjunkte dele.

_ B
B
A
5
Eksempel Lov om Totalsandsynlighed

• Kortspil find sandsynligheden for at trække et
  billedkort, A
• Det må være sandsynligheden for at trække en
  billedkort i Hjerter (H), Spar (S), Ruder (R)
  eller Klør (K)
• P(A)P(AnH) P(AnS) P(AnR) P(AnK)
• 3/52 3/52 3/52 3/52 12/52

Spar
Hjerter
Ruder
Klør
AnS
AnR
AnH
AnK
A
6
Betinget sandsynlighed

• Den betingede sandsynlighed P(AB) er
  sandsynligheden for hændelsen A, givet at vi ved
  at hændelsen B allerede er indtruffet
• Ligeledes

7
(No Transcript)
8
Betinget sandsynlighed - intuition

• Antag alle udfald er lige sandsynlige, dvs.
• N antal udfald i udfalds rum
• NA antal udfald i hændelse A
• Hvad er sandsynligheden for A givet at B er
  indtruffet?

S


A
B











9
Eksempel Sennep og Ketchup

• A Bruger sennep
• B Bruger ketchup
• A?B Bruger både sennep og ketchup
• P(A) 75 P(B) 80 P(A?B) 65
• Hvad er sandsynligheden for at en ketchupbruger
  bruger sennep?

10
Simultan og Marginal Sandsynlighed

• Simultan sandsynlighed er sandsynligheden for at
  en eller flere hændelser indtræffer simultant, fx
  P(AnB)
• Marginale sandsynligheder beregnes ved at summere
  over rækker og søjler

A A Marginaler
B P(AnB) P(AnB) P(B) P(A nB) P(A nB)
B P(AnB) P(AnB) P(B)
Marginaler P(A) P(A nB) P(A nB) P(A) 1.0
11
Simultan og Marginal Sandsynlighed

• A Bruger sennep
• B Bruger ketchup
• P(A) 75 P(B) 80 P(A?B) 65

A A Marginaler
B P(AnB) 0.65 P(AnB) P(B) 0.80
B P(AnB) P(AnB) P(B)
Marginaler P(A) 0.75 P(A) 1.0
12
Multiplikationsregel

• Betinget sandsynlighed
• Omskrives til multiplikationsreglen
• Eksempel Konsulent på jagt efter job A og job B.
  Sandsynligheden for at få job A er P(A) 0.45.
  Givet at han får job A er sandsynligheden for at
  få job B P(BA) 0.9.
• Spørgsmål Hvad er sandsynligheden for at
  konsulent får både job A og job B?
• Svar

13
Uafhængighed

• To hændelser A og B er statistisk uafhængige,
  hvis og kun hvis
• Konsekvenser Hvis A og B er statistisk
  uafhængige hændelser
• Fortolkning af P(BA) P(B) Selvom vi ved at A
  er indtruffet, ændrer det ikke på sandsynligheden
  for B.

14
Eksempel Check for uafhængighed

• A Kandidat er kvinde
• B Kandidat i økonomi
• Vides
• P(A) 48 P(B) 17.5 P(A?B) 6
• Spørgsmål Er hændelserne A og B statistisk
  uafhængige?
• Svar Hvis stat. uafh, så skal der gælde
• Check P(A)P(B) 0.480.175 0.084 ? 0.06
  P(A?B)
• Dvs. A og B er ikke statistisk uafhængige.

15
Bayes Sætning

• Betinget sandsynlighed
• Multiplikationsregel
• Kombineres til Bayes Sætning
• Bemærk De betingede sandsynligheder er vendt.

16
Bayes Udvidede Sætning

• Hvis E1, E2, , EK er disjunkte og udtømmende
  hændelser i S, så gælder
• Bayes Sætning

(Lov om total sandsynlighed multiplikationsregle
n)
17
Bayes sætning Test for sjælden sygdom

• En test for en sjælden sygdom, der rammer 0,1 af
  befolkningen (P(I)0,001), er upræcis. Lad i det
  følgende
• Sandsynligheden for at testen er positiv når man
  er syg
• Sandsynligheden for at testen er positiv, når man
  er rask
• Hvad er så sandsynligheden for at man er syg,
  givet at testen var positiv?

18
Stokastisk Variabel Et eksempel
Betragt de forskellig mulige ordninger af drenge
(B) og piger (G) i fire fødsler. Der er
222224 16 muligheder og udfaldsrummet er
BBBB BGBB GBBB GGBB BBBG BGBG
GBBG GGBG BBGB BGGB GBGB
GGGB BBGG BGGG GBGG GGGG Hvis pige og
dreng er lige sandsynlige, P(G) P(B) 1/2,
og kønnet af hvert barn er uafhængig af kønnet på
det foregående barn, så er sandsynligheden for
hver af disse 16 muligheder (1/2)(1/2)(1/2)(1/2)
1/16.
19
Eksempel - fortsat

• Tæl antallet af piger i hver af de fire fødsler
• BBBB (0) BGBB (1) GBBB (1) GGBB (2)
• BBBG (1) BGBG (2) GBBG (2) GGBG (3)
• BBGB (1) BGGB (2) GBGB (2) GGGB (3)
• BBGG (2) BGGG (3) GBGG (3) GGGG (4)
• Bemærk at
• hvert mulig udfald tildeles en enkelt værdi
• værdierne, der tildeles varierer over de
  forskellige udfald
• Antallet af piger er en stokastisk variabel
• En stokastisk variabel , X, er en funktion, der
  tildeler en enkelt, men variabel værdi til hvert
  element i udfaldsrummet.

20
Eksempel - fortsat
Punkter på den reelle linie
21
Stokastisk variabel - formel definition

• En stokastisk variabel X er en funktion defineret
  på S (udfaldsrummet), der antager værdier på R
  (reelle tal)
• I eksperimenter knyttes en talværdi til hvert
  udfald
• Stokastiske variable kan enten være diskrete
  eller kontinuerte.
• Diskrete Antager et endeligt antal værdier
• Kontinuerte Antager værdier i en mængde af
  reelle tal

X
S
oi
R
X(oi)
0
22
Eksempler på diskrete og kontinuerte variable
Eksperiment Stokastisk variabel Type
Kast med terning Antal øjne Diskret
Kast med 2 terninger Sum af antal øjne Diskret
Familie i Danmark Antal børn Diskret
Familie i Danmark Indkomst Kontinuert
Kvinder i Danmark Højde Kontinuert
Baby Fødselsvægt Kontinuert
Resten af denne forelæsning ser vi på diskrete
stokastiske variable
23
Eksempel - fortsat
Eksempel Den stokastisk variabel X 3 når de
følgende fire hændelser BGGG, GBGG, GGBG, eller
GGGB forekommer, P(X 3) P(BGGG)
P(GBGG) P(GGBG) P(GGGB) 4/16 Sandsynligheds
fordelingen af en stokastisk variabel er en
tabel, der opskriver alle de mulige værdier af en
stokastisk variabel og deres tilknyttede
sandsynligheder. x P(Xx) For
eksemplet 0 1/16 1 4/16 2 6/16 3
4/16 4 1/16 16/161
24
Eksempel - fortsat
Sandsynlighedsfordeling for antal piger i fire
fødsler
Sandsynlighed, P(x)
Antal piger, X
25
Sandsynligheds fordeling
Definition Lad XS?R være en diskret stokastisk
variabel. P(Xx) P(x) er en sandsynligheds-ford
eling (-funktion) for X, hvis

Notation Store bogstaver (fx X) betegner
stokastisk variable. Små bogstaver (fx x)
betegner konkrete værdier af X.
26
Kumulativ fordelingsfunktion
Den kumulative fordelingsfunktion, F(x), for en
diskret stokastisk variabel X er
Kumulative fordelingsfunktions for antallet af
piger ved 4 fødsler
x P(x) F(x) 0 1/16 1/16 1 4/16
5/16 2 6/16 11/16 3 4/16 15/16 4 1/16
16/16 1.00






1
.
0
0
.
9
0
.
8
0
.
7
0
.
6
)
x
(
0
.
5
F
0
.
4
0
.
3
0
.
2
0
.
1
0
.
0
4
3
2
1
0
x
27
Eksempel - fortsat

• x P(x) F(x)
• 0 1/16 1/16
• 1 4/16 5/16
• 2 6/16 11/16
• 3 4/16 15/16
• 4 1/16 16/16
• 1.00

28
Middelværdi

• Middelværdien af en diskret stokastisk variabel X
  er givet ved
• Dvs. summen af værdien gange sandsynligheden for
  værdien et vægtet gennemsnit.
• Bemærk! Middelværdien for en stokastisk variabel
  kaldes også den forventede værdi.

29
Middelværdi - Eksempel
x P(x) xP(x) 0 1/16 1 4/16 2 6/16 3
4/16 4 1/16 16/161
Eksempel X er antal øjne ved terningkast. Dvs.
P(X1) P(X2) P(X6) 1/6. Den forventede
værdi er
30
Varians

• Variansen for en diskret stokastisk variabel er
  givet ved
• Standard afvigelsen er kvadratroden af variansen

31
Varians Eksempel
x x2 P(x) x2P(x) xP(x) 0 0 1/16 0 0 1 1
4/16 4/16 4/16 2 4 6/16 24/16 12/16 3 9
4/16 36/16 12/16 4 16 1/16 16/16
4/16 1 80/16 32/16
32
Regneregler for middelværdi og varians

• Hvis X er en diskret stokastisk variabel, da er
  middelværdien for en funktion h(X) givet ved
• Regneregler for en lineær funktion af X

33
Eksempel

• Håndboldspiller er på resultatkontrakt, hvor han
  får 1500kr i bonus pr mål.
• Lad X være den stokastiske variabel, der svarer
  til antal mål scoret i èn kamp.
• Det vides at EX 4.6 VX 5.2
• Hvad er den forventede bonus pr kamp? Variansen?
• Bonus pr kamp B 1500 X
• EB VB

34
Simultan Sandsynlighedsfordeling

• Hvis X og Y er to stokastiske variable, så er
  P(Xx,Yy) P(x,y) en simultan
  sandsynlighedsfunktion for X og Y, hvis
• Den Marginal sandsynlighedsfordeling er

(joint probability function)

35
Eksempel Alder og Salg

• Sammenhæng mellem aldersgruppe (X) og købsmønster
  (Y)

Aldergruppe (X) Aldergruppe (X) Aldergruppe (X) Aldergruppe (X)
Købs-mønster (Y) 1 (16 til 25) 2 (26 til 45) 3 (46 til 65) P(y)
1 (køb) 0.10 0.20 0.10 0.40
2 (ej køb) 0.25 0.25 0.10 0.60
P(x) 0.35 0.45 0.20 1.00
36
Betinget Sandsynligheder for SV

• For to diskrete stokastiske variable er den
  betingede sandsynligheden for Xx givet Yy givet
  ved
• Eksempel Betingede sandsynlighed for køb
  (Eksempel Betingede sandsynlighed for køb (Y1)
  givet kund i aldergruppen 26 til 45 (X 2).
• Svar P(X2,Y1) P(2,1) 0.20 og P(X2) 0.45

37
Uafhængighed

• To diskrete stokastiske variable X og Y er
  uafhængige hvis og kun hvis
• for alle x og y, hvor P(x) og P(y) er de
  marginale sandsynligheds-funktioner.
• Eksempel Er aldersgruppe og købsmønster
  uafhængige?
• Svar
• Dvs. der er ikke uafhængighed.

38
Kovarians

• X stokastisk variabel med forventet værdi µX
• Y stokastisk variabel med forventet værdi µY
• Kovariansen mellem X og Y er givet ved
• Hvis X og Y har diskrete stokastiske variable med
  simultan sandsynligheds funktion P(x,y), så er
  kovariansen givet ved

39
Middelværdi og Varians for Par af Stokastiske
Variable

• Lad X være SV med forventet værdi mx og varians
  s2X
• Lad Y være SV med forventet værdi mY og varians
  s2Y
• Da gælder
• Eksempler
• EXY VXY
• EX-Y VX-Y

40
Regneregler for middelværdi og varians
Middelværdien af en linearkombination af
stokastiske variable X1,X2,,Xk.
Hvis X1,X2,,Xk er indbyrdes uafhængige, så