Key Formulas of Chapter 9

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Key Formulas of Chapter 9

• AR (1)
• yt et f1 et-1 f12 et-2 . .. f1n et-p
  . . . (9-1)
• Unconditional Forecast
• E(Yt ) E(yt ) m m

2

• Conditional Forecast
• E(yt1 yt, yt-1, . . . , y2, y1) (9-3)
• yt(m) E(etm f1 etm-1 . . . f1m-1 et1
  f1m yt ) f1m yt
• Since f1 lt 1, f1m yt , ? 0 as m ? ?
  (9-5)
• Then, Yt(m) yt(m) m 0 m m as m ?
  ?
• Conditional Forecast ?
• Unconditional Forecast as m ? ?

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• Forecast Mean Squared Error (FMSE) and Standard
  Error (FSE)
• S Yt1m - Yt1 - (m)2
• FMSE(m)
• j
• S Yt1m - Yt1 - (m)2
• FSE(m)
• j
• EMSE (m) Expected FMSE(m)
• EFSE(m) EMSE (m)

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• General ARIMA Models psi weights (y1)
• yt et y1 et-1 y2 et-2 . .. yk et-k
  . . . (9-8)
• (e.g., AR(1))
• yt et f1 et-1 f12 et-2 . .. f1n et-p
  . . . (9-9)
• General EMSE
• EMSE(1) E(et12) se2 (9-15)
• EMSE(2) se2 y12se2 E(et12) (9-19)
• (1 y12 )se2
• EMSE(3) (1 y12 y22)se2 (9-21)
• EMSE(m) (1 y12 y22 . . . ym-12)se2
  (9-22)

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• P.I.
• Yt (m) - tEFSE(m) ? Ytm ? Yt (m) tEFSE(m)
  (9-23)
• AR(1)
• EMSE(1) se2
• EMSE(2) (1 f12 )se2
• . . .
• EMSE(m) (1 f12 f14 . . .
  f12m-2)se2 se2
• EMSE(m) (9-25)
• lim m ? ? (1 f12 )

6

• ARIMA(0,1,0)
• Yt Yt-1 et
• Yt (1 B B2 B3 . . . Bn) et
• y1 y2 . . . yk 1
• Conditional Forecasts
• Yt(m) E(Yt et1 . . . f1n etm )
  Yt (9-27)
• EMSE(1) E(et12) se2
• EMSE(2) E(et2 et1) 2 2se2
• . . .
• EMSE(m) E(etm etm-1 et1) 2
• mse2 (9-28)

7

• ARIMA (0,0,1), only one nonzero y weight, a
  one-period memory
• yt et - q1 et-1 (1 q1B) et (1 y1B) et
• where y1 -q1
• thus, y1 y2 . . . yk 0 for all k gt 1
  

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• Conditional Forecasts
• yt(1) E(et1 - q1et ) - q1et yt (1) m -
  q1et
• yt(2) E(et2 - q1et1 ) 0 yt (2) m
• . . .
• yt(m) E(etm - q1etm-1 ) 0 yt (m) m
• EMSE(1) E(et12) se2
• EMSE(2) E(et2 - q1et1) 2 (1 q12) se2
• . . .
• EMSE(m) E(et2 - q1et m-1) 2 (1
  q12)se2 (9-29)
• EMSE(m) (1 q12)se2
• m ? ?

9

• Seasonal Nonstationary Prediction Interval
• Yt Yt-12 et
• Yt (1 B12 B24 B36 . . . Bi12) et
  (9-30)
• n
• for i 1 to INT
• 12
• Yt (1 y12 B12 y24 B24 y36 B36 . . .
• yi12 BI12) et (9-31)
• y12 y24 . . . yi12 1,
• all other yr 0 for r ? i12

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• Conditional Forecasts ARIMA(0,1,0)12
• Yt(1) E(Yt-11 et1 ) Yt-11
• Yt(12) E(Yt et12 ) Yt
• Yt(13) E(Yt1 et13 ) E(Yt1) Yt(1)
  Yt-11
• EMSE(1) se2
• EMSE(2) (1 0) se2 se2
• . . .
• EMSE(25) (1 0 . . . 0 1 0 . . .
  0 1)se2
• 3se2
• m - 1
• EMSE(m) INT 1 se2 (9-32)
• 12