Programaci

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Programación entera

• En muchos problemas reales las variables sólo
  pueden tomar valores enteros
• Ejemplos
• decisiones sobre inversiones, compras, arranques,
  etc.
• Cantidades de productos no divisibles, personas,
  etc.
• Problemas con el método Simplex
• soluciones no están en vértices
• cómo saber si tenemos una solución?

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Programación entera

• Problema entero puro
• min c Tx
• s.a Ax b
• x ? 0
• xi entera
  ?i
• Problema entero mixto
• min c Tx
• s.a Ax b
• x ? 0
• xi
  entera ?i ? I

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Programación entera

• Por simplicidad problema entero puro
• Métodos también aplicables al problema mixto
• Dificultad principal
• no podemos emplear aproximaciones basadas en la
  continuidad de las funciones del problema
• no podemos extraer conclusiones para puntos
  próximos

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Programación entera

• Métodos de solución
• Comparar todas las alternativas (no es eficiente)
• Procedimientos eficientes para seleccionar o
  descartar alternativas
• Basados en la aproximación del problema mediante
  problemas lineales (que sabemos resolver)

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Programación entera

• Procedimiento más simple
• ignorar la condición de que las variables sean
  enteras, y redondear la solución
• Inconvenientes
• tiene significado la solución no entera?
• cómo se redondea la solución?
• cómo se obtiene una solución redondeada
  factible?
• cuándo es óptima una solución redondeada?

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Es válida una solución aproximada?
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Es válida una solución aproximada?
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Es válida una solución aproximada?
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Es válida una solución aproximada?
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Algunos ejemplos. Formulación

• Hoja de problemas formulación de problemas
  enteros
• Modelización de condiciones lógicas

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Programación entera

• Método más sofisticado
• introducir restricciones adicionales que no
  eliminen soluciones enteras (cubierta convexa)
• Si las soluciones enteras son vértices, podemos
  aplicar el método Simplex
• Inconvenientes
• Cómo se calculan las restricciones necesarias?
• Cuántas hacen falta?

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Programación entera

• Cubierta convexa

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Programación entera

• Métodos más eficientes
• Combinación de ideas
• se añaden restricciones que aproximan la cubierta
  convexa (planos de corte), o
• se añaden restricciones que eliminan puntos que
  no pueden ser solución (branch and bound)
• se resuelven problemas lineales relajados

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Programación entera

• Método de branch and bound
• Se trata de
• dividir la región factible, y
• descartar aquellas partes en las que no puede
  encontrarse la solución
• Partes que no pueden descartarse
• se calcula la solución por el método Simplex, o
• se subdividen en nuevas partes añadiendo
  restricciones

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Programación entera

• Procedimiento
• Dado el problema min c Tx
• s.a
  Ax b
• 
  x ? 0
• 
  xi entera ?i
• se resuelve su versión relajada (P0)
• Si la solución de (P0) es entera, se termina
• Si no lo es, se subdivide el problema en varios

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Programación entera

• División del problema
• Supongamos que la solución del problema relajado
  es xk, y que (xk)i no es entera
• En la solución (entera) se cumplirá una de las
  dos condiciones siguientes
• xi ? ? (xk)i ? , xi ? ? (xk)i ? 1
• donde ?x ? denota la parte entera de x

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Programación entera

• División del problema
• Se generan los dos problemas siguientes
• P1 P0 ? xi ? ?(xk)i ?, P2 P0 ? xi ?
  ?(xk)i ?1
• En general, se tiene una lista de problemas
  pendientes de resolver
• Se toman los problemas de la lista, y se
  resuelven hasta que la lista queda vacía

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Programación entera

• Ejemplo gráfico

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Programación entera

• Qué sucede al resolver subproblemas?
• Subproblema no factible
• nada
• Subproblema con solución no entera
• se generan nuevos subproblemas
• Subproblema con solución entera
• se compara con la mejor solución entera hasta el
  momento

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Programación entera

• Eliminación de nodos
• Método no eficiente si es necesario examinar
  todos los subproblemas
• Número de subproblemas ? 2n
• Eliminar subproblemas
• si la función objetivo óptima del problema
  relajado cumple ciertas condiciones

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Programación entera

• Eliminación de subproblemas
• Basada en mejor solución entera
• Mejor valor de la función objetivo para una
  solución entera (hasta el momento) z
• Si para un subproblema se cumple
• c Txk gt z
• descartar el subproblema (y todos los
  subproblemas que se generen de él)
• Todas sus soluciones enteras son peores que z

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Programación entera

• Selección de subproblema
• Análisis en profundidad del árbol de subproblemas
• Se toma el último subproblema generado
• Se obtienen rápidamente soluciones enteras
• Alternativa búsqueda en extensión
• Se examinan primero todos los problemas de un
  nivel dado

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Programación entera

• Arbol de subproblemas

- Búsqueda en profundidad P0, P1, P3, P4, P2,
P5, P7 P9, P10, P11, P12, P8, P6 - Búsqueda en
extensión P0, P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8,
P9, P10, P11, P12
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Programación entera

• Generación de nuevos subproblemas
• Qué variable no entera se escoge para generar
  los subproblemas?
• Aquella que permita obtener la solución más
  rápidamente
• Aquella que dé un menor valor de la función
  objetivo (más cerca de la solución)
• Como el valor de la función objetivo relajada
  aumenta, variable con menor aumento

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Programación entera

• Estimación de cambios en la f. objetivo
• xi ? xi
• La variable i es básica y pasa a ser no básica
• Una variable no básica debe pasar a ser básica
• xi (B -1N )i xN (B -1b )i
• xi (B -1N )i xN (B -1b )i
• c T (x - x ) ? (xi - xi ) mink (-ck /nik )
• Se escoge la variable i con el menor cambio

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Programación entera

• Resolución de subproblemas
• Dado un subproblema resuelto, añadimos una
  restricción al subproblema
• La última solución no cumple la restricción
• Aplicamos el método dual del Simplex
• Ponemos la restricción en forma estándar
• Añadimos la restricción a la tabla
• Aplicamos el método dual

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Programación entera

• Ejemplo
• max 8x1 9x2
• s.a 76 x1 68 x2 ?
  767
• -38 x1 32 x2 ?
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• 2 x2 ? 3
• x ? 0 entera
• Solución del problema relajado
• x1 9/2 , x2 25/4
• ?3 -299/2508 , ?4 -70/2508

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Programación entera

• Nuevas restricciones
• x1 ? 4 , x1 ? 5
• Primer subproblema
• x1 s4 4 , s4 ? 0
• Nueva solución del primer subproblema
• x1 4 , x2 181/32
• ?4 -9/32 , ?4 -299/16

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Programación entera

• Métodos de planos de corte
• Alternativa a métodos branch and bound
• Introducir nuevas restricciones
• sin dividir el problema
• sin eliminar soluciones enteras
• Objetivo solución del problema relajado
  solución del problema entero

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