Econometra de Datos de Panel

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Econometría de Datos de Panel
Martín Gonzalez Rozada

• Lecture 3 Segundo Trimestre 2009

Maestría en Economía Maestría en Econometría
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Modelos de Panel Lineales

• Transformación por Diferencias Finitas
• El modelo y su interpretación son exáctamente
  iguales que antes. Esto es
• Yjt xjt ? cj ujt t1, 2,..., T
  (UEM)
• Rezagando un período (UEM) tenemos
• Yjt-1 xjt-1 ? cj ujt-1 t2,..., T
  (UEM.1)
• Restando (UEM.1) de (UEM) tenemos la
  transformación de diferencias finitas

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Modelos de Panel Lineales

• ?Yjt ?xjt ? ?ujt t2,..., T (FD.1)
• donde ?Yjt Yjt - Yjt-1, ?xjt xjt - xjt-1 y
  ?ujt ujt - ujt-1.
• Como ocurría con la transformación de FE, FD
  también elimina el efecto individual cj.
• Igual que antes, la ecuación (FD.1) pone en
  evidencia porque no puede haber en xjt elementos
  que no varíen en el tiempo.

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Modelos de Panel Lineales

• El estimador de FD es el estimador de POLS en
  (FD.1).
• Bajo que supuestos este estimador es consistente?
  Necesitamos
• Supuesto FD.1 E(ujt Xj, cj) 0, t1, 2,,T
• El supuesto FD.1 es igual a FE.1 y a RE.1(a).

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Modelos de Panel Lineales

• Bajo el supuesto FD.1, POLS en (FD.1) será
  consistente porque E(?xjt ?ujt)0, t2,,T
• Supuesto FD.2
• Una de las razones para preferir FD sobre FE es
  que es fácil de calcular usando un paquete
  estadístico común.
• Lo único que debemos tener en cuenta es que las
  observaciones correspondientes a los períodos 1,
  T1, 2T1,, (N-1)T1 deben considerarse como no
  disponibles.

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Modelos de Panel Lineales

• Sin embargo, bajo los supuestos FE.1-FE.3, el
  estimador de FE es el más eficiente dentro de la
  clase de estimadores que utilizan el supuesto de
  exogeneidad estricta.
• Una consecuencia de este último punto es que el
  estimador de FD debe ser menos eficiente si se
  cumple FE.3.

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Modelos de Panel Lineales

• (FD1) se puede escribir en forma más compacta
  como
• DYj Dxj ? Duj t2,..., T (FD2)
• donde D es la matriz (T-1)xT de operadores de
  primeras diferencias

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Modelos de Panel Lineales

• El estimador de FD en (FD2) es

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Modelos de Panel Lineales

• Si se cumple FE.3, entonces
• E(DujujD Xj, cj) D E(uj uj Xj, cj) D
• ?u2 DD
• Lo que muestra que los errores estarán
  correlacionados para períodos adjacentes.
• En este caso, argumentos estándares de GLS nos
  darán el siguiente estimador óptimo

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Modelos de Panel Lineales

• Note que en este caso GLS ? FGLS porque DD es
  conocida.
• Otro punto interesante es que, la matriz
  idempotente D(DD)-1D también puede escribirse
  como
• D(DD)-1D ? IT JT(JTJT)-1JT QT
• donde QT es la matriz time demeaning que vimos
  antes.
• Esto muestra que

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Modelos de Panel Lineales

• Si no se cumple FE.3 entonces uno puede asumir
  que la primera diferencia de los errores
  idiosincráticos no tienen correlación serial.
• Supuesto FD.3 E(ej ej xj1,,xjT, cj)?e2
  IT-1, donde ej es el vector que contiene a ejt ?
  ?ujt, t2,,T (ó ej Duj).

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Modelos de Panel Lineales

• Bajo el supuesto FD.3, podemos escribir los
  errores idiosincráticos como
• ujt ujt-1 ejt
• Tal que, ausencia de correlación serial en ejt
  implica que ujt sigue un paseo al azar (i.e.
  tiene una dependencia serial muy fuerte).
• Es decir que el supuesto FD.3 representa el otro
  extremo de FE.3

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Modelos de Panel Lineales

• Bajo los supuestos FD.1-FD.3, el estimador de FD
  es el más eficiente dentro de la clase de
  estimadores que cumplen FE.1.
• Utilizando los resultados de SGLS en (FD1)
  tenemos que
• Donde es un estimador consistente de

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Modelos de Panel Lineales

• El estimador más simple se obtiene calculando los
  residuos
• Y luego estimando como

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Modelos de Panel Lineales

• Si el supuesto FD.3 no se cumple, entonces
  debemos utilizar una matriz de varianzas y
  covarianzas robusta.
• Usando (7) tenemos

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Modelos de Panel Lineales

• Transformación por Desviaciones Ortogonales
• Otra forma de eliminar el efecto individual en
  (UEM) es mediante la transformación de Helmert ó
  desviaciones ortogonales hacia adelante

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Modelos de Panel Lineales

• El modelo transformado es entonces
• Yjt xjt ? ujt (HT.1)
• Tal como ocurría con FD y FE, la transformación
  de Helmert elimina el efecto individual.
• El estimador de desviaciones ortogonales es el
  estimador POLS en (HT.1).
• Definamos la matriz HT de dimensión (T-1)xT

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Modelos de Panel Lineales

• HT (DD)-1/2D. Eligiendo (DD)-1/2 como la
  matriz triangular superior que surge de la
  factorización de Cholesky, tenemos

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Modelos de Panel Lineales

• Usando esta matriz el modelo (HT.1) puede
  escribirse como
• El estimador HT es entonces

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Modelos de Panel Lineales

• Bajo que supuestos este estimador es consistente?
  
• Claramente como HT (DD)-1/2D, entonces HTHT
  QT. Y por lo tanto
• El último punto implica que necesitamos
• Supuesto HT.1 E(ujt Xj, cj) 0, t1, 2,,T
• El supuesto HT.1 es igual a FE.1, a FD.1 y a
  RE.1(a).

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Modelos de Panel Lineales

• Supuesto HT.2
• Bajo los supuestos HT.1 y HT.2, el estimador
  es consistente.
• Note que como HT (DD)-1/2D, entonces HTHT
  IT-1, y por lo tanto si se cumple FE.3
• E(ujuj Xj, cj) HT E(ujuj Xj, cj) HT
• 
  ?u2 IT-1.

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Modelos de Panel Lineales

• Queda claro de (HT1) que
• Por lo tanto, bajo HT.1-HT.2 y FE.3,

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Modelos de Panel Lineales

• Y además
• Dado un estimador consistente de ?u2, la varianza
  asintótica puede ser estimada reemplazando la
  esperanza por su análogo muestral.
• Los errores estándar asintóticos se obtienen con
  la raíz cuadrada de los elementos de la diagonal
  principal de (HT2).

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Modelos de Panel Lineales

• Al igual que ocurría con la transformación de FE,
  el único punto a tener en cuenta es la estimación
  de ?u2.
• Un estimador consistente de ?u2 es
• Donde, ûjt yjt - xjt

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Modelos de Panel Lineales

• Si FE.3 no se satisface, entonces debemos
  reemplazar (HT2) por una estimación robusta.
• Aplicando los resultados ya vistos, podemos
  utilizar la ecuación (7) reemplazando los
  residuos por los estimados por HT.

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Modelos de Panel Lineales

• Los errores estándar de los estimadores de HT se
  obtienen de la raíz cuadrada de los elementos de
  la diagonal principal de (HT4).

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Modelos de Panel Lineales

• Relación entre FE y RE
• Escribamos la matriz de varianzas y covarianzas
  con la estructura de RE
• Donde,

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Modelos de Panel Lineales

• Note que de la definición de PT tenemos las
  siguientes relaciones
• (i) PT QT IT
• (ii) PTQT 0
• (iii) PTPT PT
• Ahora definamos ST PT ?QT. ST-1 PT
  (1/?)QT y ST-1/2 PT (1/ )QT.
• Usando álgebra ST-1/2 (1 - ?)-1 IT - ?PT,
  con ? 1 - .

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Modelos de Panel Lineales

• Por lo tanto,
• Asumamos por un momento que conocemos ?.
  Entonces, RE se obtiene con la ecuación
  transformada

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Modelos de Panel Lineales

• CT yj CT Xj ? CT uj, con CT ? IT - ?PT
• Escribamos la ecuación transformada como
• La varianza de es
• Claramente el elemento t de es

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Modelos de Panel Lineales

• Por lo tanto RE es POLS en
• Los errores de esta ecuación son homocedásticos y
  no están serialmente correlacionados bajo el
  supuesto RE.3.
• FGLS se obtiene reemplazando ? con un estimador
  consistente.

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Modelos de Panel Lineales

• Si es un estimador consistente de ?,
  entonces
• El estimador usual de la varianza de los errores
  en (RE1) es un estimador consistente de ?u2.

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Modelos de Panel Lineales

• Los estadísticos t y F usuales son válidos
  asintóticamente bajo los supuestos RE.1-RE.3.
• La ecuación (RE2) muestra que el estimador de
  RE se puede obtener con lo que se denomina
  quasi-time-demeaning.
• En lugar de sacarle la media temporal, los RE le
  sacan una fracción de la media temporal a las
  variables.

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Modelos de Panel Lineales

• Si es cercano a 1, entonces RE y FE tienden a
  acercarse. Para ver cuando esto ocurre escribamos
  como
• Por lo tanto

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Modelos de Panel Lineales

• Como la consideración fundamental para elegir
  entre FE y RE es el hecho de que los efectos no
  observables estén o no correlacionados con las
  variables explicativas, es importante tener un
  test que contraste este supuesto.
• Hausman (1978) propuso un test basado en las
  diferencias entre los estimadores de FE y RE.

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Modelos de Panel Lineales

• Antes de pasar al estadístico de Hausman veamos
  dos remarks.
• Remark 1 Se mantienen el supuesto de exogeneidad
  estricta RE.1(a) bajo la nula y la alternativa.
• Remark 2 El test se implementa usualmente
  asumiendo que RE.3 se cumple bajo la nula.

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Modelos de Panel Lineales

• La idea del test es que como FE es consistente
  cuando cj y xjt están correlacionados pero RE no
  es consistente, una diferencia significativa
  entre los coeficientes se interpreta en contra de
  RE.1(b).
• La hipótesis nula del test asume no correlación
  entre cj y xjt por lo tanto ambos FE y RE son
  consistentes, pero FE es ineficiente.

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Modelos de Panel Lineales

• La hipótesis alternativa asume que hay
  correlación entre cj y xjt por lo tanto FE es
  consistente, pero RE no.
• Por lo tanto bajo la nula, los dos estimadores no
  debieran diferir mucho.
• Denotemos por al vector de estimadores de RE
  sin los coeficientes que acompañan a variables
  constantes en el tiempo y por a los
  correspondientes estimadores de FE.

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Modelos de Panel Lineales

• Suponiendo que ambos vectores de estimadores
  tienen dimensión Mx1, bajo los supuestos
  RE.1-RE.3, el test de Hausman es

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Modelos de Panel Lineales

• Si estamos interesados en un único parámetro
  podemos transformar el test de Hausman en un test
  t.
• Asumamos que estamos interesados en ?1. El test
  se vuelve

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Supuestos

• Supuesto FE.3 E(uj uj Xj, cj) ?u2 IT.
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Supuestos

• Supuesto 1 E(Xj uj) 0.
• Supuesto 2. A ? E (XjXj) es una matriz no
  aleatoria y no singular. Es decir,
• RangoE (XjXj)K.
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Supuestos

• Supuesto RE.1
• (a) E(ujt Xj, cj) 0, t 1, 2, T
• (b) E(cj Xj) 0, donde Xj(xj1, xj2,, xjT).
• 
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Supuestos

• Supuesto RE.3 (a) E(uj uj Xj, cj) ?u2 IT
• (b) E(cj2 Xj) ?c2.
• 
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Unobserved Effects Model

• Yjt xjt ? cj ujt t1, 2,..., T
  (UEM)
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