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El%20algoritmo%20X
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Algoritmo para encontrar todas las soluciones al problema del recubrimiento ... Bertram Felgenhauer, Frazer Jarvis, 'Enumerating possible Sudoku grids'. A o 2005 ... – PowerPoint PPT presentation
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Title: El%20algoritmo%20X
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El algoritmo X
- Antonio Jesús Roa Valverde
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Contenido
- Introducción
- Descripción
- FilosofÃa
- Implementación vÃa Dancing Links
- Aplicaciones
- BibliografÃa
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Introducción
- Debido a Donald Knuth (año 2000)
- http//www-cs-faculty.stanford.edu/uno/
- Algoritmo de búsqueda para problemas de
recubrimiento como N-reinas, sudoku,
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Descripción
- Algoritmo para encontrar todas las soluciones al
problema del recubrimiento (exact cover problem). - Recursivo
- No determinista
- Primero en profundidad
- Fuerza bruta
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FilosofÃa
- La siguiente matriz representa un problema de
recubrimiento donde el objetivo es elegir un
subconjunto de filas de forma que el dÃgito 1
aparezca en cada columna una sola vez.
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FilosofÃa
- OJO Si al iterar aparece una columna sin 1s
hacemos backtrack y descartamos la fila
elegida.
- El funcionamiento es el siguiente
- Elegir una columna c de forma determinista.
- De forma indeterminista escoger una fila f que
tenga un 1 en la columna c, y añadir r al
conjunto solución. - Eliminar cualquier fila no seleccionada que tenga
un 1 en cualquier columna en la que r tenga un 1. - Eliminar de la matriz cualquier columna para la
que r tenga un 1. - Repetir el algoritmo sobre la matriz reducida
hasta que quede vacÃa.
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FilosofÃa
- La solución se obtiene cuando llegamos a la
matriz vacÃa. - Los elementos representados por las filas
seleccionadas constituyen el conjunto solución. - Knuth sugiere el siguiente heurÃstico para
reducir el número de iteraciones - Elegir primero aquella columna que presenta menor
número de 1s
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Ejemplo (pizarra)
- La siguiente matriz surge como resultado de
modelar un determinado problema de recubrimiento.
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Implementación
- Dancing Links (DLX) es la técnica propuesta por
Knuth para implementar su algoritmo X usando
listas circulares doblemente enlazadas. - El nombre viene por la forma en que trabaja el
algoritmo las operaciones entre punteros
recuerda a los pasos de baile de una coreografÃa.
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Implementación
- DLX se basa en que en una lista circular
doblemente enlazada - x.left.right lt- x.right
- x.right.left lt- x.left (borrar nodo x)
- x.left.right lt- x
- x.right.left lt- x (restaurar nodo x)
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Implementación
- Estructura de datos
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Implementación
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Implementación
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Implementación
- Los nodos realmente no se eliminan de la
estructura. Este mecanismo es lo que permite
realizar el backtrack. - OJO Cuidado con el recolector de basura en
determinados lenguajes.
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Aplicaciones
- Sudoku (2006)
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Sudoku
- En la matriz DLX, las filas representan los
posibles movimientos y las columnas las
restricciones que una solución válida debe
satisfacer. - Cada fila puede ser etiquetada como ltd,r,cgt,
donde d,r,c toman valores entre 1 y 9. - lt2,5,7gt Colocar el dÃgito 2 en la celda5,7
- Puesto que hay 9 dÃgitos y 9x9 celdas, tenemos un
total de 9x81729 filas.
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Sudoku
- Existen 4 tipos de restricciones
- Cada celda debe tener un único dÃgito ltr,cgt
- Cada dÃgito debe aparecer una vez en una fila
ltd,rgt - Cada dÃgito debe aparecer una vez en una columna
ltd,cgt - Cada dÃgito debe aparecer una vez en una caja
ltd,bgt - Ejemplo del tipo 1 la restricción lt5,7gt
significa que la celda 5,7 tiene un único
dÃgito. La columna para esta restricción tiene un
1 en las filas lt1,5,7gtlt9,5,7gt y un 0 en el
resto. La solución DLX seleccionará sólo una de
estas filas. - Existen 9x9 restricciones de cada tipo. Por
tanto, tenemos 4x81324 columnas
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Sudoku
- La matriz DLX tiene dimensión 729x324
- Cada fila contiene sólo cuatro 1s, el resto son
ceros. - Cada columna contiene sólo nueve 1s, el resto
son ceros. - De aquà la importancia de guardar solamente los
nodos con un 1.
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Sudoku
- Solución C
- Solución Lisp
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BibliografÃa
- Donald E. Knuth, Standford University, Dancing
Links. Año 2000 - http//en.wikipedia.org
- Bertram Felgenhauer, Frazer Jarvis, Enumerating
possible Sudoku grids. Año 2005 - http//www-cs-faculty.stanford.edu/knuth/index.ht
ml - Página de Donald E. Knuth
- http//www.jalat.com/blogs/lisp?id4
- Solución Sudoku en Lisp
- http//www.codigoescrito.com/archivos/000194.html
- Solución Sudoku en C
- http//www.puzzle.jp/en/
- Página donde se muestran otros posibles puzzles
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