guIELDI CON MATEDI DE matem - PowerPoint PPT Presentation

Title: guIELDI CON MATEDI DE matem


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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICOCOLEGIO
DE CIENCIAS Y HUMANIDADESPLANTEL ( 1 )
AZCAPOTZALCO

• guIELDI CON MATEDI DE matemáticas II PARA
  PROFESORES
• (guía Electrónica DIGITAL CON MATERIAL DIDÁCTICO
• INTERACTIVO DE Matemáticas DOS PARA PROFESORES)
• GRUPO INSTITUCIONAL RENÉ DESCARTES
• COORDINADOR ING. JAIME SÁNCHEZ SOTO

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICOCOLEGIO
DE CIENCIAS Y HUMANIDADESPLANTEL ( 1 )
AZCAPOTZALCO
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• UNIDAD IFUNCIONES CUADRÁTICAS
• ING. JAIME SANCHEZ SOTO
• Profesor JASASO

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MATEMÁTICAS II UNIDAD 1 FUNCIONES CUADRÁTICAS
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?PROPÓSITOS ? Continuar en el estudio de
funciones, a partir del estudio de situaciones
que varían en forma cuadrática. ? Contrastar este
tipo de variación con la lineal. ? Analizar el
comportamiento de las gráficas de funciones
cuadráticas en términos de sus parámetros e
iniciar la resolución de problemas de
optimización con métodos algebraicos.
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?APRENDIZAJES QUE ADQUIRIRÁ EL ALUMNO CON EL DESARROLLO DE DE LA UNIDAD. ?APRENDIZAJES QUE ADQUIRIRÁ EL ALUMNO CON EL DESARROLLO DE DE LA UNIDAD.
Al finalizar la unidad el alumno ? Diferencía dos tipos de variación fundamentales (lineal y cuadrática).
? Explora en una situación o problema que da lugar a una función cuadrática, valores, condiciones, relaciones o comportamientos, a través de las tablas, diagramas, etc. que le permitan obtener información del problema, como un paso previo a establecer la representación algebraica. ? Reconoce en una tabla si existe variación cuadrática por medio de diferencias finitas.
? Explora en una situación o problema que da lugar a una función cuadrática, valores, condiciones, relaciones o comportamientos, a través de las tablas, diagramas, etc. que le permitan obtener información del problema, como un paso previo a establecer la representación algebraica. ? Obtiene el modelo de la función cuadrática de una situación dada.
? Explora en una situación o problema que da lugar a una función cuadrática, valores, condiciones, relaciones o comportamientos, a través de las tablas, diagramas, etc. que le permitan obtener información del problema, como un paso previo a establecer la representación algebraica. ? Diferencía entre una ecuación cuadrática y una función cuadrática.
? Relaciona el número de intersecciones de la curva de una función cuadrática con el eje x, con la naturaleza de las raíces en particular identifica su ausencia con la existencia de raíces complejas. ? Transita por los diferentes tipos de registro de la función cuadrá-tica(tabular, algebraico y gráfico).
? Relaciona el número de intersecciones de la curva de una función cuadrática con el eje x, con la naturaleza de las raíces en particular identifica su ausencia con la existencia de raíces complejas. ? Da significado al papel que juegan los parámetros en el comportamiento de una gráfica.
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? En el modelo y a x2, analiza el impacto de la constante a, y deduce la orientación de la curva. ?En el parámetro y a x2 c comprende el papel del parámetro c, en la traslación de la gráfica y a x2 hacia arriba ó hacia abajo del eje x, según se le asignen valores positivos ó negativos a c. ? En el modelo y a (x h)2 k, deduce que el impacto de los parámetros h y k es el de trasladar y desplazar la parábola y a x2.
? En el modelo y a x2, analiza el impacto de la constante a, y deduce la orientación de la curva. ?En el parámetro y a x2 c comprende el papel del parámetro c, en la traslación de la gráfica y a x2 hacia arriba ó hacia abajo del eje x, según se le asignen valores positivos ó negativos a c. ? Integrar a tu lenguaje términos como concavidad, vértice, máximo, mínimo, traslación y simetría.
? Expresar una función cuadrática escrita en la forma general y a x2 bx c, a la forma estándar y a (x h)2 k y poder describirla a partir del análisis de sus parámetros. ? Resolver problemas sencillos de máximos y mínimos aprovechando las propiedades de la función cuadrática.
? Dar significado a las coordenadas del vértice en términos del valor máximo ó mínimo de la función. ? Interpretar el comportamiento de la gráfica dentro del contexto de una situación dada.
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? UNIDAD 1 FUNCIONES CUADRÁTICAS PÁGINA
?ÍNDICE TEMÁTICO
? 1.1).Situaciones que involucran cambio y que dan origen a funciones cuadráticas. 8
? 1.2).Comparación de la función cuadrática con la función lineal 15
? 1.3).Intersecciones de la gráfica de una función cuadrática con el eje x. 20
? 1.4).Estudio gráfico y analítico de la función y a x2 b x c. 25
? 1.4.1).y a x2 27
? 1.4.2).y a x2 c 29
? 1.4.3).y a(x h )2 31
? 1.4.4). y a(x h )2 k. 33
? 1.5).Concavidad, máximo o mínimo 35
? 1.6).Problemas de máximos y mínimos resolución algebraica. 37
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Si una función f asigna un valor y en el
rango a cierta x en el dominio, escribimos ?
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y f ( x ) se lee f de x ó se denomina el
valor de f en x.
Si una función se expresa como y f ( x ), x es
variable independiente y a y se le conoce como
variable dependiente. En forma general
consideramos funciones que se expresan
estableciendo el valor de la función por medio de
una expresión en términos de una variable
independiente determinada.
La función y f ( x ) 4 x 3 es una función
lineal o de primer grado. La función y f ( x )
2 x2 7 x 4 es una función cuadrática o de
segundo grado. La función y f ( x ) 8 x3 - x
4 es una función cúbica o de tercer grado.
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PROBLEMAS Y EJERCICIOS QUE PROPONEMOS PARA
RESOLVER DE LA UNIDAD UNO en secuencia didáctica
y considerando estrategia didáctica.
1. 1).Tenemos f ( x ) 3 x2 4x 6 1.1.1).La
función anterior está en términos de x, queremos
transformarla en términos de a para lograrlo lo
único que hay que hacer es sustituir a por x en
la función y así llegar a la expresión f( x )
3 x2 4x 6 f ( a ) 3 ( a )2 4( a ) 6 f (
a ) 3 a 2 4a 6 1.1.2).Ahora la misma función
f(x)3 x2 4x 6transfórmala en términos de
3 f ( x ) 3 x2 4x 6 f ( 3 ) 3 ( 3 )2 4(
3) 6 ( Que el alumno participe y la simplifique
lo mas que pueda, resolviendo las que siguen con
apoyo del profesor).
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1. 1.3).La función f ( x ) 3 x2 4x 6
transformarla en términos de 4 1.1.4).La
función f ( x ) 3 x2 4x 6 transformarla en
términos de 1.1.5).La función g ( x ) 3 x2
2x 5 transformarla en términos de 1
h 1.1.6).Si G(x) 3 x2 2 x 5 determina el
valor de la función si x 2h 1 1.7).Si G(x) 4
x2 3 x - 5 determina G ( 3x - 1) 1.1.8).Si
f(x) 5 x2 4 x -1 determina el valor de la
función si x 1 h 1.1.9).Si f(x) x2 3 x -2
determina f (1) f (h) 1.1.10).Si G(x) 3 x2 2
x 5 determina 1.1.11).Si f (x) 3 x4 5 x2
18. Prueba que f ( - x ) f( x ) 1.1.12).Si
f (x) 7 x3 -2x Prueba que f ( - x ) - f( x
) 1.1.13).Si f (x, y ) x2 3 x y y2
encuentra f ( 2, 3 ) f (3, 2) f ( 2, -3
) 1.1.14).Si f (x, y ) 3x2 -2xy - 4 y2 6 x
3 y 7 encuentra f ( -1, -2 )
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1.2).Se tiene un cable conductor de energía de 40
metros de largo, para conectar equipos en una
planta termoeléctrica. Si con el cable se forma
un rectángulo
Puede ser AB CD 17 metros AD BC 3
metros Cuál es el valor del perímetro? Perímetro
AB CD AD BC 17 17 3 3 34 6
40 metros Calcula el área del rectángulo Área
de ABCD AB(BC) CD(AD) 17(3) 51 m2
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Plantearle al alumno que escriba otras dos
soluciones, calculando perímetro y área del
rectángulo. Y que describa lo que nota.
1.3).Un Granjero tiene 200 metros de cerca con la
que quiere cercar su terreno rectangular. Un lado
del terreno ya cuenta con la cerca. Cuál es el
área máxima que puede cercarse?
Un problema para resolverlo en secuencia
didáctica y considerando estrategia
didáctica. Secuencia didáctica Se construye la
función. Se resuelve dicha función y se determina
el área máxima que puede cercarse con la cerca
que se tiene. Verificar el resultado
obtenido. Construir la gráfica de la función
construida.
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Cómo representar la cerca con la parte lineal
que cubrirá? Efectivamente decidiste bien x y
x 200 (Perímetro del terreno rectangular). 2
x y 200 (Agrupando términos semejantes).
Cómo representar el área del terreno que se
cubrirá? Efectivamente es correcto A x ( y )
(Área del terreno rectangular). pero si 2 x y
200 entonces despejemos y 2x 2x y 200 2
x ( sí te acuerdas de estos conceptos?) Bien
pues y 200 2 x ( Estás de acuerdo?) Ahora
como queda el área
A x ( 200 2 x)( Al sustituir y) A 200x 2
x2(Realizando producto) A - 2 x2 200x
(Ordenando la función que es cuadrática)
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1.3.2). Considerando la función construida,
calcula el área máxima del terreno
rectangular. Si comparamos la función construida
A - 2 x2 200x con y f ( x) a x2 b x
c nos damos cuenta que a - 2 , b 200 y c
0. Podemos advertir que como a - 2 y esto
quiere decir que a lt o, por tanto concluimos que
la función cuadrática tiene un punto máximo en
el vértice, esto es cuando x ( síguele y
determina el valor de x ) Cuál es el valor de x
? tienes razón es 50 Bueno ya casi la
hacemos El valor máximo del área se obtiene
Cuándo? Sí efectivamente cuando x 50
Y como el área máxima del terreno está dada
por A - 2 x2 200x ( Sí estamos de
acuerdo?) Bueno pues ahora substituyamos x 50
en la expresión anterior y nos queda A - 2 (
)2 200 ( ) indica los valores faltantes y
desarrolla A donde llegamos ? Muy bien
desarrollaste correctamente porque el área máxima
es
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Con la participación de los alumnos
1.3.3).Verificar los resultados
obtenidos. 1.3.4). Considerando la función
construida, trazar la gráfica de la función.
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1.4). Si un terreno rectangular tiene como
perímetro 48 metros en una tabla indica los
valores que puede tomar el ancho y el largo
escribiendo y remarcando los valores del largo y
el ancho del rectángulo para que su área tome el
valor máximo.
1.5). La demanda diaria x, de cierto artículo al
precio de p pesos está dada por la expresión x
1340 40 p. El costo de la mano de obra y del
material con que se fabrica este producto es de
6 por unidad y los costos fijos son de 2400 al
día. Qué precio por unidad p deberá fijarse al
público consumidor, con objeto de obtener una
utilidad máxima diaria? Cómo resolveremos ?
Pongámonos de acuerdo! Llamemos C en pesos al
costo total de producir x unidades al día, que al
calcularlo es C 6 x 2400 ( considerando la
información)
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Como la demanda x está dada por x 1340 40 p
al sustituir dicho valor en C llegamos a C 6 (
1340 40 p) 2400 que al realizar las
operaciones llegas a C
( realizar las operaciones
faltantes) Al simplificar la expresión tenemos C
-240 p 10440 El ingreso I (en pesos) obtenido
por vender x unidades a p pesos por unidad es I
p ( x) I p ( 1340 40 p) realizar las
operaciones para que llegues a I
Si determinamos la utilidad (U) en pesos, está
dada por la diferencia entre el ingreso y el
costo U I - C U 1340 p 40p2 ( - 240 p
10440) U 1340 p 40p2 240 p 10440 que al
simplificar y ordenar tenemos U
( escribir la
expresión ordenada)
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La expresión que se ordenó es la utilidad U, que
representa una función cuadrática en términos de
p. Que al revisarla nos damos cuenta que a - 40
lt 0, por lo que la gráfica es una curva que abre
hacia abajo y la utilidad máxima diaria se
alcanza en el vértice de la curva. Por lo que
tenemos a - 40, b 1580 y c - 10440 El
vértice de la curva está dado por
por lo tanto si un precio de p 19.75 por
unidad debe ser fijado al público consumidor para
obtener una máxima utilidad. La utilidad máxima
está dada por U - 40 p2 1580 p 10440 (
sustituye p 19.75 en la expresión y sí
desarrollas las operaciones adecuadamente llegas
a) Utilidad máxima diaria U 5162.50
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1.6).La expresión que se obtuvo como función
cuadrática en el problema 1.5 es U - 40 p2
1580 p 10440 HACER el trazo de la curva
representada por la función f (p), considerando a
p ( precio por unidad) en el eje horizontal y a U
( utilidad máxima) en el eje vertical. Si se
actúa adecuadamente se llega a una gráfica del
tipo
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1.7).Una línea telefónica debe tenderse entre dos
pueblos situados a orillas de un río en los
puntos P y Q. El ancho del río es de 1 kilómetro
y Q está situado a 3 kilómetros río abajo de P.
La línea tiene un costo de c pesos por kilómetro
tenderla por tierra y 2c pesos por kilómetro
tenderla bajo el agua. La línea debe seguir la
orilla del río empezando en P una distancia x
kilómetros y luego cruzar el río diagonalmente en
línea recta hacia Q. Determine el costo total de
la línea como función de x. Primero hagamos un
dibujo del tipo
Para representar el problema.
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Qué sigue? Buscar la solución. La línea
telefónica se extiende de P a R una distancia x a
lo largo de la orilla del río luego diagonalmente
de R a Q. El costo de la parte de la línea de P
a R es cx, Mientras la parte de R a Q es 2c (
RQ ) Si al costo total de la línea le llamamos y,
este está dado por y cx 2c (RQ)esto es
correcto QRS representa un
triangulo rectángulo por lo que (RS)2 (SQ)2
(RQ)2 como el ancho del río es SQ 1 Km y RS
PS PR
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RS 3 X Por lo tanto finalmente tenemos (3 -
x)2 (1)2 (RQ)2 RQ RQ RQ El costo
total de la línea es y cx 2c El costo
total de la línea es y cx 2c
1.8). Si en el problema anterior, el kilómetro de
línea tendida se cobra a 50,000 y la distancia
PR es de 1, 800 metros. Cuál es el costo total
de la línea tendida, o sea? Cuál es el valor de
y ?
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PARA CONTRASTAR FUNCIONES LINEALES CON
CUADRÁTICAS 1.9). El suministro de electricidad
en el D.F. se cobra a los usuarios a una tarifa
de 0.80 el watt para los 50 primeros watts
gastados y 0.30 para las cantidades que excedan
las 50 unidades. Construye la función c ( x )
que represente el costo de usar x número de watts.
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1.13). Hacer el trazo de la gráfica que
representa a la función y f ( x) 2 x2 y
determinar todas sus características.
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1.14).Hacer el trazo de la gráfica que representa
a la función y f ( x) - 2 x2 primero con
los elementos geométricos y luego utilizando
software en apoyo a la enseñanza de las
matemáticas para que se llegue a una gráfica como
la que se ve y determinar lo que se pide
1.14.1).Los puntos que tienes en la gráfica
proyéctalos al eje x y al eje y. 1.14.2).A los
puntos anteriores indícales un símbolo y
determina sus coordenadas. 1.14.3).De los puntos
de la gráfica identifica al vértice, llámale V e
indícale sus coordenadas.
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1.15). Hacer el trazo de la función y - 2 x 2
4 x, para que se llegue a una figura como la
que se ve abajo e indicar todas sus
características

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1.16).Hacer el trazo de y x2- 6 x e indicar
sus características.
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1.17).Trazar la gráfica de la función y f ( x
) 2 x2 - 4 x 7 utilizando elementos
geométricos y verificar con software para apoyo
de enseñanza de las matemáticas y llegarás a una
figura como la que sigue
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1.18).Dada la ecuación y 3 x2
6x 1.181).Hacer su trazo construyendo una tabla
para x e y, e indicar las coordenadas de los
puntos que forman la gráfica. 1.18.2).Determinar
las coordenadas de su vértice. 1.18.3).Calcular
las coordenadas de los puntos de intersección de
la curva con el eje de las x. 1.18.4).Indicar las
coordenadas del o de los puntos de intersección
con el eje de las y. 1.18.5).Describir hacia
donde se recorrió el eje de simetría de la curva
y porqué.
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1.19).Trazar la función que sigue y - 3 x 2 -
6 x 1.19.1).Construyendo una tabla para x e y,
indicar las coordenadas de los puntos que forman
la gráfica. 1.19.2).Proyectando hacia los ejes
indicar el vértice. 1.19.3).Si el vértice es V,
escribe sus coordenadas. 1.19.4).Indicar las
coordenadas del o de los puntos de intersección
con el eje de las y. 1.19.5).Marca el eje de
simetría de la curva, decir hacia donde se
recorrió e indica la explicación de esto.
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1.20).Traza la gráfica de la función y x2 6
x 8 1.20.1).Construyendo una tabla para x e y,
indica las coordenadas de los puntos que forman
la gráfica. 1.20.2).Proyectando hacia los ejes
indica el vértice. 1.20.3).Si el vértice es V,
escribe sus coordenadas. 1.20.4).Determinando las
raíces de la ecuación Indica las coordenadas del
o de los puntos de intersección con el eje de las
x. 1.20.5).Marca el eje de simetría de la curva,
di hacia donde se recorrió e indica la
explicación de esto.
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1.21).Realiza el trazo de la función y f ( x)
x2- 6 x 8 y llegarás a una figura como la de
abajo, indica cada una de sus características en
los incisos que correspondan escribe las
diferencias que notas al compararlas con las
gráficas anteriores (problema 1.20, además traza
su eje de simetría.
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1.23).Si se tiene la función y x2 2x
1.23.1).Determinar las raíces como debemos de
hacer y 0 entonces 0 x2 2x Si
factorizamos nos queda 0 x ( x 2
) Utilizando la propiedad del cero, primer
factor x 0 Ahora segundo factor x 2 0,
entonces x 2 2 0 2
x
- 2 Por lo anterior las raíces son x 0 y x
- 2 ( sí estás de acuerdo con lo anterior?) son
conceptos de lo visto en APUBAMA UNO
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1.23.2).Determinar las coordenadas del vértice de
la curva representada por la función y x2
2x y x2 2x ( 1 )2 - ( 1 )2 ( dividimos
el coeficiente del término de primer grado entre
2 y lo elevamos al cuadrado sumándolo al segundo
miembro y ese mismo término lo restamos al
segundo miembro fuera del corchete). Ahora y (
x2 2x 1 ) - 1 Luego y ( x 1 )2 1 (
factorizamos lo que está dentro del
paréntesis) Después y ( -1 1 )2 1 ( dando
a x un valor igual al segundo término del binomio
pero de signo contrario, para que se vuelva
cero). Agrupando y ( 0 )2 1 0 1 -
1 Por lo tanto y -1 cuando x - 1 y entonces
el vértice es V ( - 1, -1 ) 1.23.3).Conociendo
las raíces x 0, x - 2 y el vértice V ( -1,
-1), haz el trazo de la función y x2 2x, y
marca el eje de simetría de la parábola y
confirma las raíces y el vértice.